Support Cours TF 2024-25 PDF

Transformée de Fourier F Éric Tournier & Arnaud Fernandez LAAS/CNRS − Université de Toulouse − Université Paul Sabatier v 1.75 – Septembre 2024 Avant-propos ▶ 6 h cours ▶ Ce support de cours n’est qu’un... support ! ▶ il n’est pas autosuffisant ▶ il ne remp...

Transformée de Fourier F Éric Tournier & Arnaud Fernandez LAAS/CNRS − Université de Toulouse − Université Paul Sabatier v 1.75 – Septembre 2024 Avant-propos ▶ 6 h cours ▶ Ce support de cours n’est qu’un... support ! ▶ il n’est pas autosuffisant ▶ il ne remplace pas le cours ▶ il contient essentiellement des figures & schémas longs et/ou difficiles à recopier ▶ il ne contient pas : ▶ tous les schémas ▶ tous les développements théoriques ▶ tous les commentaires oraux ▶ Une prise de notes complémentaire est vivement recommandée Plan du cours sur la transformée de Fourier Définitions Transformée de Fourier réciproque Transformée de Fourier des fonctions périodiques (→ séries de Fourier) Étude de systèmes linéaires Transformée de Fourier des fonctions échantillonnées Préliminaires Intégration par la méthode des rectangles ∞ ∫ 𝑓(𝑥) d𝑥 𝑓(𝑥) 0 𝑥 ∞ ∑ 𝑓(𝑘 Δ𝑥) Δ𝑥 𝑘=0 𝑓(Δ𝑥) 𝑓(2Δ𝑥) 𝑓(3Δ𝑥) 𝑓(8Δ𝑥) 𝑓(0) 𝑓(4Δ𝑥) 𝑓(5Δ𝑥) 𝑓(6Δ𝑥) 𝑓(7Δ𝑥) 𝑥 Δ𝑥 2Δ𝑥 3Δ𝑥 4Δ𝑥 5Δ𝑥 6Δ𝑥 7Δ𝑥 8Δ𝑥 ∞ ∞ Δ𝑥 → d𝑥 ∑ 𝑓(𝑘 Δ𝑥) Δ𝑥 −−−−−−−−→ ∫ 𝑓(𝑥) d𝑥 𝑘 Δ𝑥 → 𝑥 𝑘=0 0 𝑥 Introduction (1/2) Comportement limite du spectre de fréquences d’un signal périodique lorsque la période tend vers l’infini Rappel du cours sur les séries de Fourier pour un signal périodique 𝑓T de période T : ▶ les fréquences possibles sont ν = 𝑘 T où 𝑘 ∈ ℤ ▶ le spectre des fréquences, discret, est donné par les coefficients de Fourier : T 𝑘 1 2 𝑘 ν= ↦ 𝑐𝑘 (𝑓T ) = ∫ 𝑓T (𝑡) e−j 2 π T 𝑡 d𝑡 T T −T 2 ▶ le spectre des fréquences reconstruit le signal par la série de Fourier : +∞ 𝑘 S𝑓 (𝑡) = ∑ 𝑐𝑘 (𝑓T ) ej 2 π T 𝑡 T 𝑘=−∞ ▶ Un signal non-périodique ℝ ∋ 𝑡 ↦ 𝑓(𝑡) peut être vu comme un signal périodique dont la période tend vers l’infini : 𝑓(𝑡) = lim 𝑓T (𝑡) T→+∞ Introduction (2/2) De la série de Fourier vers la transformée de Fourier 𝑐𝑘 (𝑓T ) ∞ ⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞ T 1 𝑘 𝑘 S𝑓 (𝑡) = ∑ ( ∫ 𝑓T (𝑡) e−j 2 π T 𝑡 d𝑡) ej 2 π T 𝑡 2 T 𝑘=−∞ T − T 2 ∞ T 𝑘 𝑘 1 S𝑓 (𝑡) = ∑ (∫ 𝑓T (𝑡) e−j 2 π T 𝑡 d𝑡) ej 2 π T 𝑡 2 T 𝑘=−∞ − 2T T 1 𝑘 T→∞; T → dν ; T → ν ; 𝑓T → 𝑓 ∞ ∞ 𝑓(𝑡) = ∫ (∫ 𝑓(𝑡) e−j 2 π ν 𝑡 d𝑡) ej 2 π ν 𝑡 dν −∞ −∞ ▶ Finalement : ∞ (F 𝑓)(ν) = F(ν) = ∫ 𝑓(𝑡) e−j 2 π ν 𝑡 d𝑡 −∞ ∞ (F F)(𝑡) = 𝑓(𝑡) = ∫ F(ν) ej 2 π ν 𝑡 dν −1 −∞ Exercice De la série de Fourier vers la transformée de Fourier ▶ On donne la série de Fourier de la fonction 𝑓T suivante : ∞ T 𝑘 𝑘 ∑ [1 − cos (2 π )] ej 2 π T 𝑡 𝑘=−∞ 𝑘 2 π2 T 𝑓T (𝑡) 2 T 𝑡 −1 1 ▶ En déduire la transformée de Fourier de la fonction 𝑓 suivante : 𝑓(𝑡) 2 𝑡 −1 1 Propriétés ▶ F (𝑓 + 𝑔) = F 𝑓 + F 𝑔 ▶ F (λ 𝑓) = λ F 𝑓, λ ∈ ℂ F −1 ▶ 𝑓(𝑡 − 𝑡0 ) ↼ −−− e−j 2 π ν 𝑡0 F 𝑓(ν) −−−−−−−⇁ F F −1 1 ▶ 𝑓 (𝑎 𝑡) −−−−−⇁ ↼−−−−− |𝑎| F 𝑓 ( 𝑎ν ) F ▶ F 𝑓(ν) → 0 lorsque |ν| → +∞ (Riemann-Lebesgue) ▶ Dérivée de la transformée : (F 𝑓)′ (ν) = F (−j 2 π 𝑡 𝑓(𝑡))(ν) ▶ Transformée de la dérivée : F (𝑓 ′ )(ν) = j 2 π ν F 𝑓(ν) 2 F −1 2 ▶ e−π 𝑡 ↼ −−− e−π ν −−−−−−−⇁ F +∞ +∞ ▶ Conservation de l’énergie : ∫ |F 𝑓(ν)|2 dν = ∫ |𝑓(𝑡)|2 d𝑡 −∞ −∞ ∞ ▶ Produit de convolution : (𝑓 ∗ 𝑔)(𝑡) = ∫ 𝑓(τ) 𝑔(𝑡 − τ) dτ −∞ ▶ F (𝑓 ∗ 𝑔) = F 𝑓 ⋅ F 𝑔 ▶ F (𝑓 ⋅ 𝑔) = F 𝑓 ∗ F 𝑔 Plan du cours sur la transformée de Fourier Définitions Transformée de Fourier réciproque Transformée de Fourier des fonctions périodiques (→ séries de Fourier) Étude de systèmes linéaires Transformée de Fourier des fonctions échantillonnées Transformée de Fourier réciproque La transformée de Fourier inverse vérifie au signe près les mêmes propriétés que la transformée de Fourier directe : ▶ F −1 (F + G) = F −1 F + F −1 G ▶ F −1 (λ F) = λ F −1 F, λ ∈ ℂ F ▶ F(ν − ν0 ) ↼ −−− ej 2 π 𝑡 ν0 F −1 F(𝑡) −−−−−−−⇁ F −1 F ▶ F (𝑎 ν) −↼ −−−−−−⇁ −−− 1 F −1 F ( 𝑎𝑡 ) F −1 |𝑎| ▶ Dérivée de la transformée : (F −1 F)′ (𝑡) = F −1 (j 2 π ν F)(𝑡) ▶ Transformée de la dérivée : F −1 (F′ )(𝑡) = −j 2 π 𝑡 (F −1 F)(𝑡) ▶ (F −1 (F 𝑓))(𝑡) = 𝑓(𝑡) ▶ (F (F 𝑓))(𝑡) = 𝑓(−𝑡) Plan du cours sur la transformée de Fourier Définitions Transformée de Fourier réciproque Transformée de Fourier des fonctions périodiques (→ séries de Fourier) Étude de systèmes linéaires Transformée de Fourier des fonctions échantillonnées Transformée de Fourier des fonctions périodiques (1/2) Ou comment traiter les séries de Fourier avec le formalisme de la transformée de Fourier ▶ On utilise le Dirac pour « matérialiser » les coefficients de Fourier sur le spectre. ▶ Rappel des propriétés du Dirac : ∞ ∫ 𝑓(𝑥) δ(𝑥 − 𝑥0 ) d𝑥 = 𝑓(𝑥0 ) −∞ 𝑓(𝑥) δ(𝑥 − 𝑥0 ) = 𝑓(𝑥0 ) δ(𝑥 − 𝑥0 ) 𝑓(𝑥) ∗ δ(𝑥) = 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥) ∗ δ(𝑥 − 𝑥0 ) = 𝑓(𝑥 − 𝑥0 ) 𝑘=+∞ 𝑘 ▶ Toute série de Fourier s’écrit alors : 𝑓T (𝑡) = ∑ 𝑐𝑘 (𝑓T ) ej 2 π T 𝑡 𝑘=−∞ 𝑘=+∞ 𝑘 et possède comme transformée de Fourier : F 𝑓T (ν) = ∑ 𝑐𝑘 (𝑓T ) δ (ν − ) 𝑘=−∞ T ▶ Exercice : montrer que la F d’un train de Dirac est aussi un train de Dirac : ∞ ∞ F −1 1 δT (𝑡) = ∑ δ (𝑡 − 𝑘 T) ↼ −−− δ 1 (ν) = 1 ∑ δ (ν − 𝑘 ) −−−−−−−⇁ 𝑘=−∞ F T T T 𝑘=−∞ T Transformée de Fourier des fonctions périodiques (2/2) Ou comment traiter les séries de Fourier avec le formalisme de la transformée de Fourier ▶ Calculer la transformée de Fourier du signal porte d’amplitude 1 et de largeur Δ ▶ Calculer la transformée de Fourier directe et inverse de δ ▶ Retrouver la série de Fourier de la fonction carrée 𝑓 suivante : −4 (On rappelle : 𝑏2 𝑝+1 (𝑓) = (2 𝑝+1) π et 𝑏2 𝑝 (𝑓) = 0) 𝑓(𝑡) 1 𝑡 −4 π −3 π −2 π −π π 2π 3π 4π −1 Plan du cours sur la transformée de Fourier Définitions Transformée de Fourier réciproque Transformée de Fourier des fonctions périodiques (→ séries de Fourier) Étude de systèmes linéaires Transformée de Fourier des fonctions échantillonnées Généralités sur l’étude d’un système linéaire (1/2) Entrée 𝑓 Système S Sortie 𝑔 ▶ En temporel, la réponse 𝑔 du système de réponse impulsionnelle ℎ à une excitation 𝑓 est donnée par le produit de convolution : ∞ 𝑔(𝑡) = (ℎ ∗ 𝑓)(𝑡) = ∫ ℎ(τ) 𝑓(𝑡 − τ) dτ −∞ ▶ À ce calcul direct, on préfèrera plutôt passer par la transformée de Fourier : 𝑓(𝑡) ∗ ℎ(𝑡) = 𝑔(𝑡) F ↓ ↓ ↓ ↑ F −1 F(ν) ⋅ H(ν) = G(ν) → Généralités sur l’étude d’un système linéaire (2/2) ▶ Tout système linéaire est décrit par une équation différentielle (𝑚 > 𝑛) : d𝑔 d2 𝑔 d𝑚 𝑔 d𝑓 d2 𝑓 d𝑛 𝑓 𝑏0 𝑔 + 𝑏1 + 𝑏2 2 +... + 𝑏𝑚 𝑚 = 𝑎0 𝑓 + 𝑎1 + 𝑎2 2 +... + 𝑎𝑚 𝑛 d𝑡 d𝑡 d𝑡 d𝑡 d𝑡 d𝑡 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 +... + 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 ▶ D’où les fonctions de transfert (𝑥 = j 2 π ν) : 𝑏0 + 𝑏1 𝑥 + 𝑏2 𝑥 2 +... + 𝑏𝑚 𝑥 𝑚 ▶ Après décomposition complexe, tous les éléments simples sont au format : A 𝑖 (𝑥 − 𝑥0 ) ▶ Donc toutes les réponses élémentaires sont de la forme : 𝑡𝑖−1 ▶ Causale A e𝑥0 𝑡 𝑢(𝑡) si R (𝑥0 ) < 0 (𝑖 − 1)! 𝑖−1 ▶ Non causale A 𝑡 e−𝑥0 𝑡 𝑢(−𝑡) si R (𝑥0 ) > 0 (𝑖 − 1)! ▶ Si les fonctions sont divergentes sous-exponentielles : ▶ L’intégrale de Fourier ne converge plus donc la transformée de Fourier n’existe plus ▶ Il faut alors utiliser la transformée de Laplace, si les fonctions sont causales. Plan du cours sur la transformée de Fourier Définitions Transformée de Fourier réciproque Transformée de Fourier des fonctions périodiques (→ séries de Fourier) Étude de systèmes linéaires Transformée de Fourier des fonctions échantillonnées  Échantillonnage idéal Modélisation temporelle − T𝑒 hantillonné idéal ×𝑓 ∗ 1 Train d’impulsions de Dirac δT T𝑒 2 T𝑒 3 T𝑒 = 4 T𝑒 5 T𝑒 𝑒 6 T𝑒 7 T𝑒 8 T𝑒 9 T𝑒 𝑡 Signal analogique 𝑓 𝑓(2 T𝑒 ) 𝑓(3 T𝑒 ) 𝑓(4 T𝑒 ) 𝑓(8 T𝑒 𝑓(5 T𝑒 ) 𝑡 𝑓(7 T𝑒 ) 𝑓(6 T𝑒 ) Signal échantillonné idéal 𝑓 ∗ = 𝑓(9 T𝑒 ) 𝑓(2 T𝑒 ) 𝑓(3 T𝑒 ) 𝑓( T𝑒 ) 𝑓(4 T𝑒 ) 𝑓(8 T𝑒 ) 𝑓(5 T𝑒 ) 𝑓(7 T𝑒 ) 𝑓(0) 𝑓(6 T𝑒 ) 𝑓(− T𝑒 ) 𝑡 − T𝑒 T𝑒 2 T𝑒 3 T𝑒 4 T𝑒 5 T𝑒 6 T𝑒 7 T𝑒 8 T𝑒 9 T𝑒  Échantillonnage réel Modélisation temporelle = 𝑡− 2τ Fonction d’échantillonnage réel rectT ( τ ) 𝑒 1 τ 𝑡 − T𝑒 T𝑒 2 T𝑒 3 T𝑒 4 T𝑒 5 T𝑒 6 T𝑒 7 T𝑒 8 T𝑒 9 T𝑒 antillonné 𝑓𝑟∗ réel× Signal analogique 𝑓 𝑡 Signal échantillonné 𝑓𝑟∗ réel = τ 𝑡 − T𝑒 T𝑒 2 T𝑒 3 T𝑒 4 T𝑒 5 T𝑒 6 T𝑒 7 T𝑒 8 T𝑒 9 T𝑒  Échantillonnage avec blocage d’ordre 0 (ou maintien) 2 T𝑒 3 T𝑒 Modélisation temporelle 4 T𝑒 5 T𝑒 6 T𝑒 7 T𝑒 8 T𝑒 = 𝑡− 2τ Créneau élementaire rect ( τ ) 1 τ 𝑡 τ ∗ blocage 2 ∗ antillonné 𝑓𝑏 avec Signal échantillonné idéal 𝑓 ∗ 𝑓(9 T𝑒 ) 𝑓(2 T𝑒 ) 𝑓(3 T𝑒 ) 𝑓( T𝑒 ) 𝑓(4 T𝑒 ) 𝑓(8 T𝑒 ) 𝑓(5 T𝑒 ) 𝑓(7 T𝑒 ) 𝑓(0) 𝑓(6 T𝑒 ) 𝑓(− T𝑒 ) 𝑡 − T𝑒 T𝑒 2 T𝑒 3 T𝑒 4 T𝑒 5 T𝑒 6 T𝑒 7 T𝑒 8 T𝑒 9 T𝑒 Signal échantillonné 𝑓𝑏 avec blocage ∗ = τ 𝑡 − T𝑒 T𝑒 2 T𝑒 3 T𝑒 4 T𝑒 5 T𝑒 6 T𝑒 7 T𝑒 8 T𝑒 9 T𝑒 Échantillonnage de signaux et spectre (1/3) Modélisation temporelle des échantillonnages idéal, réel et avec maintien Train d’impulsions de Dirac δTe (t) rect ( t− 2τ ) Fonction d’échantillonnage rectTe ( τt ) τ τ t − 2τ ∑ δ(t − k Te ) = ∑ rect ( ) = rect ( τ ) ⋆ δ Te (t) ∞ 1 ∞ k j 2 π Te t ∞ t− − k Te ∑ e 2 1 k=−∞ Te k=−∞ ⋆ 1 τ = 1 k=−∞ τ τ 2 τ Te Te × Signal analogique f (t) Échantillonnage réel fr (t) ∗ × = Te τ = Échantillonnage idéal f (t) rect ( ) Échantillonnage avec maintien fb (t) ∗ t− 2τ ∗ τ ⋆ 1 = τ τ 2 τ Te Te Échantillonnage de signaux et spectre (2/3) Modélisation fréquentielle des échantillonnages idéal, réel et avec maintien Spectre du train d’impulsions de Dirac τ sinc(τ ν) Spectre de la fonction d’échantillonnage 1 τ τ δ 1 (t) 1 Te Te Te Te × = 1 1 1 τ 1 τ Te Te ⋆ ∗ Spectre Fr (ν) de l’échantillonnage réel Spectre F(ν) du signal analogique Aτ Te A ⋆ = B B 1 1 τ = Te ∗ ∗ Spectre F (ν) de l’échantillonnage idéal τ sinc(τ ν) Spectre Fb (ν) de l’échantillonnage avec maintien A τ Te Aτ × = Te B 1 B 1 1 τ 1 τ Te Te Échantillonnage de signaux et spectre (3/3) Tableau récapitulatif Temporel (𝑡) Fréquentiel (ν) Périodisation d’une fonction 𝑦(𝑥) avec une période 𝑥0 ∞ ∑ 𝑦(𝑥 − 𝑘 𝑥0 ) = 𝑦(𝑥) ∗ δ𝑥0 (𝑥) = 𝑦𝑥0 (𝑥) 𝑘=−∞ Fonction d’échantillonnage réelle 𝑡 𝑡 1 τ rectT ( ) = rect ( ) ∗ δT (𝑡) τ sinc(ν τ) ⋅ δ 1 (ν) = sinc(ν τ) δ 1 (ν) 𝑒 τ τ 𝑒 T𝑒 T𝑒 T𝑒 T𝑒 Échantillonnage idéal 1 1 𝑓 ∗ (𝑡) = 𝑓(𝑡) ⋅ δT (𝑡) F(ν) ∗ [ δ 1 (ν)] = F 1 (ν) 𝑒 T𝑒 T𝑒 T𝑒 T𝑒 Échantillonnage avec maintien (blocage ordre 0) 𝑡 1 τ 𝑓1∗ (𝑡) = [𝑓(𝑡) ⋅ δT (𝑡)] ∗ rect ( ) [ F 1 (ν)] ⋅ [τ sinc(ν τ)] = sinc(ν τ) F 1 (ν) 𝑒 τ T𝑒 T𝑒 T𝑒 T𝑒 Échantillonnage réel 𝑡 1 τ 𝑓2∗ (𝑡) = 𝑓(𝑡) ⋅ [rect ( ) ∗ δT (𝑡)] F(ν) ∗ [τ sinc(ν τ) ⋅ δ 1 (ν)] = F(ν) ∗ [sinc(ν τ) δ 1 (ν)] τ 𝑒 T𝑒 T𝑒 T𝑒 T𝑒