Variables Aléatoires Continues et Loi Normale
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Questions and Answers

Quel est le seuil critique c pour les nouveau-nés qui sont parmi les 10% les plus grands?

  • 52,5 cm
  • 54 cm
  • 51 cm
  • 53,2 cm (correct)

    • Quelle est la moyenne des résultats dans le test psychologique mesurant l'extroversion et l'introversion?

  • 70 (correct)
  • 68
  • 75
  • 72

    • Quel est l'écart type des résultats au test psychologique?

  • 10
  • 9 (correct)
  • 7,5
  • 8

    • Quelle proportion d'appareils durera plus de 5,4 ans si leur durée de vie suit une loi normale de moyenne 7 ans et d'écart type 1,2 an?

    <p>60%</p> Signup and view all the answers

    Quel résultat doit obtenir une personne pour être classée parmi les 8 % supérieurs au test d'extroversion?

    <p>82</p> Signup and view all the answers

    Quelle est la formule pour calculer la valeur critique c dans la loi normale?

    <p>c = µX + zc ‡X</p> Signup and view all the answers

    Quelles valeurs doivent respecter n et p pour qu'une loi binomiale puisse être approximée par une loi normale?

    <p>np ≥ 5 et nq ≥ 5</p> Signup and view all the answers

    Quelle est l'écart type pour la loi normale de la durée de vie des appareils?

    <p>1,2 an</p> Signup and view all the answers

    Quel est le pourcentage correspondant à une cote z pour P(Z < z1) = 0,80 dans une distribution normale?

    <p>80%</p> Signup and view all the answers

    Que doit-on faire si le pourcentage ne correspond pas exactement à une cote z dans une distribution normale?

    <p>Prendre la moyenne des deux cotes z correspondantes.</p> Signup and view all the answers

    Dans une loi normale générale, comment calcule-t-on P(a < X < b) pour une variable X?

    <p>P(a &lt; X &lt; b) = P(za &lt; Z &lt; zb)</p> Signup and view all the answers

    Quels éléments sont nécessaires pour déterminer la cote z d'un pourcentage?

    <p>Le pourcentage et la table de valeurs z.</p> Signup and view all the answers

    Si 95 % des données ont une cote z plus grande que z1, quel est le rapport de P(Z > z1)?

    <p>0,05</p> Signup and view all the answers

    Quelle est la probabilité que la taille d'un nouveau-né soit entre 45 cm et 52 cm si la moyenne est de 50 cm et l'écart type est de 2,5 cm?

    <p>P(45 &lt; X &lt; 52) = 0,75</p> Signup and view all the answers

    Quelle est la relation entre Z et µX dans une distribution normale?

    <p>Z est calculé en fonction de µX et de l'écart type.</p> Signup and view all the answers

    Comment est déterminée la valeur de z1 pour P(Z < z1) = 0,043?

    <p>En identifiant le pourcentage correspondant dans la table des z.</p> Signup and view all the answers

    Quelle est la caractéristique principale de la loi normale centrée réduite ?

    <p>Elle a un écart type égal à 1.</p> Signup and view all the answers

    Comment calcule-t-on la probabilité P(a < X < b) pour une variable normale X ?

    <p>On utilise la table de la loi normale centrée réduite pour trouver P(za &lt; Z &lt; zb).</p> Signup and view all the answers

    Quelle est la méthode pour trouver P(Z > 1,23) à l'aide de la table de la loi normale ?

    <p>On utilise la symétrie et calcule 1 - P(Z &lt; 1,23).</p> Signup and view all the answers

    Quelle est la probabilité que la variable Z soit inférieure à la cote 1,64 ?

    <p>0,9495</p> Signup and view all the answers

    À quoi correspond l'aire sous la courbe de la loi normale centrée réduite entre Z = -1 et Z = 1 ?

    <p>Environ 0,6826.</p> Signup and view all the answers

    Si Z = 0,77, quelle est la probabilité P(Z < 0,77) ?

    <p>0,5640</p> Signup and view all the answers

    Quel est le résultat de P(-1,41 < Z < 2,17) ?

    <p>Environ 0,9113.</p> Signup and view all the answers

    Pourquoi utilise-t-on la table de la loi normale centrée réduite pour les calculs de probabilités ?

    <p>Elle simplifie les calculs en utilisant des cotes z au lieu des données brutes.</p> Signup and view all the answers

    Qu'est-ce qui caractérise une variable aléatoire continue ?

    <p>Elle peut prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle de nombres réels.</p> Signup and view all the answers

    Quelle condition doit respecter la fonction de densité fX(x) d'une variable aléatoire continue ?

    <p>L'intégrale de fX(x) sur l'ensemble des réels doit être égale à 1.</p> Signup and view all the answers

    Comment peut-on exprimer la fonction de répartition FX(x) d'une variable aléatoire continue ?

    <p>FX(x) = ∫ fX(t) dt de -∞ à x.</p> Signup and view all the answers

    Quelle est la relation entre la probabilité P(a ≤ X ≤ b) et la fonction de répartition FX(x) ?

    <p>P(a ≤ X ≤ b) = FX(b) - FX(a)</p> Signup and view all the answers

    Quel est le rôle de l'espérance E(X) pour une variable aléatoire continue ?

    <p>Elle est la valeur moyenne pondérée des différentes valeurs possibles de X.</p> Signup and view all the answers

    Comment se définit la variance d'une variable aléatoire continue ?

    <p>La variance mesure la dispersion des valeurs par rapport à leur espérance.</p> Signup and view all the answers

    Quelle est la forme de la fonction de densité pour une loi normale N(µX ; ‡X) ?

    <p>fX(x) = 1/(‡X * √(2π)) * e^(-(x - µX)^2/(2‡X^2)).</p> Signup and view all the answers

    Ce qui suit est vrai au sujet de la loi normale EXCEPTÉ :

    <p>Tous les événements suivent une loi normale.</p> Signup and view all the answers

    Qu'indique la notation N(µX ; ‡X) pour une variable aléatoire continue ?

    <p>La moyenne et la variance de la distribution normale.</p> Signup and view all the answers

    Quelle propriété est fausse concernant FX(x) ?

    <p>FX(x) peut être supérieur à 1.</p> Signup and view all the answers

    Study Notes

    Variables aléatoires continues

    • Une variable aléatoire continue peut prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle de nombres réels.
    • La fonction de densité de probabilité (f(x)) est utilisée pour les variables aléatoires continues.
    • La fonction de répartition (F(x)) donne P(X ≤ x) = ∫f(t)dt.
    • P(a ≤ X ≤ b) = F(b) - F(a) (Aire sous la courbe de f(x)).
    • Si a = b, P(X = b) = 0
    • Inégalités larges et strictes sont identiques pour les variables aléatoires continues.

    Loi normale

    • C'est la loi la plus importante en inférence statistique.
    • Elle est utilisée avec des mesures analogues sur des sujets semblables (ex: tailles d'enfants du même âge).
    • Notée N(μ; σ²).
    • Sa fonction de densité est donnée par f(x) = (1 / (σ√(2π))) * e^(-(x-μ)² / (2σ²)).
    • La courbe normale est symétrique autour de la moyenne (μ).
    • La moyenne, la médiane et le mode sont égaux à μ.
    • P(x ≥ 0) = P(x ≤ 0) = 0,5 (la moitié de l'aire en dessous de la courbe).

    Loi normale centrée réduite

    • Si X ~ N(μ; σ²), alors Z = (X - μ) / σ ~ N(0; 1²).
    • On utilise une table pour calculer les probabilités.
    • P(a ≤ X ≤ b) = P(za ≤ Z ≤ zb).
    • La table donne P(Z ≤ z) et c'est pour les z positifs. Les cotes z négatives sont sur la gauche de la moyenne.
    • Pour les calculs, on centre et réduit la distribution de X.

    Recherche d'une cote z

    • On utilise la table pour trouver une cote z à partir d'un pourcentage donné (et inversement).
    • On utilise les propriétés de symétrie de la loi normale.

    Loi normale générale N(μ, σ²)

    • On utilise la loi normale centrée réduite lorsque la variable n'est pas centrée réduite (N(0;1)).
    • On doit centrer et réduire la variable (calculer la cote z) avant de consulter la table.

    Approximation d'une binomiale par une normale

    • On utilise la loi normale pour approximer une loi binomiale lorsque n et np sont suffisamment grands.
    • Cette approximation est valide lorsque np ≥ 5 et n(1-p) ≥ 5.
    • La moyenne est μ = np et l'écart type est σ = √(np(1-p)).

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    Chapitre 4 - Variables Aléatoires Continues PDF

    Description

    Ce quiz porte sur les variables aléatoires continues et la loi normale, concepts fondamentaux en statistique et inférence. Vous testerez vos connaissances sur la fonction de densité de probabilité et la loi normale centrée réduite. Préparez-vous à plonger dans le monde des probabilités et des statistiques !

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