Variables Aléatoires Continues et Loi Normale

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Questions and Answers

Quel est le seuil critique c pour les nouveau-nés qui sont parmi les 10% les plus grands?

  • 52,5 cm
  • 54 cm
  • 51 cm
  • 53,2 cm (correct)

Quelle est la moyenne des résultats dans le test psychologique mesurant l'extroversion et l'introversion?

  • 70 (correct)
  • 68
  • 75
  • 72

Quel est l'écart type des résultats au test psychologique?

  • 10
  • 9 (correct)
  • 7,5
  • 8

Quelle proportion d'appareils durera plus de 5,4 ans si leur durée de vie suit une loi normale de moyenne 7 ans et d'écart type 1,2 an?

<p>60% (B)</p> Signup and view all the answers

Quel résultat doit obtenir une personne pour être classée parmi les 8 % supérieurs au test d'extroversion?

<p>82 (D)</p> Signup and view all the answers

Quelle est la formule pour calculer la valeur critique c dans la loi normale?

<p>c = µX + zc ‡X (C)</p> Signup and view all the answers

Quelles valeurs doivent respecter n et p pour qu'une loi binomiale puisse être approximée par une loi normale?

<p>np ≥ 5 et nq ≥ 5 (B)</p> Signup and view all the answers

Quelle est l'écart type pour la loi normale de la durée de vie des appareils?

<p>1,2 an (B)</p> Signup and view all the answers

Quel est le pourcentage correspondant à une cote z pour P(Z < z1) = 0,80 dans une distribution normale?

<p>80% (C)</p> Signup and view all the answers

Que doit-on faire si le pourcentage ne correspond pas exactement à une cote z dans une distribution normale?

<p>Prendre la moyenne des deux cotes z correspondantes. (D)</p> Signup and view all the answers

Dans une loi normale générale, comment calcule-t-on P(a < X < b) pour une variable X?

<p>P(a &lt; X &lt; b) = P(za &lt; Z &lt; zb) (C)</p> Signup and view all the answers

Quels éléments sont nécessaires pour déterminer la cote z d'un pourcentage?

<p>Le pourcentage et la table de valeurs z. (C)</p> Signup and view all the answers

Si 95 % des données ont une cote z plus grande que z1, quel est le rapport de P(Z > z1)?

<p>0,05 (D)</p> Signup and view all the answers

Quelle est la probabilité que la taille d'un nouveau-né soit entre 45 cm et 52 cm si la moyenne est de 50 cm et l'écart type est de 2,5 cm?

<p>P(45 &lt; X &lt; 52) = 0,75 (B)</p> Signup and view all the answers

Quelle est la relation entre Z et µX dans une distribution normale?

<p>Z est calculé en fonction de µX et de l'écart type. (D)</p> Signup and view all the answers

Comment est déterminée la valeur de z1 pour P(Z < z1) = 0,043?

<p>En identifiant le pourcentage correspondant dans la table des z. (A)</p> Signup and view all the answers

Quelle est la caractéristique principale de la loi normale centrée réduite ?

<p>Elle a un écart type égal à 1. (A)</p> Signup and view all the answers

Comment calcule-t-on la probabilité P(a < X < b) pour une variable normale X ?

<p>On utilise la table de la loi normale centrée réduite pour trouver P(za &lt; Z &lt; zb). (C)</p> Signup and view all the answers

Quelle est la méthode pour trouver P(Z > 1,23) à l'aide de la table de la loi normale ?

<p>On utilise la symétrie et calcule 1 - P(Z &lt; 1,23). (C)</p> Signup and view all the answers

Quelle est la probabilité que la variable Z soit inférieure à la cote 1,64 ?

<p>0,9495 (C)</p> Signup and view all the answers

À quoi correspond l'aire sous la courbe de la loi normale centrée réduite entre Z = -1 et Z = 1 ?

<p>Environ 0,6826. (B)</p> Signup and view all the answers

Si Z = 0,77, quelle est la probabilité P(Z < 0,77) ?

<p>0,5640 (A)</p> Signup and view all the answers

Quel est le résultat de P(-1,41 < Z < 2,17) ?

<p>Environ 0,9113. (B)</p> Signup and view all the answers

Pourquoi utilise-t-on la table de la loi normale centrée réduite pour les calculs de probabilités ?

<p>Elle simplifie les calculs en utilisant des cotes z au lieu des données brutes. (C)</p> Signup and view all the answers

Qu'est-ce qui caractérise une variable aléatoire continue ?

<p>Elle peut prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle de nombres réels. (A)</p> Signup and view all the answers

Quelle condition doit respecter la fonction de densité fX(x) d'une variable aléatoire continue ?

<p>L'intégrale de fX(x) sur l'ensemble des réels doit être égale à 1. (B)</p> Signup and view all the answers

Comment peut-on exprimer la fonction de répartition FX(x) d'une variable aléatoire continue ?

<p>FX(x) = ∫ fX(t) dt de -∞ à x. (B)</p> Signup and view all the answers

Quelle est la relation entre la probabilité P(a ≤ X ≤ b) et la fonction de répartition FX(x) ?

<p>P(a ≤ X ≤ b) = FX(b) - FX(a) (B)</p> Signup and view all the answers

Quel est le rôle de l'espérance E(X) pour une variable aléatoire continue ?

<p>Elle est la valeur moyenne pondérée des différentes valeurs possibles de X. (D)</p> Signup and view all the answers

Comment se définit la variance d'une variable aléatoire continue ?

<p>La variance mesure la dispersion des valeurs par rapport à leur espérance. (B)</p> Signup and view all the answers

Quelle est la forme de la fonction de densité pour une loi normale N(µX ; ‡X) ?

<p>fX(x) = 1/(‡X * √(2π)) * e^(-(x - µX)^2/(2‡X^2)). (C)</p> Signup and view all the answers

Ce qui suit est vrai au sujet de la loi normale EXCEPTÉ :

<p>Tous les événements suivent une loi normale. (C)</p> Signup and view all the answers

Qu'indique la notation N(µX ; ‡X) pour une variable aléatoire continue ?

<p>La moyenne et la variance de la distribution normale. (C)</p> Signup and view all the answers

Quelle propriété est fausse concernant FX(x) ?

<p>FX(x) peut être supérieur à 1. (C)</p> Signup and view all the answers

Flashcards

Variable aléatoire continue

Une variable aléatoire qui peut prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle de l'ensemble des nombres réels.

Fonction de densité de probabilité (fX(x))

Une fonction qui associe une probabilité à chaque valeur possible d'une variable aléatoire continue, elle est toujours positive et l'aire sous sa courbe est égale à 1.

Fonction de répartition (FX(x))

Une fonction qui associe une probabilité à chaque valeur possible d'une variable aléatoire continue, elle est toujours croissante et sa valeur est comprise entre 0 et 1.

P(X=xi) pour une variable continue

La probabilité d'une variable aléatoire continue prenant une valeur précise est toujours nulle.

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Espérance d'une variable aléatoire continue (µX)

L'espérance d'une variable aléatoire continue est la valeur moyenne de la variable.

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Variance d'une variable aléatoire continue (‡X²)

La variance d'une variable aléatoire continue mesure la dispersion des valeurs de la variable autour de sa moyenne.

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Écart type d'une variable aléatoire continue (‡X)

L'écart type d'une variable aléatoire continue est la racine carrée de la variance.

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Loi normale

La loi normale est une loi de probabilité qui décrit la distribution de nombreux phénomènes naturels et sociaux.

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Paramètres de la loi normale

La moyenne (µX) et l'écart type (‡X) sont les paramètres de la loi normale.

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Influence de l'écart type sur la loi normale

Plus la valeur de l'écart type est grande, plus la courbe normale est étalée.

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P (Z > 2,45)

La probabilité qu'une variable standardisée Z soit supérieure à 2,45.

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P (-1,26 < Z < -0,67)

La probabilité qu'une variable standardisée Z soit comprise entre -1,26 et -0,67.

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P (-0,55 < Z < 0,55)

La probabilité qu'une variable standardisée Z soit strictement comprise entre -0,55 et 0,55.

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P (Z < z1)

La probabilité qu'une variable standardisée Z soit inférieure à une valeur z1.

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P (Z > z1)

La probabilité qu'une variable standardisée Z soit supérieure à une valeur z1.

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P (-z1 < Z < z1)

La probabilité qu'une variable standardisée Z soit comprise entre -z1 et z1.

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P (a < X < b)

La probabilité qu'une variable X, avec une moyenne µX et un écart type ‡X, soit comprise entre a et b.

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Probabilité de la taille d'un nouveau-né

La taille des nouveau-nés suit une loi normale avec une moyenne de 50 cm et un écart-type de 2,5 cm. Calculer la probabilité qu'un nouveau-né mesure entre 45 cm et 52 cm.

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Loi normale centrée réduite

La loi normale centrée réduite, notée N(0; 1), est une loi de probabilité avec une moyenne de 0 et un écart type de 1.

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Cote z

La cote z représente l'écart d'une valeur par rapport à la moyenne, exprimé en unités d'écart type.

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Calcul de probabilités avec la loi normale

Pour calculer la probabilité d'un événement sous une loi normale, vous devez transformer les valeurs en cotes z et utiliser la table de la loi normale centrée réduite.

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Table de la loi normale centrée réduite

La table de la loi normale centrée réduite donne la probabilité que la variable aléatoire Z soit inférieure à une cote z donnée.

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P(Z > 1,23)

P(Z > 1,23) représente la probabilité qu'une variable aléatoire Z soit supérieure à la cote z de 1,23.

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P(Z < -1,23)

P(Z < -1,23) représente la probabilité qu'une variable aléatoire Z soit inférieure à la cote z de -1,23.

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P(0,36 < Z < 1,78)

P(0,36 < Z < 1,78) représente la probabilité qu'une variable aléatoire Z se situe entre les cotes z de 0,36 et 1,78.

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P(-1,41 < Z < 2,17)

P(-1,41 < Z < 2,17) représente la probabilité qu'une variable aléatoire Z se situe entre les cotes z de -1,41 et 2,17.

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Recherche de la valeur critique "c"

Trouver une valeur critique "c" (seuil) pour une variable aléatoire continue, telle que la probabilité de la variable étant inférieure à "c" soit égale à une valeur donnée (ex: 0,20). Le résultat de cette recherche est un point sur la droite des valeurs possibles de la variable.

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Probabilité d'une variable continue à un point précis

La probabilité d'une variable aléatoire continue prenant une valeur précise est toujours nulle. En d'autres termes, la probabilité d'une variable continue d'être exactement à un point spécifique est nulle.

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Aire sous la courbe de la fonction de densité de probabilité

Utilisé pour calculer la probabilité d'une variable aléatoire continue prenant une valeur dans un intervalle spécifique.

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Cote z (Z)

La valeur de la cote z correspond au nombre d'écarts-types qui séparent une observation particulière de la moyenne de la distribution.

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Valeur critique c

La valeur critique c est la valeur sur la droite des valeurs possibles d'une variable aléatoire continue, telle que la probabilité de la variable étant inférieure à c est égale à un seuil donné. Cela signifie que c est le point sur la droite séparant les données en deux parties, avec la probabilité spécifiée de chaque côté du point.

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Conversion de la cote z en valeur critique c

Le processus de calcul de la valeur critique c à partir de la cote z. On utilise la formule c = µ + z * σ pour trouver la valeur critique correspondante à une cote z donnée.

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Approximation d'une binomiale par une normale

L'approximation d'une distribution binomiale par une distribution normale est valide lorsque le nombre d'essais est suffisamment grand et que la probabilité de succès est suffisamment proche de 0,5. Cette approximation permet de réaliser des calculs de probabilité plus facilement et d'utiliser les outils de la distribution normale.

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Study Notes

Variables aléatoires continues

  • Une variable aléatoire continue peut prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle de nombres réels.
  • La fonction de densité de probabilité (f(x)) est utilisée pour les variables aléatoires continues.
  • La fonction de répartition (F(x)) donne P(X ≤ x) = ∫f(t)dt.
  • P(a ≤ X ≤ b) = F(b) - F(a) (Aire sous la courbe de f(x)).
  • Si a = b, P(X = b) = 0
  • Inégalités larges et strictes sont identiques pour les variables aléatoires continues.

Loi normale

  • C'est la loi la plus importante en inférence statistique.
  • Elle est utilisée avec des mesures analogues sur des sujets semblables (ex: tailles d'enfants du même âge).
  • Notée N(μ; σ²).
  • Sa fonction de densité est donnée par f(x) = (1 / (σ√(2π))) * e^(-(x-μ)² / (2σ²)).
  • La courbe normale est symétrique autour de la moyenne (μ).
  • La moyenne, la médiane et le mode sont égaux à μ.
  • P(x ≥ 0) = P(x ≤ 0) = 0,5 (la moitié de l'aire en dessous de la courbe).

Loi normale centrée réduite

  • Si X ~ N(μ; σ²), alors Z = (X - μ) / σ ~ N(0; 1²).
  • On utilise une table pour calculer les probabilités.
  • P(a ≤ X ≤ b) = P(za ≤ Z ≤ zb).
  • La table donne P(Z ≤ z) et c'est pour les z positifs. Les cotes z négatives sont sur la gauche de la moyenne.
  • Pour les calculs, on centre et réduit la distribution de X.

Recherche d'une cote z

  • On utilise la table pour trouver une cote z à partir d'un pourcentage donné (et inversement).
  • On utilise les propriétés de symétrie de la loi normale.

Loi normale générale N(μ, σ²)

  • On utilise la loi normale centrée réduite lorsque la variable n'est pas centrée réduite (N(0;1)).
  • On doit centrer et réduire la variable (calculer la cote z) avant de consulter la table.

Approximation d'une binomiale par une normale

  • On utilise la loi normale pour approximer une loi binomiale lorsque n et np sont suffisamment grands.
  • Cette approximation est valide lorsque np ≥ 5 et n(1-p) ≥ 5.
  • La moyenne est μ = np et l'écart type est σ = √(np(1-p)).

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