Teorema de Rolle y Valor Medio

Teorema de Rolle

• Establece que si una función y = f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b], derivable en el intervalo abierto (a, b), y f(a) = f(b), entonces existe un punto c en (a, b) donde f'(c) = 0.
• Implica que si la función tiene el mismo valor en los extremos del intervalo, en algún punto intermedio su derivada debe ser cero.

Segundo Caso del Teorema de Rolle

• Si la función crece y alcanza su máximo absoluto en x = c, entonces f(c) = M.

Tercer Caso del Teorema de Rolle

• Si la función decrece y toma su mínimo absoluto en x = c, entonces f(c) = m

Teorema del Valor Medio de Lagrange

• Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b), entonces existe un punto c en (a, b) tal que: f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)
• En otras palabras, la pendiente de la recta tangente a la función en el punto c es igual a la pendiente de la recta secante que conecta los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)).

Teorema de L'Hôpital

• Se utiliza para evaluar límites indeterminados de la forma 0/0 o ∞/∞.
• Si el límite de f(x)/g(x) cuando x tiende a 'a' es indeterminado (0/0 o ∞/∞), entonces el límite es igual al límite de f'(x)/g'(x) cuando x tiende a 'a', siempre y cuando este último límite exista.

Aplicaciones de la regla de L'Hôpital para otras formas indeterminadas

• Las formas indeterminadas como ∞ - ∞, 0 ⋅ ∞, 0⁰, ∞⁰, 1⁰, se transforman a la forma 0/0 o ∞/∞ para aplicar la regla de L'Hôpital.

Extremos Relativos o Locales

• Máximo Relativo: Un punto c es un máximo relativo de f(x) si existe un entorno de c donde todos los valores de f(x) son menores o iguales que f(c).
• Mínimo Relativo: Un punto c es un mínimo relativo de f(x) si existe un entorno de c donde todos los valores de f(x) son mayores o iguales que f(c).

Concavidad

• Convexa: Una curva es cóncava en un punto si la recta tangente en dicho punto se encuentra por debajo de la curva en un entorno de ese punto.
• Cóncava: Una curva es cóncava en un punto si la recta tangente en dicho punto se encuentra por encima de la curva en un entorno de ese punto.

Punto de Inflexión

• Un punto de inflexión es un punto donde una curva cambia de concavidad (de cóncava a convexa o viceversa). Esto sucede cuando la segunda derivada cambia de signo.

Estudio Completo de Funciones

• Definición de Dominio: Se identifica el conjunto de valores de x para los cuales la función está definida.
• Intersección con los ejes: Se determinan los puntos donde la curva cruza el eje x (ceros) y el eje y (ordenada al origen)
• Paridad o Simetría: Se analiza si la función es par (f(-x) = f(x)) o impar (f(-x) = -f(x)).
• Continuidad/Discontinuidad: Se identifican los puntos donde la función no es continua, y se analizan el tipo de discontinuidad
• Signos de la Función: Se determina el signo de la función en diferentes intervalos.
• Asíntotas: Se buscan las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de la función.
• Extremos Relativos y Puntos de Inflexión: Se localizan máximos, mínimos y puntos de inflexión usando las derivadas.
• Crecimiento y Decrecimiento: Se estudian los intervalos donde la función crece o decrece.
• Concavidad: Se determinan los intervalos donde la función es cóncava o convexa.
• Gráfica de la función: se representa gráficamente la funcion
• Imagen/Recorrido: Se determina el conjunto de valores que toma la función (imagen o recorrido).

Este cuestionario cubre los conceptos de los teoremas de Rolle y el Valor Medio de Lagrange. Se exploran las condiciones necesarias para aplicar estos teoremas en funciones continuas y derivables. Aprende a identificar los puntos donde la derivada es cero y cómo se relaciona con los extremos de una función.