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Questions and Answers

Welche der folgenden Aussagen beschreibt eine reelle Zahlenfolge korrekt?

Eine ungeordnete Menge von reellen Zahlen.
Eine geordnete Liste, die nur endlich viele reelle Zahlen enthält.
Eine geordnete Liste von reellen Zahlen, die endlich oder unendlich viele Elemente enthalten kann. (correct)
Eine ungeordnete Menge, die nur natürliche Zahlen enthält.

Was gibt der Index `n` in einer reellen Zahlenfolge (𝑎𝑛) 𝑛∈𝑁 an?

Die Position des Elements in der Folge.

Welche der folgenden Aussagen beschreibt am besten, wann eine reelle Zahl g als Grenzwert einer Folge $a_n$ bezeichnet wird?

Wenn die Folgenglieder $a_n$ sich mit wachsendem _n_ unendlich von _g_ entfernen.
Wenn für jede positive Zahl $\epsilon$ eine natürliche Zahl _N_ existiert, sodass für alle $n \geq N$ gilt: $|a_n - g| < \epsilon$. (correct)
Wenn die Differenz zwischen $a_n$ und _g_ für alle _n_ größer als eine bestimmte natürliche Zahl _N_ kleiner als jede positive Zahl $\epsilon$ ist.
Wenn die Folgenglieder $a_n$ für alle _n_ gleich _g_ sind.

Was bedeutet die Aussage |aₙ − g| < ε im Kontext der Grenzwertdefinition?

<p>Der Abstand zwischen aₙ und g ist kleiner als ε. (B)</p> Signup and view all the answers

Welche der folgenden Aussagen beschreibt am besten, was es bedeutet, dass eine Zahlenfolge einen Grenzwert ( g ) hat?

<p>Die Zahlen in der Folge werden, je weiter man geht, immer hnlicher dem Wert ( g ). (C)</p> Signup and view all the answers

Wenn eine Folge einen Grenzwert hat, bedeutet das, dass alle Folgenglieder kleiner als dieser Grenzwert sein mssen.

<p>False (B)</p> Signup and view all the answers

Was bedeutet es, wenn eine Zahlenfolge einen Grenzwert 'g' hat?

<p>Die Zahlen in der Folge nähern sich irgendwann immer mehr dem Wert 'g' an. (A)</p> Signup and view all the answers

Wenn eine Zahlenfolge einen Grenzwert hat, bedeutet das, dass alle Folgenglieder ab einem bestimmten Punkt kleiner als jede beliebige positive Zahl sind.

<p>False (B)</p> Signup and view all the answers

Eine 'Toleranzgrenze' wird mit dem griechischen Buchstaben ______ dargestellt.

<p>ɛ</p> Signup and view all the answers

Ordne die folgenden Konzepte ihren Beschreibungen zu:

<p>Grenzwert = Der Wert, dem sich eine Folge von Zahlen immer mehr annähert. Folge = Eine geordnete Liste von Zahlen. Toleranzgrenze = Eine beliebig kleine positive Zahl, die zur Bestimmung der Nähe zu einem Grenzwert verwendet wird.</p> Signup and view all the answers

Flashcards

Reelle Zahlenfolge

Eine geordnete Liste reeller Zahlen, die endlich oder unendlich viele Elemente enthält. Jedes Element ist mit einem Index nummeriert.

𝑎ₙ Bedeutung

Das n-te Element in einer Folge (𝑎ₙ). Es ist eine reelle Zahl (𝑎ₙ ∈ 𝑅) und gibt die Position des Elements in der Folge an.

Beispiel einer Folge

Die Folge der natürlichen Zahlen: (1,2,3,4,5,…) Hierbei nennt man jedes 𝑎ₙ ein Glied der Folge.

Grenzwert einer Folge (g)

Eine reelle Zahl, zu der sich die Glieder einer Folge (aₙ) mit zunehmendem n immer weiter annähern.

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Formal: Grenzwertdefinition

Für jedes ε > 0 existiert ein N, so dass |aₙ − g| < ε für alle n ≥ N gilt.

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Eindeutigkeit des Grenzwerts

Hat eine Folge einen Grenzwert g, so ist dieser eindeutig bestimmt. Eine Folge kann also niemals zwei Grenzwerte haben.

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Bezeichnung Grenzwertes

Ist g der Grenzwert der Folge (aₙ), so sagen wir auch, die Folge (aₙ) konvergiert gegen g und schreiben hierfür lim aₙ = g n→∞

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Konvergent und Divergent

Eine Folge heißt konvergent, wenn Sie einen Grenzwert hat, andernfalls nennen wir sie divergent.

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Beispiel für Divergent/ Konvergent

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Konvergenzkriterien

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Konvergenzkriterien

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Konvergenzkriterien

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Konvergenzkriterien

,

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Konvergenzkriterien

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Konvergenzkriterien

.

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Sandwich - Kriterium

Wenn eine Folge (aₙ) immer zwischen zwei anderen Folgen (bₙ) und (cₙ) liegt, die beide denselben Grenzwert g haben, dann muss auch (aₙ) gegen g konvergieren.

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Grenzwert einer Folge

Ein Wert, dem sich die Elemente einer Folge immer weiter annähern, wenn man in der Folge fortschreitet.

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Toleranzgrenze (ε)

Für jede beliebige Toleranzgrenze gibt es einen Punkt in der Folge, ab dem alle nachfolgenden Zahlen näher am Grenzwert liegen als diese Toleranz.

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Cauchyfolge

Eine Cauchyfolge ist eine Folge, bei der die Elemente der Folge mit zunehmendem Index immer näher zusammenrücken. Das bedeutet, dass der Abstand zwischen den Folgengliedern immer kleiner wird, je weiter man in der Folge geht.

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Cauchyfolge beschränkt

Das bedeutet, dass der Betrag (die absolute Zahl) von jedem Folgenglied aₙ niemals größer als K wird. Die Zahl K ist also eine Art "obere Grenze" für die Folgenglieder.

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Monotoniekriterium fur Cauchy–Folgen

Jede schließlich monoton wachsende (bzw. schließlich monton fallende) beschränkte Folge ist eine Cauchyfolge.

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(Vollständigkeit der reellen Zahlen

Jede Cauchyfolge hat einen Grenzwert in R

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Teilfolgen

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Teilfolgen Beispiel

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Konvergente Teilfolgen

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Satz von Bolzano–Weierstraß

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Study Notes

Eine reelle Zahlenfolge ist eine geordnete Liste reeller Zahlen.
Die Anzahl der Elemente kann endlich oder unendlich sein.
Jedes Element ist mit einem Index nummeriert, typischerweise beginnend bei n = 1 oder n = 0.
Formal wird eine solche Folge als (𝑎𝑛) 𝑛∈𝑁 geschrieben, wobei jedes Folgenelement 𝑎𝑛 eine reelle Zahl ist (𝑎𝑛 ∈𝑅).
Die Zahl 𝑛 gibt die Position des Elements in der Folge an.
Eine reelle Zahl g wird als Grenzwert der Folge aₙ bezeichnet, wenn die Folgenglieder aₙ mit wachsendem n beliebig nahe an g herankommen.
Formal bedeutet dies: Für jede beliebige Zahl ε > 0 existiert eine natürliche Zahl N, sodass für alle n ≥ N gilt: |aₙ − g| < ε.
Eine Folge mit Grenzwert g bedeutet, dass die Zahlen in der Folge sich dem Wert g annähern, je weiter man in der Folge fortschreitet.
ε kann als "Toleranzgrenze" betrachtet werden; ab einem bestimmten Punkt in der Folge sind alle Zahlen näher an g als ε.
Der Unterschied zwischen den Folgengliedern und dem Grenzwert g wird beliebig klein, wenn man weit genug in der Folge geht.
Beispiel für eine Zahlenfolge: a1 , a2 , a3 , a4 ,....

Beispiel einer Folge

Die Folge aₙ = 1/n hat den Grenzwert 0, da die Werte von aₙ immer kleiner werden, je größer n wird.
Für jedes ε > 0 gibt es ein n, ab dem alle Folgenglieder kleiner als ε sind.
Ein Grenzwert beschreibt das Ziel einer Zahlenfolge, wenn man immer weiter fortschreitet.
Für die Folge aₙ = 1/n gilt: a₁ = 1, a₂ = 1/2, a₃ = 1/3,...
Der Wert von aₙ in der Folge aₙ = 1/n wird immer kleiner und nähert sich immer mehr der Zahl 0 an, für größer werdendes n

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