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Questions and Answers
Quelle est l'importance de la fonction delta de Dirac dans l'intégration d'une fonction f?
Quelle est l'importance de la fonction delta de Dirac dans l'intégration d'une fonction f?
- Elle multiplie f par zéro.
- Elle permet d'évaluer f en un point spécifique. (correct)
- Elle transforme f en une fonction périodique.
- Elle annule toute contribution de f.
Quel est le résultat du produit de convolution entre la réponse impulsionnelle h et une fonction f?
Quel est le résultat du produit de convolution entre la réponse impulsionnelle h et une fonction f?
- Cela donne la fonction de sortie g dépendant de l'entrée. (correct)
- Cela produit une équation différentielle sans solution.
- Cela simplifie la fonction h.
- Cela retourne directement la fonction d'entrée f.
Quelle est la relation entre la série de Fourier d'une fonction périodique et sa transformée de Fourier?
Quelle est la relation entre la série de Fourier d'une fonction périodique et sa transformée de Fourier?
- La série de Fourier est une somme infinie de fonctions exponentielles. (correct)
- Les deux sont identiques et ne se distinguent que par la fréquence.
- La série de Fourier utilise uniquement des sinusoïdes.
- La transformée de Fourier ne peut pas être appliquée aux fonctions périodiques.
Quelle propriété est associée à la transformée de Fourier d'un train de Dirac?
Quelle propriété est associée à la transformée de Fourier d'un train de Dirac?
Comment se représente la transformée de Fourier d'une fonction porte d'amplitude 1 et de largeur Δ?
Comment se représente la transformée de Fourier d'une fonction porte d'amplitude 1 et de largeur Δ?
Quelle équation représente le lien entre la transformée de Fourier et un système linéaire?
Quelle équation représente le lien entre la transformée de Fourier et un système linéaire?
Quel est l'effet de la réponse impulsionnelle h sur le signal d'entrée f dans le temps?
Quel est l'effet de la réponse impulsionnelle h sur le signal d'entrée f dans le temps?
Comment définit-on la réponse d'un système à l'aide de la transformée de Fourier?
Comment définit-on la réponse d'un système à l'aide de la transformée de Fourier?
Quel est le rôle de la fonction delta dans le calcul des intégrales?
Quel est le rôle de la fonction delta dans le calcul des intégrales?
En quoi la série de Fourier d'une fonction carrée peut-elle être caractérisée?
En quoi la série de Fourier d'une fonction carrée peut-elle être caractérisée?
Quelle est la forme des réponses élémentaires causales?
Quelle est la forme des réponses élémentaires causales?
Qu'est-ce qui est utilisé quand les fonctions sont divergentes sous-exponentielles?
Qu'est-ce qui est utilisé quand les fonctions sont divergentes sous-exponentielles?
Quel est le résultat de l'échantillonnage idéal d'un signal?
Quel est le résultat de l'échantillonnage idéal d'un signal?
Quelle fonction d’échantillonnage est utilisée dans l'échantillonnage réel?
Quelle fonction d’échantillonnage est utilisée dans l'échantillonnage réel?
Quel est le spectre de la fonction d’échantillonnage?
Quel est le spectre de la fonction d’échantillonnage?
Quelle relation existe entre une fonction périodique et sa transformée de Fourier?
Quelle relation existe entre une fonction périodique et sa transformée de Fourier?
Qu'est-ce que l'intégrale de Fourier ne peut pas garantir?
Qu'est-ce que l'intégrale de Fourier ne peut pas garantir?
Quelle est la condition pour que la transformée de Fourier existe?
Quelle est la condition pour que la transformée de Fourier existe?
Quel est l'objectif principal du blocage d'ordre 0 dans l'échantillonnage?
Quel est l'objectif principal du blocage d'ordre 0 dans l'échantillonnage?
Que représente le train d'impulsions de Dirac dans le domaine temporel?
Que représente le train d'impulsions de Dirac dans le domaine temporel?
Que mensuel représente la fonction d’échantillonnage rectangulaire?
Que mensuel représente la fonction d’échantillonnage rectangulaire?
Quel est l'effet d'un échantillonnage réel sur un signal analogique?
Quel est l'effet d'un échantillonnage réel sur un signal analogique?
Quelle est la caractéristique principale d'une transformée de Fourier des fonctions échantillonnées?
Quelle est la caractéristique principale d'une transformée de Fourier des fonctions échantillonnées?
Quelle affirmation est correcte concernant la transformée de Fourier des signaux périodiques ?
Quelle affirmation est correcte concernant la transformée de Fourier des signaux périodiques ?
Quelle propriété est_false concernant la transformée de Fourier ?
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Quel est le comportement limite du spectre de fréquences d'un signal périodique lorsque la période tend vers l'infini ?
Quel est le comportement limite du spectre de fréquences d'un signal périodique lorsque la période tend vers l'infini ?
Quel réflexe mathématique est utilisé pour passer de la série de Fourier à la transformée de Fourier ?
Quel réflexe mathématique est utilisé pour passer de la série de Fourier à la transformée de Fourier ?
Quelle équation représente la transformée de Fourier conduite ?
Quelle équation représente la transformée de Fourier conduite ?
Quelle propriété de la transformée de Fourier indique que l'énergie est conservée ?
Quelle propriété de la transformée de Fourier indique que l'énergie est conservée ?
Quelle est la fonction de la transformée de Fourier inverse ?
Quelle est la fonction de la transformée de Fourier inverse ?
Quel est un des résultats de la propriété de la dérivée pour la transformée de Fourier ?
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Quel est l'effet du facteur $λ$ sur la transformée de Fourier d'une fonction ?
Quel est l'effet du facteur $λ$ sur la transformée de Fourier d'une fonction ?
Quel type de signal peut être approximé par une série de Fourier ?
Quel type de signal peut être approximé par une série de Fourier ?
Quel est le rôle du Dirac dans le contexte des séries de Fourier ?
Quel est le rôle du Dirac dans le contexte des séries de Fourier ?
Quel est l'effet de la compression temporelle sur le spectre fréquentiel selon la transformée de Fourier ?
Quel est l'effet de la compression temporelle sur le spectre fréquentiel selon la transformée de Fourier ?
Quel type de calcul est lié à l’intégration par la méthode des rectangles en rapport avec la transformée de Fourier ?
Quel type de calcul est lié à l’intégration par la méthode des rectangles en rapport avec la transformée de Fourier ?
Flashcards
Transformée de Fourier
Transformée de Fourier
La transformée de Fourier est une opération mathématique qui permet de décomposer un signal en une somme d'ondes sinusoïdales de différentes fréquences.
Transformée de Fourier d'une fonction périodique
Transformée de Fourier d'une fonction périodique
La transformée de Fourier d'une fonction périodique est une somme de fonctions de Dirac centrées aux fréquences de la fonction périodique.
Transformée de Fourier d'un train de Dirac
Transformée de Fourier d'un train de Dirac
La transformée de Fourier d'un train de Dirac est un autre train de Dirac.
Transformée de Fourier inverse d'une fonction de Dirac
Transformée de Fourier inverse d'une fonction de Dirac
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Transformée de Fourier d'un signal porte
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Convolution
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Système linéaire
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Réponse impulsionnelle
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Fonction de transfert
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Analyse fréquentielle
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Relation entre convolution et multiplication dans le domaine fréquentiel
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Fonction à support compact
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Série de Fourier
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Fonction delta de Dirac
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Échantillonnage idéal
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Échantillonnage réel
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Échantillonnage avec blocage d’ordre 0
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Spectre d'un signal
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Fonction sinc (sinus cardinal)
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Théorème de convolution
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Théorème d’échantillonnage de Nyquist-Shannon
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Repliement spectral
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Filtrage passe-bas
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Study Notes
Transformée de Fourier
- Présentée par Éric Tournier et Arnaud Fernandez
- Version 1.75, Septembre 2024
- Produit par le LAAS/CNRS, Université de Toulouse et Université Paul Sabatier
Avant-propos
- Le support de cours n'est qu'un support, n'étant pas exhaustif.
- Il ne remplace pas le cours.
- Il contient principalement des figures et schémas complexes.
- Il ne comprend pas tous les développements théoriques, schémas ou commentaires oraux.
- Une prise complète de notes est recommandée.
Plan du cours
- Définitions (transformée de Fourier réciproque, transformée de Fourier de fonctions périodiques - séries de Fourier, étude des systèmes linéaires, transformée de Fourier des fonctions échantillonnées)
Préliminaires
- Intégration par la méthode des rectangles.
- Exemples de calculs d'intégrales par approximation.
Introduction (1/2)
- Comportement des spectres à période infinie.
- Rappel des séries de Fourier pour un signal périodique f₁, de période T : les fréquences possibles sont v = k / T, où k ∈ Z.
- Le spectre des fréquences est discret et donné par les coefficients de Fourier.
- Le spectre de Fourier reconstruit le signal par la série de Fourier.
- Un signal non périodique R ǝt → f(t) peut être vu comme un signal périodique dont la période tend vers l'infini : f(t) = lim f(t) T→ +∞
Introduction (2/2)
- Déduction de la transformée de Fourier à partir des séries de Fourier.
- Équations mathématiques détaillées sur la transition entre la série de Fourier et la transformée de Fourier.
Exercice
- Série de Fourier d'une fonction f₁ donnée.
- Calcul de la transformée de Fourier de f.
- Équations et représentation graphique de la fonction.
Propriétés
- F(f+g)=F(f)+F(g).
- F(af)=aF(f), a∈C.
- Conservation de l'énergie : ∫|F(v)|² dv = ∫ |f(t)|² dt.
- Produit de convolution : (f*g)(t) = ∫f(τ)g(t−τ) dτ.
- F(f*g) = F(f).F(g).
- F(f.g) = F(f)*F(g).
- Dérivées de la transformée de Fourier.
Transformée de Fourier réciproque
- Propriétés de la transformée de Fourier inverse.
- Fonctions de transfert.
- Calculs et dérivées.
Transformée de Fourier des fonctions périodiques (1/2)
- Utilisation du Dirac pour déterminer les coefficients de Fourier.
- Rappels sur les propriétés du Dirac.
- Toute série de Fourier f(t) = Σ CR(f) ei2πkt/T.
- Exemple: démonstration que la transformée de Fourier d'un train de Dirac est aussi un train de Dirac.
Transformée de Fourier des fonctions périodiques (2/2)
- Calcul de la transformée de Fourier d'un signal "porte".
- Calcul de la transformée de Fourier directe et inverse de 8.
- Retrouver la série de Fourier d'une fonction carrée.
Généralités sur l'étude d'un système linéaire (1/2)
- Définition de la réponse impulsionnelle.
- Calcul de la sortie g(t)=(h*f)(t) où h est la réponse impulsionnelle et f est l'entrée.
- Utilisation de la transformée de Fourier pour simplifier le calcul de la convolution.
Généralités sur l'étude d'un système linéaire (2/2)
- Équations différentielles décrivant les systèmes linéaires.
- Fonctions de transfert.
- Réponses élémentaires et causales d'un système.
Échantillonnage idéal
- Modélisation temporelle et représentation graphique du procédé d'échantillonnage.
- Train d'impulsions de Dirac et signal analogique.
- Signal échantillonné idéal.
Échantillonnage réel
- Fonction d'échantillonnage réelle rectangle.
- Signal analogique et signal échantillonné réel comparativement au signal idéal
Échantillonnage avec blocage d'ordre 0
- Créneau élémentaire rectangle.
- Exemples de représentation des échantillonnages à différents ordres de maintien.
- Signal échantillonné avec blocage.
Échantillonnage de signaux et spectre (1/3, 2/3, 3/3)
- Tableau récapitulatif de la modélisation temporelle et fréquentielle de l'échantillonnage.
- Relations entre le train d'impulsions, le signal analogique et les échantillonnages temporels et fréquentiels.
- Spectre du signal échantillonné idéal, réel et avec maintien.
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