Transformée de Fourier - Cours Complet
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Questions and Answers

Quelle est l'importance de la fonction delta de Dirac dans l'intégration d'une fonction f?

  • Elle multiplie f par zéro.
  • Elle permet d'évaluer f en un point spécifique. (correct)
  • Elle transforme f en une fonction périodique.
  • Elle annule toute contribution de f.

    • Quel est le résultat du produit de convolution entre la réponse impulsionnelle h et une fonction f?

  • Cela donne la fonction de sortie g dépendant de l'entrée. (correct)
  • Cela produit une équation différentielle sans solution.
  • Cela simplifie la fonction h.
  • Cela retourne directement la fonction d'entrée f.

    • Quelle est la relation entre la série de Fourier d'une fonction périodique et sa transformée de Fourier?

  • La série de Fourier est une somme infinie de fonctions exponentielles. (correct)
  • Les deux sont identiques et ne se distinguent que par la fréquence.
  • La série de Fourier utilise uniquement des sinusoïdes.
  • La transformée de Fourier ne peut pas être appliquée aux fonctions périodiques.

    • Quelle propriété est associée à la transformée de Fourier d'un train de Dirac?

    <p>Elle reste également un train de Dirac.</p> Signup and view all the answers

    Comment se représente la transformée de Fourier d'une fonction porte d'amplitude 1 et de largeur Δ?

    <p>Elle est une fonction recouverte de plusieurs sommets.</p> Signup and view all the answers

    Quelle équation représente le lien entre la transformée de Fourier et un système linéaire?

    <p>La transformée de Fourier d'entrée et réponse impulsionnelle donne la sortie dans le domaine fréquentiel.</p> Signup and view all the answers

    Quel est l'effet de la réponse impulsionnelle h sur le signal d'entrée f dans le temps?

    <p>Elle modifie le spectre de f dans le domaine temporel.</p> Signup and view all the answers

    Comment définit-on la réponse d'un système à l'aide de la transformée de Fourier?

    <p>Par la multiplication de la transformée de l'entrée et de la réponse impulsionnelle.</p> Signup and view all the answers

    Quel est le rôle de la fonction delta dans le calcul des intégrales?

    <p>Elle aide à isoler des valeurs spécifiques de la fonction.</p> Signup and view all the answers

    En quoi la série de Fourier d'une fonction carrée peut-elle être caractérisée?

    <p>Elle consiste en une somme de sinus et cosinus correspondant aux harmonies.</p> Signup and view all the answers

    Quelle est la forme des réponses élémentaires causales?

    <p>A $e^{x_0 t} u(t)$ si R($x_0$) &lt; 0</p> Signup and view all the answers

    Qu'est-ce qui est utilisé quand les fonctions sont divergentes sous-exponentielles?

    <p>La transformée de Laplace</p> Signup and view all the answers

    Quel est le résultat de l'échantillonnage idéal d'un signal?

    <p>Il préserve toutes les fréquences du signal</p> Signup and view all the answers

    Quelle fonction d’échantillonnage est utilisée dans l'échantillonnage réel?

    <p>Fonction rectangulaire</p> Signup and view all the answers

    Quel est le spectre de la fonction d’échantillonnage?

    <p>Elle comporte des pics à des intervalles réguliers</p> Signup and view all the answers

    Quelle relation existe entre une fonction périodique et sa transformée de Fourier?

    <p>La transformée de Fourier reste toujours périodique</p> Signup and view all the answers

    Qu'est-ce que l'intégrale de Fourier ne peut pas garantir?

    <p>La convergence pour toutes les fonctions</p> Signup and view all the answers

    Quelle est la condition pour que la transformée de Fourier existe?

    <p>Les fonctions doivent être causalement convergentes</p> Signup and view all the answers

    Quel est l'objectif principal du blocage d'ordre 0 dans l'échantillonnage?

    <p>De maintenir la valeur du signal échantillonné</p> Signup and view all the answers

    Que représente le train d'impulsions de Dirac dans le domaine temporel?

    <p>Une somme infinie d'impulsions</p> Signup and view all the answers

    Que mensuel représente la fonction d’échantillonnage rectangulaire?

    <p>La période d'échantillonnage</p> Signup and view all the answers

    Quel est l'effet d'un échantillonnage réel sur un signal analogique?

    <p>Il crée un signal aliasé</p> Signup and view all the answers

    Quelle est la caractéristique principale d'une transformée de Fourier des fonctions échantillonnées?

    <p>Elle dépend de la fréquence d'échantillonnage</p> Signup and view all the answers

    Quelle affirmation est correcte concernant la transformée de Fourier des signaux périodiques ?

    <p>Les fréquences possibles d'un signal périodique sont données par $ u = rac{k}{T}$.</p> Signup and view all the answers

    Quelle propriété est_false concernant la transformée de Fourier ?

    <p>F(𝑓 ⋅ 𝑔) = F𝑓 + F𝑔</p> Signup and view all the answers

    Quel est le comportement limite du spectre de fréquences d'un signal périodique lorsque la période tend vers l'infini ?

    <p>Le spectre devient entièrement continu.</p> Signup and view all the answers

    Quel réflexe mathématique est utilisé pour passer de la série de Fourier à la transformée de Fourier ?

    <p>La limite où la période tend vers l'infini.</p> Signup and view all the answers

    Quelle équation représente la transformée de Fourier conduite ?

    <p>$(F𝑓)(ν) = ∫ f(t) e^{-j 2 u t} dt$</p> Signup and view all the answers

    Quelle propriété de la transformée de Fourier indique que l'énergie est conservée ?

    <p>Conservation de l'énergie: $∫ |F𝑓(ν)|^2 dν = ∫ |𝑓(t)|^2 dt$</p> Signup and view all the answers

    Quelle est la fonction de la transformée de Fourier inverse ?

    <p>Elle recrée la fonction de temps à partir de sa version fréquentielle.</p> Signup and view all the answers

    Quel est un des résultats de la propriété de la dérivée pour la transformée de Fourier ?

    <p>$(F𝑓)′(ν) = j 2 u F(𝑓)(ν)$</p> Signup and view all the answers

    Quel est l'effet du facteur $λ$ sur la transformée de Fourier d'une fonction ?

    <p>Elle a un effet multiplicatif.</p> Signup and view all the answers

    Quel type de signal peut être approximé par une série de Fourier ?

    <p>Les signaux périodiques.</p> Signup and view all the answers

    Quel est le rôle du Dirac dans le contexte des séries de Fourier ?

    <p>Il matérialise les coefficients de Fourier sur le spectre.</p> Signup and view all the answers

    Quel est l'effet de la compression temporelle sur le spectre fréquentiel selon la transformée de Fourier ?

    <p>Le spectre se compresse.</p> Signup and view all the answers

    Quel type de calcul est lié à l’intégration par la méthode des rectangles en rapport avec la transformée de Fourier ?

    <p>Il aide à approximer une intégrale.</p> Signup and view all the answers

    Study Notes

    Transformée de Fourier

    • Présentée par Éric Tournier et Arnaud Fernandez
    • Version 1.75, Septembre 2024
    • Produit par le LAAS/CNRS, Université de Toulouse et Université Paul Sabatier

    Avant-propos

    • Le support de cours n'est qu'un support, n'étant pas exhaustif.
    • Il ne remplace pas le cours.
    • Il contient principalement des figures et schémas complexes.
    • Il ne comprend pas tous les développements théoriques, schémas ou commentaires oraux.
    • Une prise complète de notes est recommandée.

    Plan du cours

    • Définitions (transformée de Fourier réciproque, transformée de Fourier de fonctions périodiques - séries de Fourier, étude des systèmes linéaires, transformée de Fourier des fonctions échantillonnées)

    Préliminaires

    • Intégration par la méthode des rectangles.
    • Exemples de calculs d'intégrales par approximation.

    Introduction (1/2)

    • Comportement des spectres à période infinie.
    • Rappel des séries de Fourier pour un signal périodique f₁, de période T : les fréquences possibles sont v = k / T, où k ∈ Z.
    • Le spectre des fréquences est discret et donné par les coefficients de Fourier.
    • Le spectre de Fourier reconstruit le signal par la série de Fourier.
    • Un signal non périodique R ǝt → f(t) peut être vu comme un signal périodique dont la période tend vers l'infini : f(t) = lim f(t) T→ +∞

    Introduction (2/2)

    • Déduction de la transformée de Fourier à partir des séries de Fourier.
    • Équations mathématiques détaillées sur la transition entre la série de Fourier et la transformée de Fourier.

    Exercice

    • Série de Fourier d'une fonction f₁ donnée.
    • Calcul de la transformée de Fourier de f.
    • Équations et représentation graphique de la fonction.

    Propriétés

    • F(f+g)=F(f)+F(g).
    • F(af)=aF(f), a∈C.
    • Conservation de l'énergie : ∫|F(v)|² dv = ∫ |f(t)|² dt.
    • Produit de convolution : (f*g)(t) = ∫f(τ)g(t−τ) dτ.
    • F(f*g) = F(f).F(g).
    • F(f.g) = F(f)*F(g).
    • Dérivées de la transformée de Fourier.

    Transformée de Fourier réciproque

    • Propriétés de la transformée de Fourier inverse.
    • Fonctions de transfert.
    • Calculs et dérivées.

    Transformée de Fourier des fonctions périodiques (1/2)

    • Utilisation du Dirac pour déterminer les coefficients de Fourier.
    • Rappels sur les propriétés du Dirac.
    • Toute série de Fourier f(t) = Σ CR(f) ei2πkt/T.
    • Exemple: démonstration que la transformée de Fourier d'un train de Dirac est aussi un train de Dirac.

    Transformée de Fourier des fonctions périodiques (2/2)

    • Calcul de la transformée de Fourier d'un signal "porte".
    • Calcul de la transformée de Fourier directe et inverse de 8.
    • Retrouver la série de Fourier d'une fonction carrée.

    Généralités sur l'étude d'un système linéaire (1/2)

    • Définition de la réponse impulsionnelle.
    • Calcul de la sortie g(t)=(h*f)(t) où h est la réponse impulsionnelle et f est l'entrée.
    • Utilisation de la transformée de Fourier pour simplifier le calcul de la convolution.

    Généralités sur l'étude d'un système linéaire (2/2)

    • Équations différentielles décrivant les systèmes linéaires.
    • Fonctions de transfert.
    • Réponses élémentaires et causales d'un système.

    Échantillonnage idéal

    • Modélisation temporelle et représentation graphique du procédé d'échantillonnage.
    • Train d'impulsions de Dirac et signal analogique.
    • Signal échantillonné idéal.

    Échantillonnage réel

    • Fonction d'échantillonnage réelle rectangle.
    • Signal analogique et signal échantillonné réel comparativement au signal idéal

    Échantillonnage avec blocage d'ordre 0

    • Créneau élémentaire rectangle.
    • Exemples de représentation des échantillonnages à différents ordres de maintien.
    • Signal échantillonné avec blocage.

    Échantillonnage de signaux et spectre (1/3, 2/3, 3/3)

    • Tableau récapitulatif de la modélisation temporelle et fréquentielle de l'échantillonnage.
    • Relations entre le train d'impulsions, le signal analogique et les échantillonnages temporels et fréquentiels.
    • Spectre du signal échantillonné idéal, réel et avec maintien.

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    Description

    Ce quiz aborde les concepts fondamentaux de la transformée de Fourier, incluant sa définition et son application pour les fonctions périodiques. Il inclut également des notions préliminaires comme l'intégration par la méthode des rectangles et des exemples de calculs d'intégrales. Préparez-vous à tester vos connaissances sur cette théorie essentielle du traitement du signal.

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