Suites Réelles – Introduction

Suites Réelles – Introduction

• Une suite réelle est une liste infinie de nombres réels écrits dans un ordre spécifique.
• Le premier terme est a₁, le deuxième est a₂, et ainsi de suite.
• Le terme général est noté an, où n est l'indice (ou le rang) de an.
• Une suite de nombres réels est une application a: N* → R, où n → a(n) = an.
• (an)n∈N* ou simplement (an) est utilisé pour désigner la suite définie.
• Exemples de suites :
  • an = n : 1, 2, 3, 4, 5, ...
  • an = 1/n : 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...
  • an = 42 : 42, 42, 42, 42, 42, ...
  • an = (-1)ⁿ : -1, 1, -1, 1, -1, 1, ...
  • an = n-ième chiffre du développement décimal de π (π = 3.14159...) : 1, 4, 1, 5, 9, 2, ...
• Plusieurs façons de définir une suite :
  • Formule explicite de an en fonction de n, par exemple an = n².
  • Manière descriptive ou implicite, par exemple an = n-ième chiffre du développement décimal de π.
  • Relation de récurrence, où an est exprimé en fonction des termes précédents, par exemple an+1 = 2an - 1, a₁ = 1.
• Les suites peuvent être représentées graphiquement sur la droite réelle R.

Suites Majorées, Minorées, Monotones

• Le graphe de la fonction a : N* → R, a(n) = an peut être tracé.
• Définitions :
  • (an) est majorée (ou bornée supérieurement) s'il existe M ∈ R tel que an ≤ M pour tout n ∈ N*. M est un majorant (ou borne supérieure).
  • (an) est minorée (ou bornée inférieurement) s'il existe m ∈ R tel que an ≥ m pour tout n ∈ N*. m est un minorant (ou borne inférieure).
  • (an) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
• Remarques :
  • (an) est bornée s'il existe C > 0 tel que |an| ≤ C pour tout n ∈ N*.
  • Une suite majorée a plusieurs majorants : si M est un majorant, tout N > M l'est aussi.
  • Pour montrer qu'une suite est majorée, n'importe quel majorant suffit.
  • La même remarque s'applique pour le minorant.
• Exemples :
  • an = 1/n est minorée car an ≥ 0 et majorée car an ≤ 1, donc bornée.
  • an = n² est minorée car an ≥ 0, mais pas majorée car il n'existe pas de M tel que n² ≤ M pour tout n.
  • an = -n est majorée car an ≤ 0, mais pas minorée car il n'existe pas de m tel que -n ≥ m pour tout n.
  • an = (-1)ⁿ est bornée car |an| = 1, et -1 ≤ an ≤ 1 pour tout n.
  • an = (-1)ⁿ * (n-1)/n est bornée car |an| = |1 - (1/n)| < 1.
  • an = (6n+100)/(n+10) est minorée.
  • an = √n est clairement minorée par 0, mais n'est pas majorée.

Monotonicité

• Définitions :
  • (an) est croissante si an ≤ an+1 pour tout n ∈ N*.
  • (an) est strictement croissante si an < an+1 pour tout n ∈ N*.
  • (an) est décroissante si an ≥ an+1 pour tout n ∈ N*.
  • (an) est strictement décroissante si an > an+1 pour tout n ∈ N*.
  • (an) est monotone si elle est croissante ou décroissante.
  • (an) est strictement monotone si elle est strictement croissante ou strictement décroissante.
• Exemples :
  • an = 1/n est strictement décroissante car an = 1/n > 1/(n+1) = an+1.
  • an = n² est strictement croissante car an = n² < (n+1)² = an+1.
  • an = √n est croissante.
  • an = (-1)ⁿ n'est ni croissante, ni décroissante.
  • an = (-1)ⁿ * (n-1)/n n'est ni croissante, ni décroissante.
  • an = (3n+4)/(n+1) est strictement décroissante.

Suites Tendant Vers l'Infini

• Une suite tend vers l'infini si, pour n'importe quel nombre M, les termes de la suite deviennent plus grands que M à partir d'un certain indice.
• Définition :
  • Une suite (an) tend vers +∞ si pour tout M > 0, il existe No ∈ N* tel que an ≥ M pour tout n ≥ No. On écrit lim(n→∞) an = +∞, ou an → +∞.
  • Une suite (an) tend vers -∞ si pour tout m < 0, il existe No ∈ N* tel que an ≤ m pour tout n ≥ No. On écrit lim(n→∞) an = -∞, ou an → -∞.
• Une suite qui tend vers +∞ ou -∞ est dite divergente vers l'infini.
• Il faut considérer M comme un "seuil" qu'une suite tendant vers +∞ dépassera et maintiendra au-delà d'un certain indice No.
• Un voisinage de l'infini est un ensemble {n ∈ N : n ≥ No}. Ainsi, an → ∞ si pour tout M > 0, il existe un voisinage de l'infini tel que an ≥ M pour les indices n dans ce voisinage.
• Exemples de voisinages de l'infini :
  • {n ∈ N : n ≥ 173}.
  • {n ∈ N : (n - 7)² > 4}.
• {2n : n ∈ N} ne contient pas de voisinage de l'infini.
• Exemple de démonstration qu'une suite tend vers l'infini : montrer que an = 3n/(n²-1) → ∞.

Suites Convergentes

• Une suite (an) converge vers une limite L si les termes de la suite se rapprochent arbitrairement de L lorsque l'indice n devient suffisamment grand.
• La distance entre deux nombres réels a et b est exprimée par la valeur absolue |a - b|.
• {x ∈ R : |a - x| ≤ ε} est l'ensemble des x situés à une distance d'au plus ε de a.
• Ces x sont dits ε-proches de a, et l'ensemble est un ε-voisinage de a.
• Pour qu'une suite converge vers L, ses termes doivent finir par être dans l'ε-voisinage de L, quel que soit ε.
• Définition :
  • Une suite (an) converge vers une limite L ∈ R si, pour tout ε > 0, il existe N ∈ N* tel que pour tout n ≥ N, |an - L| ≤ ε. On écrit lim(n→∞) an = L ou an → L.
• L'indice N dépend généralement de ε.
• Exemples :
  • an = 1/n → 0.
  • an = n/(2n+1) ne tend pas vers 1/2.

Propriétés des Limites

• Si an → L et λ ∈ R, alors λαn → λL.
• Si an → L1 et bn → L2, alors an + bn → L1 + L2.
• Si an → L1 et bn → L2, alors anbn → L1L2.
• Si an → L1 et bn → L2 ≠ 0, alors an/bn → L1/L2.
• Si an → L1 et bn → L2, et an ≤ bn pour tout n, alors L1 ≤ L2.
• Si an → L, alors |an| → |L|.
• Si an → 0, alors |an| → 0.
• Une suite convergente a une seule limite.
• Une suite convergente est bornée.
• Théorème des deux gendarmes: si an ≤ xn ≤ bn pour tout n suffisamment grand, et lim(n→∞) an = lim(n→∞) bn = L, alors lim(n→∞) xn = L.
• Corollaire : Si xn → 0 et (yn) est bornée, alors xn*yn → 0.
• Le résultat suivant est souvent résumé en disant que toute suite monotone et bornée converge.
  • Une suite croissante et majorée converge.
  • Une suite décroissante et minorée converge.

Limites "Combinées" et Indéterminations

• Si (an → +∞ et bn → +∞) ⇒ an + bn → +∞.
• (an → +∞ et bn → +∞) la limite de (an - bn) est indéterminée ("∞ - ∞").
• Exemple : lim(n→∞) (√n+1 - √n) = 0.
• (an → +∞ et bn → +∞) la limite de (an/bn) est indéterminée ("∞/∞").
• Exemple : lim(n→∞) (n²+1)/(2n²-1) = 1/2.
• (an → +∞ et bn bornée) ⇒ (an + bn) → +∞.
• (an → +∞ et bn → L, L ≠ 0) ⇒ (an*bn) → +∞ si L >0 et -∞ si L <0.
• (an → +∞ et bn → 0) ⇒ (an*bn) est indéterminé ("∞ × 0").
• Exemples :
  • n²/n → +∞.
  • n/n → 1.
  • 1/n - (-1) → 0.
• (an → +∞ et ∃d > 0 tel que bn ≥ δ pour tout n suffisamment grand) => an*bn → +∞.
• (an → +∞ et ∃d > 0 tel que bn ≤ -δ pour tout n suffisamment grand) => an*bn → -∞.

Séries Géométriques

• Soit r ∈ R et soit an := rⁿ. Alors, lim (n→∞) an tend vers +∞ si r > 1, 1 si r = 1, 0 si -1 < r < 1, n'existe pas si r ≤ -1.
• Une suite de la forme a_n = r^n, r ∈ R, est appelée suite géométrique.
• On considère maintenant la suite (S_n)_{n≥0} définie par S_n := 1 + r + r² + ... + r^n.
• lim (n→∞) S_n égale +∞ (diverge) si r ≥ 1, égale 1 / (1-r) si -1 < r < 1, n'existe pas si r ≤ -1.
• Si |r| < 1, la somme infinie 1 + r + r² + r³ + ... converge.
• La suite (S_n) au-dessus est appelée la suite des sommes partielles.
• Une somme infinie ne a de sens que si elle converge.
• On évalue la somme infinie 1 - 0.7 + 0.7² - 0.7³ + 0.7⁴ - ... en utilisant la série géométrique de raison -0.7 à 10/17.
• On évalue la somme infinie 1/2 + (1/2)² + (1/2)³ + ... en utilisant la série géométrique de raison 1/2 à 1.
• La somme infinie 1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + · · · ne converge pas, puisque r = 2 > 1.
• Exemple : le flocon de von Koch.

Le Nombre e

• Pour le cas de n = 0, on pose 0! = 1.
• Soit (e_n) la suite définie par e_n := ∑ (k=0 à n) de 1 / k!.
• La suite (e_n) converge, elle est croissante et majorée.
• Limite (n→∞) de la suite convergente (e_n) est appelée e: e = Lim (n→∞) ∑ (k=0 à n) de 1 / k!.
• La valeur numérique de e est 2.71828.
• Règle d'écriture pour la notation ∑.
  • L'indice utilisé n'importe pas.
  • Lim k de (n = 1 à 10) = 11k.