Variables Aléatoires et Fonctions de Répartition
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Questions and Answers

Quel est l'objectif principal des tests de Wald, du Score et du Rapport de vraisemblance?

  • Comparer les moyennes de plusieurs échantillons
  • Estimer la variabilité d'une population
  • Évaluer la significativité d'une hypothèse statistique (correct)
  • Tester l'adéquation à une loi donnée

    • Quelle est la principale utilisation du test de Kolmogorov-Smirnov?

  • Comparer deux proportions
  • Tester l'adéquation à une loi (correct)
  • Évaluer la normalité des données
  • Estimer la différence entre deux moyennes

    • Quels sont les tests qui traitent de la comparaison de deux proportions?

  • Test de Kolmogorov-Smirnov et Test de Wald
  • Test sur la valeur d'une proportion et Test de comparaison de deux proportions (correct)
  • Test du Score et Test d'adéquation
  • Test du rapport de vraisemblance et Test d'indépendance

    • Lequel des suivants n'est pas un type de test d'adéquation?

    <p>Test d'indépendance</p> Signup and view all the answers

    Quel est le contenu du tableau d’ANOVA?

    <p>La variabilité entre et au sein des groupes</p> Signup and view all the answers

    Pour évaluer la normalité des données, quel test est couramment utilisé?

    <p>Test de Kolmogorov-Smirnov</p> Signup and view all the answers

    Quelle hypothèse est testée dans une ANOVA à deux facteurs?

    <p>Il n'y a pas de différence entre les moyennes des groupes</p> Signup and view all the answers

    Quel est le but du test du rapport de vraisemblance?

    <p>Évaluer la performance d'un modèle statistique</p> Signup and view all the answers

    Qu'est-ce qu'une variable aléatoire?

    <p>Une application mesurable définie sur un espace probabilisé.</p> Signup and view all the answers

    Comment définit-on la loi d'une variable aléatoire X?

    <p>C'est la mesure image de la probabilité par X.</p> Signup and view all the answers

    Quelle affirmation décrit correctement une mesure σ-finie?

    <p>Elle existe avec une suite croissante d'ensembles mesurables de probabilité finie.</p> Signup and view all the answers

    Que signifie que la mesure µ est absolument continue par rapport à la mesure ν?

    <p>Les ensembles de ν négligeables sont aussi négligeables sous µ.</p> Signup and view all the answers

    Qu'est-ce qu'une mesure de densité f par rapport à µ?

    <p>Une fonction caractérisant la distribution de probabilité sur un espace mesuré.</p> Signup and view all the answers

    Quelle est la relation entre les variables aléatoires et les espaces mesurables?

    <p>Les variables aléatoires doivent être définies sur des espaces mesurables.</p> Signup and view all the answers

    Quelle des suivantes est un exemple de mesure σ-finie?

    <p>La mesure de Lebesgue.</p> Signup and view all the answers

    Quelle condition doit remplir une application f pour être considérée comme une mesure de densité?

    <p>Elle doit être toujours positive.</p> Signup and view all the answers

    Quelle est la définition de la fonction de répartition d'une variable aléatoire réelle X?

    <p>C'est une fonction à valeurs dans [0, 1] définie par F(x) = P(X ≤ x).</p> Signup and view all the answers

    Quelle propriété est correcte concernant la fonction de répartition F?

    <p>F est croissante.</p> Signup and view all the answers

    Que signifie lim F(x) lorsque x tend vers -∞?

    <p>Cela signifie que F(x) tend vers 0.</p> Signup and view all the answers

    Qu'est-ce qui est vrai concernant la continuité de la fonction F?

    <p>F est continue à droite et a une limite à gauche.</p> Signup and view all the answers

    Quelle est la limite de F(x) quand x tend vers +∞?

    <p>F(x) tend vers 1.</p> Signup and view all the answers

    Si x < y, quelle affirmation est correcte concernant F?

    <p>F(x) est inférieur ou égal à F(y).</p> Signup and view all the answers

    Quelle est la forme de la limite F(x-) lorsque x tend vers un point donné x?

    <p>F(x-) = P(X &lt; x).</p> Signup and view all the answers

    En quoi consiste la fonction de répartition sur son intervalle de valeurs?

    <p>Elle est définie pour tous les réels mais reste dans l'intervalle [0, 1].</p> Signup and view all the answers

    Quelle est la méthode pour obtenir la fonction de densité f_Y de Y = ϕ(X) ?

    <p>En dérivant la fonction de répartition F_Y</p> Signup and view all the answers

    Qu'est-ce qui caractérise un diffeomorphisme ϕ : D ⊂ R^d → ∆ ⊂ R^d ?

    <p>Est une fonction continue de classe C^1 avec une bijection réciproque contiue</p> Signup and view all the answers

    Quelle est la condition nécessaire concernant le jacobien d'un diffeomorphisme ?

    <p>Le jacobien ne doit pas s'annuler sur ∆</p> Signup and view all the answers

    Comment est exprimée la formule de changement de variable pour une fonction h et une variable aléatoire ?

    <p>h(ϕ(x)) = h(y) |det(Jϕ^{-1}(y))|</p> Signup and view all the answers

    Quel est le lien entre la fonction de répartition et la loi d'une variable aléatoire ?

    <p>La fonction de répartition détermine entièrement la loi</p> Signup and view all the answers

    Dans le contexte d'une variable aléatoire absolument continue, que représente la matrice jacobienne ?

    <p>La matrice des dérivées partielles de ϕ</p> Signup and view all the answers

    Quel est le rôle du déterminant de la matrice jacobienne dans les formules de changement de variable ?

    <p>Il ajuste l'échelle lors de l'intégration</p> Signup and view all the answers

    Quel est l'impact d'un changment de variable sur la loi d'une variable aléatoire X ayant une densité f_X ?

    <p>Elle dépend de la nature de ϕ et du jacobien</p> Signup and view all the answers

    Qu'est-ce qui distingue un vecteur gaussien dégénéré d'un vecteur non-dégénéré ?

    <p>Le vecteur gaussien dégénéré n'admet pas de densité sur $R^d$.</p> Signup and view all the answers

    Quelle est la forme de la densité d'un vecteur gaussien non-dégénéré sur $R^d$ ?

    <p>$f_X(x) = \frac{1}{(2\pi)^{d/2} \sqrt{det(\Sigma)}} \exp(-\frac{1}{2}(x - m) \Sigma^{-1} (x - m))$</p> Signup and view all the answers

    Quels sont les éléments diagonaux de la matrice $\Delta$ lorsque $\Sigma$ est symétrique et définie positive ?

    <p>Ils sont strictement positifs.</p> Signup and view all the answers

    Quel est le principe qui permet de diagonaliser la matrice de dispersion $\Sigma$ ?

    <p>Il existe une matrice orthogonale $A$ telle que $\Delta = A \Sigma A$.</p> Signup and view all the answers

    Quel est le résultat concernant l'indépendance des variables dans le vecteur $Y$ ?

    <p>Les variables $Y_j$ sont indépendantes si $\Delta$ est diagonale.</p> Signup and view all the answers

    Quelle est la forme de la densité pour la variable aléatoire $Y_k$ ?

    <p>$f_k(yk) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma_k} \exp(-\frac{y_k^2}{2\sigma_k^2})$</p> Signup and view all the answers

    Comment se présente la transformation du vecteur $X$ en $Y$ ?

    <p>$Y = A(X - m)$</p> Signup and view all the answers

    Quel est le rôle de la matrice $A$ dans la décomposition du vecteur $X$ ?

    <p>Elle identifie une base orthonormée pour $X$.</p> Signup and view all the answers

    Study Notes

    Variables aléatoires

    • Une variable aléatoire est une application mesurable X définie sur un espace probabilisé (Ω, A, P) à valeurs dans un espace probabilisable (E, B).
    • La loi de X est la mesure de probabilité P X qui est l'image de P par l'application mesurable X.
    • Une mesure µ est σ-finie s'il existe une suite croissante d'ensembles mesurables (E n, n ≥ 1) telle que pour tout n ≥ 1, µ ( E n ) < ∞.

    Fonction de répartition d'une variable aléatoire réelle

    • La fonction de répartition d'une variable aléatoire réelle X est la fonction F à valeurs dans [0, 1] définie par F ( x) = P( X ≤ x) pour tout x ∈ R.
    • La fonction de répartition est croissante, elle tend vers 0 en -∞ et vers 1 en +∞, elle est continue à droite et admet une limite à gauche.
    • La fonction de répartition détermine entièrement la loi d'une variable aléatoire.
    • La fonction de densité f Y s'obtient par dérivation de la fonction de répartition.

    Formule de changement de variable

    • ϕ est un difféomorphisme si c'est une bijection de classe C 1 dont la bijection réciproque est aussi de classe C 1.
    • La matrice jacobienne d'un changement de variable est donnée par le déterminant de la matrice jacobienne.

    Vecteur gaussien

    • La densité d'un vecteur gaussien non-dégénéré est donnée par une expression dépendant de la moyenne, de la matrice de dispersion et de la fonction exponentielle.

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