Türev Kuralları

Differentiation Rules

• Power Rule: If f(x) = x^n, then f'(x) = nx^(n-1)
• Product Rule: If f(x) = u(x)v(x), then f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
• Quotient Rule: If f(x) = u(x)/v(x), then f'(x) = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x)) / v(x)^2
• Chain Rule: If f(x) = g(h(x)), then f'(x) = g'(h(x)) \* h'(x)
• Sum and Difference Rule: If f(x) = u(x) ± v(x), then f'(x) = u'(x) ± v'(x)

Geometric Interpretation

• The derivative of a function at a point represents the slope of the tangent line to the graph of the function at that point
• The derivative can be used to find the maximum and minimum values of a function
• The second derivative represents the concavity of the graph of the function

Optimization Problems

• Maxima and Minima: The derivative is used to find the maximum and minimum values of a function
• Critical Points: The points where the derivative is equal to zero or undefined are called critical points
• First Derivative Test: The sign of the derivative on either side of a critical point can be used to determine whether it is a maximum, minimum, or neither

Related Rates

• Related Rates: The derivative is used to find the rate at which one quantity is changing with respect to another quantity
• Implicit Differentiation: The derivative is used to find the rate at which one quantity is changing with respect to another quantity when the relationship between the quantities is implicit
• Chain Rule: The chain rule is used to find the derivative of a composite function

Implicit Differentiation

• Implicit Differentiation: A technique used to find the derivative of an implicitly defined function
• Step-by-Step Process:
  1. Differentiate both sides of the equation with respect to x
  2. Use the chain rule to find the derivative of the implicitly defined function
  3. Solve for the derivative of the implicitly defined function
• Example: Find the derivative of x^2 + y^2 = 25 with respect to x

Türev Kuralları

• Güç Kuralı: Eğer f(x) = x^n ise, f'(x) = nx^(n-1)
• Çarpım Kuralı: Eğer f(x) = u(x)v(x) ise, f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
• Bölüm Kuralı: Eğer f(x) = u(x)/v(x) ise, f'(x) = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x)) / v(x)^2
• Zincirleme Kuralı: Eğer f(x) = g(h(x)) ise, f'(x) = g'(h(x)) * h'(x)
• Toplam ve Fark Kuralı: Eğer f(x) = u(x) ± v(x) ise, f'(x) = u'(x) ± v'(x)

Geometrik Yorum

• Bir fonksiyonun bir noktasındaki türevi, o noktadaki grafikteki eğimin slope ini temsil eder
• Türev, bir fonksiyonun maksimum ve minimum değerlerini bulmak için kullanılır
• İkinci türev, bir fonksiyonun grafikteki kuvvetini temsil eder

Optimizasyon Problemleri

• Maksimum ve Minimum: Türev, bir fonksiyonun maksimum ve minimum değerlerini bulmak için kullanılır
• Eleştiri Noktaları: Türevin sıfır veya belirsiz olduğu noktalar, kritik noktalardır
• Birinci Türev Testi: Bir kritik noktanın her iki tarafındaki türev işareti, maksimum, minimum veya hiçbiri olup olmadığını belirlemek için kullanılır

İlişkili Oranları

• İlişkili Oranları: Türev, bir miktarın diğer bir miktarla değişim oranını bulmak için kullanılır
• İmplicit Diferansiyel: Türev, bir miktarın diğer bir miktarla değişim oranını bulmak için kullanılır, when the relationship between the quantities is implicit
• Zincirleme Kuralı: Zincirleme kuralı, bir kompozit fonksiyonun türevini bulmak için kullanılır

İmplicit Diferansiyel

• İmplicit Diferansiyel: İmplicit olarak tanımlanan bir fonksiyonun türevini bulmak için kullanılan bir tekniktir
• Adım Adım Süreç: 1.Equation iki tarafı x'e göre diferansiyel edilir 2.Zincirleme kuralı, implicit olarak tanımlanan fonksiyonun türevini bulmak için kullanılır 3.Implicit olarak tanımlanan fonksiyonun türevi çözümlenir
• Örnek: x^2 + y^2 = 25 equationsinin x'e göre türevi bulunması

Türev Kuralları

• Üs Kuralı: Eğer $f(x) = x^n$ ise, o zaman $f'(x) = nx^{n-1}$
• Çarpım Kuralı: Eğer $f(x) = u(x)v(x)$ ise, o zaman $f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$
• Oran Kuralı: Eğer $f(x) = u(x)/v(x)$ ise, o zaman $f'(x) = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x)) / v(x)^2$
• Zincir Kuralı: Eğer $f(x) = g(h(x))$ ise, o zaman $f'(x) = g'(h(x)) * h'(x)$

Optimizasyon Problemleri

• Maksimum/Minimum: Türevleri kullanarak bir fonksiyonun maksimum veya minimum değerini bulun
• Kritik Noktalar: Türevi sıfır veya tanımsız olan noktaları bulun
• Birinci Türev Testi: Kritik noktanın maksimum, minimum veya hiçbiri olup olmadığını belirleyin
• İkinci Türev Testi: Kritik noktanın doğasını belirleyin (maksimum, minimum veya eğer noktası)

İlgili Oranlar

• İlgili Oranlar Denklemi: $\frac{dx}{dt} = \frac{dy}{dt} * \frac{dy}{dx}$
• Değişim Oranlarını Bulun: İlgili oranları kullanarak bir problemin değişim oranlarını bulun
• Teğet ve Normaller: İlgili oranları kullanarak bir eğriye olan teğet ve normal çizgilerin eğimlerini bulun

Geometrik Yorum

• Teğet ve Normaller: Türevleri kullanarak bir eğriye olan teğet ve normal çizgilerin eğimlerini bulun
• Artan/Azalan Fonksiyonlar: Türevleri kullanarak bir fonksiyonun artan veya azalan olup olmadığını belirleyin
• Kapalı ve İnflexion Noktaları: Türevleri kullanarak bir eğrinin kapalı ve inflexion noktalarını bulun

ÜstüMLEİ

• ÜstüMLEİ Fonksiyonu: $F(x,y) = 0$ şeklinde bir denklem açıkça bir fonksiyon tanımlar
• ÜstüMLEİ Türevi: Bağımsız değişkenin ilişkin türevini alın
• ÜstüMLEİ Türevi: Bağımsız değişkenin ilişkin türevi