Teorema de Rolle y Valor Medio

Study Notes

Establece que si una función y = f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b], derivable en el intervalo abierto (a, b), y f(a) = f(b), entonces existe un punto c en (a, b) donde f'(c) = 0.
Implica que si la función tiene el mismo valor en los extremos del intervalo, en algún punto intermedio su derivada debe ser cero.

Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b), entonces existe un punto c en (a, b) tal que: f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)
En otras palabras, la pendiente de la recta tangente a la función en el punto c es igual a la pendiente de la recta secante que conecta los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)).

Se utiliza para evaluar límites indeterminados de la forma 0/0 o ∞/∞.
Si el límite de f(x)/g(x) cuando x tiende a 'a' es indeterminado (0/0 o ∞/∞), entonces el límite es igual al límite de f'(x)/g'(x) cuando x tiende a 'a', siempre y cuando este último límite exista.

Las formas indeterminadas como ∞ - ∞, 0 ⋅ ∞, 0⁰, ∞⁰, 1⁰, se transforman a la forma 0/0 o ∞/∞ para aplicar la regla de L'Hôpital.

Máximo Relativo: Un punto c es un máximo relativo de f(x) si existe un entorno de c donde todos los valores de f(x) son menores o iguales que f(c).
Mínimo Relativo: Un punto c es un mínimo relativo de f(x) si existe un entorno de c donde todos los valores de f(x) son mayores o iguales que f(c).

Convexa: Una curva es cóncava en un punto si la recta tangente en dicho punto se encuentra por debajo de la curva en un entorno de ese punto.
Cóncava: Una curva es cóncava en un punto si la recta tangente en dicho punto se encuentra por encima de la curva en un entorno de ese punto.

Un punto de inflexión es un punto donde una curva cambia de concavidad (de cóncava a convexa o viceversa). Esto sucede cuando la segunda derivada cambia de signo.

Definición de Dominio: Se identifica el conjunto de valores de x para los cuales la función está definida.
Intersección con los ejes: Se determinan los puntos donde la curva cruza el eje x (ceros) y el eje y (ordenada al origen)
Paridad o Simetría: Se analiza si la función es par (f(-x) = f(x)) o impar (f(-x) = -f(x)).
Continuidad/Discontinuidad: Se identifican los puntos donde la función no es continua, y se analizan el tipo de discontinuidad
Signos de la Función: Se determina el signo de la función en diferentes intervalos.
Asíntotas: Se buscan las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de la función.
Extremos Relativos y Puntos de Inflexión: Se localizan máximos, mínimos y puntos de inflexión usando las derivadas.
Crecimiento y Decrecimiento: Se estudian los intervalos donde la función crece o decrece.
Concavidad: Se determinan los intervalos donde la función es cóncava o convexa.
Gráfica de la función: se representa gráficamente la funcion
Imagen/Recorrido: Se determina el conjunto de valores que toma la función (imagen o recorrido).