Teoremas de Cálculo Diferencial

Teorema de Rolle

• Establece que si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b), y además f(a) = f(b), entonces existe al menos un punto c dentro del intervalo abierto (a, b) donde la derivada de la función es cero, es decir f'(c) = 0.

Segundo Caso

• Si la función está creciendo y alcanza su máximo valor absoluto en x = c, entonces f(c) = M.

Tercer Caso

• Si la función está decreciendo y alcanza su mínimo valor absoluto en x = c, entonces f(c) = m.

Teorema del Valor Medio de Lagrange

• Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b), entonces existe al menos un punto c dentro del intervalo abierto (a, b) donde la derivada de la función es igual a la pendiente de la recta secante que conecta los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). La fórmula es: f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a).

Teorema de L'Hôpital

• Se usa para evaluar límites indeterminados de la forma 0/0 o ∞/∞ cuando x tiende a un valor específico. Si el límite de f(x)/g(x) cuando x tiende a a es indeterminado (0/0 o ∞/∞), entonces el límite es igual al límite de f'(x)/g'(x) cuando x tiende a a, siempre que este último límite exista.

Aplicación de la regla de L'Hopital para otras formas indeterminadas

• Las formas indeterminadas como (∞-∞), (0.0), (0)º, (∞), (1)º pueden llevarse a la forma 0/0 o ∞/∞ para aplicar la regla de L'Hôpital.

Concavidad de una curva

• Una curva es cóncava en un punto P(a, f(a)) si, en un entorno de a, la curva está por encima de la recta tangente en ese punto.
• Una curva es convexa en un punto P(a, f(a)) si, en un entorno de a, la curva está por debajo de la recta tangente en ese punto.

Punto de inflexión

• Un punto de inflexión es un punto en una función donde la concavidad cambia.
• La condición necesaria para que haya un punto de inflexión en a es que la segunda derivada sea igual a cero, f''(a) = 0.
• La condición suficiente para que haya un punto de inflexión en a es que la segunda derivada cambie de signo al pasar por a, y la tercera derivada no sea cero (f''(a) ≠ 0).

Estudio completo de funciones

• Este incluye:
  • Definición del dominio
  • Intersección con los ejes (ceros y ordenada al origen)
  • Paridad/simetría
  • Análisis de la continuidad/discontinuidad
  • Signos de la función
  • Asíntotas (horizontal, vertical, oblicua)
  • Máximos, mínimos y puntos de inflexión
  • Intervalos de crecimiento y decrecimiento
  • Intervalos de concavidad y convexidad
  • Gráfica de la función
  • Determinar la imagen o recorrido.

Este cuestionario explora varios teoremas fundamentales del cálculo diferencial, incluyendo el Teorema de Rolle, el Teorema del Valor Medio de Lagrange y el Teorema de L'Hôpital. Se analizarán las condiciones necesarias y las aplicaciones de cada teorema a funciones continuas y derivables. Prepárate para poner a prueba tu comprensión de estos conceptos esenciales.