Théorie des Transformées de Fourier

Study Notes

La transformée de Fourier décompose un signal en ses composantes de fréquence, fournissant une nouvelle représentation pouvant être plus adaptée à certaines tâches.
La réduction du bruit et la compression sont des exemples d'applications de la transformation de Fourier.

La transformée de Fourier d'une fonction $f(t)$ est définie par $F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-j\omega t}dt$.
La transformée inverse de Fourier est définie par $f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)e^{j\omega t}d\omega$.

Linéarité : La transformée de Fourier est un opérateur linéaire.
Décalage temporel : Un décalage dans le temps correspond à un déphasage dans la fréquence.
Décalage fréquentiel : Un décalage en fréquence correspond à un déphasage dans le temps.
Changement d'échelle : Un changement d'échelle dans le temps correspond à un changement d'échelle dans la fréquence.
Différenciation : La différenciation dans le temps correspond à une multiplication par $j\omega$ en fréquence.
Intégration : L'intégration dans le temps correspond à une division par $j\omega$ en fréquence.
Convolution : La convolution dans le temps correspond à une multiplication en fréquence.
Multiplication : La multiplication dans le temps correspond à une convolution en fréquence.
Théorème de Parseval : L'énergie d'un signal est la même dans les domaines temporel et fréquentiel, exprimée par $\int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|^2 dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} |F(\omega)|^2 d\omega$.

Fonction	Transformée de Fourier
$\delta(t)$	$1$
$1$	$2\pi\delta(\omega)$
$e^{j\omega_0t}$	$2\pi\delta(\omega - \omega_0)$
$\cos(\omega_0t)$	$\pi[\delta(\omega - \omega_0) + \delta(\omega + \omega_0)]$
$\sin(\omega_0t)$	$j\pi[\delta(\omega + \omega_0) - \delta(\omega - \omega_0)]$
$rect(t)$	$sinc(\omega)$
$sinc(t)$	$rect(\omega)$
$e^{-at}u(t), \Re{a} \gt 0$	$\frac{1}{a + j\omega}$
$e^{-a	t
$te^{-at}u(t), \Re{a} \gt 0$	$\frac{1}{(a + j\omega)^2}$
$t^ne^{-at}u(t), \Re{a} \gt 0$	$\frac{n!}{(a + j\omega)^{n+1}}$
$\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^{-at}u(t)$	$\frac{1}{(a + j\omega)^n}$

$rect(t) = \begin{cases} 1, & |t| \le \frac{1}{2} \ 0, & |t| \gt \frac{1}{2} \end{cases}$

$sinc(t) = \frac{sin(\pi t)}{\pi t}$

La transformée de Fourier est un outil puissant pour le traitement du signal.
Elle décompose un signal en ses composantes de fréquence.
Elle possède de nombreuses propriétés utiles, telles que la linéarité, le décalage temporel, le décalage fréquentiel, le changement d'échelle, la différenciation, l'intégration, la convolution, la multiplication et le théorème de Parseval.