Understanding Rational Functions: Asymptotes, Graphs, and Critical Points

Mathematik gebrochen-rationale Funktionen

Gebrochen-rationale Funktionen sind Funktionen, die aus der Summe, Differenz, Produkt oder Quotient von Polynomen und Rationalfunktionen bestehen. Sie haben die Form:

$$f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$$

Dabei sind $$p(x)$$ und $$q(x)$$ Polynome, $$q(x)$$ nicht gleich null. Ein Beispiel für eine gebrochen-rationale Funktion ist:

$$f(x) = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1}$$

In diesem Artikel werden wir uns auf die Subtopics Asymptoten, Graphen von gebrochen-rationalen Funktionen, Nullstellen und Polstellen konzentrieren.

Asymptoten

Asymptoten sind Strahlen, die eine Funktion "nahezu berühren", aber niemals die "berühren". In anderen Worten, die Asymptote ist eine Gerade, die die Funktion in der Nähe eines Punktes annähernd berührt, aber nie berührt. In der Praxis bedeutet dies, dass die Funktion auf der Asymptote immer näher an den Werte annähert, aber nie erreicht.

In der Funktion $$f(x) = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1}$$ gibt es keine Asymptoten, weil die Funktion durchgängig definiert ist. Allerdings können Asymptoten bei unendlichen Werten auftreten, wie z.B. bei der Funktion $$f(x) = \frac{1}{x}$$. Hier ist die Asymptote die x-Achse, da die Funktion in Richtung des Ursprungs unendlich wird.

Graphen von gebrochen-rationalen Funktionen

Der Graph einer gebrochen-rationalen Funktion kann durch die Faktoren der Funktion abgeleitet werden. Zuerst müssen wir die Faktoren in den Formel der Funktion separieren:

$$f(x) = \frac{A(x - r_1)(x - r_2)...(x - r_n)}{(x - s_1)(x - s_2)...(x - s_m)}$$

Dabei sind $$A$$, $$r_i$$ und $$s_i$$ Konstanten und die $$r_i$$ und $$s_i$$ sind die Nullstellen und Polstellen der Funktion.

Der Graph einer gebrochen-rationalen Funktion kann durch die Grafen der Faktoren $$A(x - r_1)(x - r_2)...(x - r_n)$$ und $$(x - s_1)(x - s_2)...(x - s_m)$$ geteilt werden. Die Grafen der Faktoren werden durch die zugehörigen Nullstellen und Polstellen geteilt. Die Grafen der Faktoren, die die x-Achse schneiden, werden die Asymptoten der Funktion bilden.

Nullstellen und Polstellen

Nullstellen und Polstellen sind wichtige Punkte auf dem Graph einer Funktion. Sie bestimmen die Schneidungsstellen der Funktion mit der x-Achse und der y-Achse und helfen, die Asymptoten der Funktion zu bestimmen.

Nullstellen sind die Punkte, an denen die Funktion null wird. Sie können durch die Gleichung $$f(x) = 0$$ bestimmt werden. Die Nullstellen einer gebrochen-rationalen Funktion sind die Wurzeln der numeratorpolynom $$p(x)$$.

Polstellen sind die Punkte, an denen die Funktion unendlich wird. Sie können durch die Gleichung $$f'(x) = \infty$$ bestimmt werden. Die Polstellen einer gebrochen-rationalen Funktion sind die Wurzeln der denominatorpolynom $$q(x)$$ und die Stellen, an denen der Nenner eine Kette von Nullstellen hat.

Beispiele

Beispiel 1: $$f(x) = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1}$$

Für die Nullstellen der Funktion $$f(x) = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1}$$ müssen wir die Gleichung $$2x^2 - 3x + 1 = 0$$ lösen:

$$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$$

$$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4}$$

$$x = \frac{3 \pm 1}{4}$$

$$x = \frac{4}{4}$$ oder $$x = \frac{1}{4}$$

Die Nullstellen der Funktion sind $$x = \frac{4}{4}$$ und $$x = \frac{1}{4}$$.

Für die Polstellen der Funktion müssen wir die Ableitung der Funktion berechnen:

$$f'(x) = \frac{4x - 3}{(x - 1)^2}$$

Die Polstellen sind die Wurzeln der denominatorpolynom $$(x - 1)^2$$, also $$x = 1$$ und $$x = 1$$.

Die Asymptote der Funktion ist die x-Achse, da die Funktion in Richtung des Ursprungs unendlich wird.

Beispiel 2: $$f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$$

Für die Nullstellen der Funktion $$f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$$ müssen wir die Gleichung $$x^2 - 4 = 0$$ lösen:

$$x = \pm 2$$

Die