Teorija iger: Uvod v strateške interakcije

Kaj je teorija iger?

• Preučevanje strateških interakcij med racionalnimi akterji.
• Vsak akter (igralec) maksimizira svoje lastno dobro počutje (korist, izplačilo).
• Igralčeva korist je odvisna od dejanj drugih akterjev.

Primeri teorije iger

• Dražbe: eBay, Google AdWords
• Usmerjanje: Waze
• Družbena omrežja: Facebook, Twitter
• Ekonomija delitve: Uber, Airbnb

Slabosti sebičnosti

• Sebičnost lahko privede do slabe učinkovitosti.

Braessov paradoks

• Omrežje z 2 izvoroma in 2 ciljema.
• Igralci: želi potovati od izvora do cilja.
• Strategije: izberite pot.

Stroški poti

• S-A-T: 1+x
• S-B-T: x+1
• S-A-B-T: x+x = 2x
• S-B-A-T: x+x = 2x

Ravnovesje

• Vsak agent izbere najkrajšo pot glede na poti drugih agentov.

Nashovo ravnovesje

• Strateški profil (strategija za vsakega agenta), kjer noben agent ne želi enostransko odstopati.

Pareto-optimalno

• Izid je Pareto-optimalen, če ni drugega izida, kjer so vsi agenti vsaj tako srečni in je en agent strogo srečnejši.

Cena anarhije (PoA)

• Razmerje med družbeno blaginjo najslabšega Nashovega ravnovesja in družbenim optimumom.
• S 100 agenti je cena v Nashovem ravnovesju 1,5.
• Družbeni optimum je 1.
• Cena anarhije je 4/3.

Algoritemska teorija

• Poudarek je na računanju ravnovesij.
• Osredotočenost na računalniške vidike.
• Implementacija ravnovesij.
• Oblikovanje iger.

Teme, ki jih obravnavamo

• Koncepti rešitev: Nashovo ravnovesje, Bayesovo-Nashevo ravnovesje, korelirano ravnovesje itd.
• Učinkovitost ravnovesij: cena anarhije in več.
• Oblikovanje mehanizmov: dražbe, glasovanje, delitev stroškov itd.
• Aplikacije: internet, družbena omrežja itd.
• Računalniški vidiki ravnovesij.
• Učenje v igrah.

Dodatno branje

• Noam Nisan, Tim Roughgarden, Eva Tardos, Vijay V. Vazirani, Algorithmic Game Theory, Cambridge University Press, 2007.
• Constantinos Daskalakis, Algorithmic Aspects of Game Theory, MIT course notes, 2016.
• Tim Roughgarden, Twenty Lectures on Algorithmic Game Theory, Cambridge University Press, 2016.

Skalarji

• Količine, ki so v celoti določene z magnitudo (število in enota).

Vektorji

• Za popolno določitev zahtevajo magnitudo in smer.

Grafična predstavitev

• Vektorji so predstavljeni s puščico, pri čemer dolžina puščice označuje magnitudo vektorja, smer puščice pa označuje smer vektorja.

Simbolična predstavitev

• Vektorji so označeni z odebeljeno črko (npr. A) ali s puščico nad pisavo (npr. $\overrightarrow{A}$).
• Magnituda vektorja je $A$ ali $|A|$.

Enakost vektorjev

• Ista magnituda in smer, ne glede na točko aplikacije.

Negativni vektor

• Enaka magnituda kot A, vendar nasprotna. označen kot -A.

Seštevanje vektorjev

• Vodijo k rezultantnemu vektorju.

Triogolniška metoda

• Rezultatni vektor R = A + B najdemo tako, da postavimo izvir vectorja B na konec vectorja A
• Vector R sega od izvora A do konca B.

Metoda paralelograma

• Posledični vektor R je diagonala paralelograma, ki ga tvorita vektorja A in B, nameščena s skupnim izvorom.

Metoda poligona

• Za seštevanje več vektorjev vektorje postavimo zaporedoma, pri čemer povežemo konec enega vektorja z vir naslednjega. Rezultatni vektor se razteza od izvora prvega vektorja do konca zadnjega vektorja.

Lastnosti seštevanja vektorjev

• Komutativnost: A + B = B + A
• Asociativnost: (A + B) + C = A + (B + C)

Odštevanje vektorjev

• Odštevanje vektorja B od vektorja A je definirano kot seštevanje vektorja A in negativnega vektorja B: A - B = A + (-B)

Množenje vektorja s skalarjem

• Produkt $k$ in vektorja A je nov vektor $k$A, ki ima isto smer kot A, če je $k$ pozitiven, in nasprotno smer, če je $k$ negativen. Magnituda novega vektorja je $|k|A$.

Komponentni vektorji

• Vsak vektor lahko razstavimo na komponente vzdolž koordinatnega sistema.

Izračun $A_x$ in $A_y$ komponent

• $A_x = A \cos\theta$
• $A_y = A \sin\theta$
• $\theta$ je kot, kjer se vektor A oblikuje z x osjo.

Enotski vektor

• Vektor z magnitudo 1, ki kaže v določeno smer.

Vektorji vzdolž x,y in z

• $\hat{\imath}$, $\hat{\jmath}$, in $\hat{k}$

Skalarni produkt

• Produkt dveh vektorjev, označen kot A · B, je definiran kot: $\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = AB \cos\theta$

Lastnosti skalarnega porizvoda

• Komutativen: $\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = \mathbf{B} \cdot \mathbf{A}$
• Distributivni: $\mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} + \mathbf{C}) = \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} + \mathbf{A} \cdot \mathbf{C}$

Produkt s komponentami

• $\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z$

Vektorski produkt

• Produkt dveh vektorjev A in B, označen kot $\mathbf{A} \times \mathbf{B}$, je vektor z dolžino $|\mathbf{A} \times \mathbf{B}| = AB \sin\theta$

Lastnosti vektorskega produkta

• Antikomutativni: $\mathbf{A} \times \mathbf{B} = -\mathbf{B} \times \mathbf{A}$
• Distributivni: $\mathbf{A} \times (\mathbf{B} + \mathbf{C}) = \mathbf{A} \times \mathbf{B} + \mathbf{A} \times \mathbf{C}$

Vektorski produkt s komponentami

• $\mathbf{A} \times \mathbf{B} = (A_yB_z - A_zB_y)\hat{\imath} + (A_zB_x - A_xB_z)\hat{\jmath} + (A_xB_y - A_yB_x)\hat{k}$

Grško-perzijske in peloponeške vojne

• Grško-perzijske vojne

Vzroki

• V začetku 1. tisočletja pr. Kr. so Perzijci ogrožali Grčijo.
• Mesta so se uprla perzijski oblasti.
• Atene so poslale pomoč, vojsko in ladje.
• Perzijski kralj Darej se je upornikom maščeval Atenam.

Potek

• 490 pr. Kr.: spopad na Maratonskem polju, zmaga Grkov.
• 480 pr. Kr.: spopad pri Termopilah, perzijski kralj Kserkses požge Atene.
• 480 pr. Kr.: pomorski spopad pri otoku Salamini, Grki potolčejo večino perzijske mornarice.
• 479 pr. Kr.: spopad pri Platejah – dokončna zmaga Grkov.

Grki so dosegli zmago, ker so:

• se bojevali za svobodo,
• bili bolje oboroženi in so imeli dobre vojaške poveljnike,
• poznali domači teren.