Variables quantitatives : Nuage de points

Rappel de la semaine précédente : Croisement de variables qualitatives

• L'analyse inclut l'étude descriptive univariée (tableaux, statistiques, graphiques), les variables qualitatives et quantitatives, et l'inférence statistique pour un échantillon unique.
• Les croisements de variables peuvent être univariés, bivariés ou multivariés
• Les méthodes incluent tableaux de contingence, Khi-2, corrélation, analyse de régression, comparaison de moyennes, ANOVA multifactorielles et équations structurelles.

Mesure de relation entre deux variables quantitatives

• L'analyse de deux variables qualitatives utilise un tableau de contingence.
• L'analyse exploratoire du lien entre deux variables quantitatives privilégie la représentation graphique, notamment le nuage de points.
• Le nuage de points doit précéder une analyse quantitative des deux variables.

Le nuage de points

• Un nuage de points, ou diagramme de dispersion, confronte deux variables quantitatives.
• Chaque unité statistique est représentée par un point dans l'espace cartésien (VI→ X, VD→ Y).
• L'exploration se fait au niveau bivarié, mettant en évidence les régularités dans le croisement des variables.
• Il aide à identifier la variable indépendante (vitesse) et dépendante (distance de freinage).
• L'outil permet d'analyser les valeurs aberrantes et d'étudier la forme de la distribution, linéaire dans ce cas.

Cas extrêmes (outliers) dans le nuage de points

• Les outliers aident à faire ressortir les valeurs abérantes

Forme de dispersion d'un nuage de points

• Le nuage de points renseigne sur la force, la direction et la nature de la relation.

Corrélation linéaire

• Elle indique un lien linéaire entre deux variables et permet d'évaluer l'ajustement du modèle.
• Elle mesure le niveau d'association : plus les points sont proches, plus la corrélation est forte (et inversement).

Corrélation entre deux variables quantitatives

• La corrélation est une mesure d'association entre variables qui exprime la force et la direction de la relation.
• Graphiquement, l'intensité se traduit par la dispersion des points autour de la ligne de régression.

Coefficient de corrélation linéaire de Pearson

• Aussi connu sous le nom de coefficient de Bravais Pearson
• Il varie entre -1 et 1 et est calculé par la formule standard.
• Est également exprimable comme le rapport entre la covariance de x et y et le produit des écarts types de x et y.

Corrélation entre deux variables quantitatives

• Représentation de la covariance
• Relation positive ou négative

Lecture du coefficient

• |r| = 0 : Corrélation linéale nulle, indépendance linéale.
• 0 < |r| ≤ 0,2 : Corrélation linéale très faible.
• 0,2 < |r| ≤ 0,5 : Corrélation linéale faible.
• 0,5 < |r| ≤ 0,7 : Corrélation linéale moyenne.
• 0,7 < |r| ≤ 0,9 : Corrélation linéale forte.
• 0,9 < |r| < 1 : Corrélation linéale très forte.
• |r| = 1 : Corrélation linéale parfaite.

Application

• Supposons que nous voulons savoir si le temps dédié à étudier a une influence sur la note obtenue à l'examen.
• Pour étudier cette relation entre deux variables quantitatives, nous allons calculer le coefficient de corrélation de Pearson sur notre échantillon de 6 étudiants.
• La taille de l'échantillon a un effet sur la précision du coefficient de corrélation.

Limites du coefficient de corrélation linéaire

• Le coefficient est adapté pour mesurer un lien statistique linéaire et se conforme (ajuste) à une ligne droite.
• Explorez graphiquement les données au préalable.

Facteurs supplémentaires affectant les modèles

• Soyez prudent quant aux plages d'observations disponibles.
• Les valeurs extrêmes (outliers) peuvent fausser l'analyse.
• Le paradoxe de Simpson montre comment les relations peuvent changer lorsque les données sont désagrégées en groupes.

Matrice de corrélations

• Utile pour examiner la corrélation entre paires de variables lorsque plusieurs variables sont impliquées.

Régression linéaire

• Il s'agit d'une méthode d'analyse statistique pour identifier un modèle qui suit la corrélation, en identifiant une ligne qui résume l'association linéaire entre les variables étudiées.
• L'objectif est d'estimer une fonction qui explique et prédit la relation entre deux variables.

Droite de régression

• Peut être définie par y = a + bx, où x est la variable indépendante, b la pente, et a l'ordonnée à l'origine.

Analyse de l'importance des prédictions

• En plus d'utiliser les données, nous faire une prédiction sur le comp de la variable dépendante avec d'uatres valeurs de la variable dépendante que cealles que nous utilisons dans l'analyse.

Erreur ou résidu

• Les données empiriques correspondent rarement parfaitement à la ligne de régression, créant une distance verticale appelée erreur ou résidu, défini comme eᵢ = ŷᵢ - yᵢ.

Modèle de régression linéaire

• Il minimise les résidus entre les valeurs observées et estimées, définie par yᵢ = a + bxᵢ + eᵢ
• Le niveau d'erreur total est la somme des erreurs au carré (SSE).
• Elle cherche à mesurer la force et la direction de la relation entre deux variables.
• La régression cherche à décrire la nature de la relation, à la quantifier, à l'expliquer et à faire des prédictions.

Analyse de régression linéaire

• Corrélation et régression, objectifs différents :
• La corrélation cherche à mesurer la force et la direction de la relation entre deux variables.
• La régression cherche à décrire la nature de la relation, à la quantifier, à l'expliquer et à faire des prédictions.
• Analyse des moindres carrés. Y = a + bx = a + bx = a + bx

Coefficient de détermination linéaire R2

• L'obtention de la droite de régression et la vérification des conditions d'analyse permet la qualité d'ajustement du modèle.
• R2 indique le pouvoir prédictif du modèle et sa qualité d'ajustement.
• Il est défini comme la variance expliquée divisée par la variance totale.
• Une valeur de 0,8 indique que 80% de la variance de la variable dépendante est prévisible à partir de la variable indépendante.

Coefficient de détermination de Pearson ajusté

• Le coefficient de détermination de Pearson R2 peut être influencé par la taille de l'échantillon n et principalement par le nombre (et capacité explicative) de variables indépendantes.
• (Quelques) Requis ou conditions pour la régression linéaire simple :
• Linéarité
• Indépendance des erreurs
• Homoscédasticité
• Normalité des erreurs
• Valeurs aberrantes (outliers)
• Taille de l'échantillon (nombre d'unités statistiques)