Calculus Chapter 1: Introduction to Derivatives

Introduction to Derivatives

• A derivative measures how a function changes as its input changes.
• It is a fundamental concept in calculus, used to study rates of change and slopes of curves.

Notation and Terminology

• The derivative of a function f(x) is denoted as f'(x) or (d/dx)f(x).
• The process of finding a derivative is called differentiation.
• The derivative of a function at a point represents the rate of change of the function at that point.

Rules of Differentiation

• Power Rule: If f(x) = x^n, then f'(x) = nx^(n-1).
• Product Rule: If f(x) = u(x)v(x), then f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x).
• Quotient Rule: If f(x) = u(x)/v(x), then f'(x) = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x)) / v(x)^2.
• Chain Rule: If f(x) = g(h(x)), then f'(x) = g'(h(x)) * h'(x).

Geometric Interpretation

• The derivative of a function at a point represents the slope of the tangent line to the function at that point.
• A positive derivative indicates an increasing function, a negative derivative indicates a decreasing function, and a zero derivative indicates a horizontal tangent.

Higher-Order Derivatives

• The second derivative, denoted as f''(x), represents the rate of change of the first derivative.
• Higher-order derivatives can be used to analyze the concavity and inflection points of a function.

Türevlere Giriş

• Bir funciónun girdi değeri değiştikçe nasıl değiştiğini ölçer.
• Kalkülüsün temel kavramlarından biri olarak, oran değişim hızını ve eğri eğimlerini incelemek için kullanılır.

Notasyon ve Terminoloji

• Bir función f(x) 'nin türevi, f'(x) veya (d/dx)f(x) olarak gösterilir.
• Bir türev bulma işlemi diferansiyelendirme olarak adlandırılır.
• Bir noktadaki bir funciónun türevi, o noktadaki funciónun değişim hızını temsil eder.

Diferansiyelendirme Kuralları

• Güç Kuralı: Eğer f(x) = x^n ise, o zaman f'(x) = nx^(n-1).
• Ürün Kuralı: Eğer f(x) = u(x)v(x) ise, o zaman f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x).
• Oran Kuralı: Eğer f(x) = u(x)/v(x) ise, o zaman f'(x) = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x)) / v(x)^2.
• Zincir Kuralı: Eğer f(x) = g(h(x)) ise, o zaman f'(x) = g'(h(x)) * h'(x).

Geometrik Yorum

• Bir noktadaki bir funciónun türevi, o noktadaki funciónun teğet çizgisinin eğimini temsil eder.
• Pozitif bir türev, artan bir funciónu gösterir, Negatif bir türev, azalan bir funciónu gösterir, ve sıfır türev, yatay bir teğet çizgisini gösterir.

Yüksek Düzeyli Türevler

• İkinci türev, f''(x) olarak gösterilir, ve birinci türevin değişim hızını temsil eder.
• Yüksek düzeyli türevler, bir funciónun konkavitesi ve dönüm noktalarını analiz etmek için kullanılır.