Suites Numériques: Définitions et Types

• Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres réels.
• Chaque nombre dans la suite est appelé un terme.
• Les suites sont souvent désignées par une lettre (par exemple, ( u ), ( v ), ( w )) avec un indice ( n ) qui indique la position du terme dans la suite, comme ( u_n ).

Définition d'une suite

• Une suite peut être définie de plusieurs manières : explicite, par récurrence, ou implicite.
• Définition explicite : chaque terme ( u_n ) est donné directement en fonction de ( n ), par exemple, ( u_n = f(n) ) où ( f ) est une fonction.
• Exemple : ( u_n = 2n + 1 )
• Définition par récurrence : le terme ( u_n ) est défini en fonction des termes précédents, souvent avec une ou plusieurs valeurs initiales.
• Exemple : ( u_{n+1} = u_n + 3 ) avec ( u_0 = 1 )
• Suite implicite : La suite est définie par une propriété ou une condition spécifique que ses termes doivent satisfaire.
• Exemple : Suite des nombres premiers.

Types de suites

• Suites arithmétiques : Une suite est arithmétique si la différence entre deux termes consécutifs est constante. Cette différence constante est appelée la raison (souvent notée ( r )).
• Formule générale : ( u_{n+1} = u_n + r )
• Terme général : ( u_n = u_0 + nr )
• Suites géométriques : Une suite est géométrique si le rapport entre deux termes consécutifs est constant. Ce rapport constant est appelé la raison (souvent notée ( q )).
• Formule générale : ( u_{n+1} = qu_n )
• Terme général : ( u_n = u_0 q^n )
• Suites croissantes : Une suite ( (u_n) ) est croissante si pour tout ( n ), ( u_{n+1} \geq u_n ).
• Suites décroissantes : Une suite ( (u_n) ) est décroissante si pour tout ( n ), ( u_{n+1} \leq u_n ).
• Suites monotones : Une suite est monotone si elle est soit croissante, soit décroissante.
• Suites bornées : Une suite ( (u_n) ) est bornée s'il existe un nombre réel ( M > 0 ) tel que ( |u_n| \leq M ) pour tout ( n ). Cela signifie que tous les termes de la suite sont compris entre ( -M ) et ( M ).
• Bornée supérieurement : Il existe un ( M ) tel que ( u_n \leq M ) pour tout ( n ).
• Bornée inférieurement : Il existe un ( m ) tel que ( u_n \geq m ) pour tout ( n ).

Limites de suites

• Convergence : Une suite ( (u_n) ) converge vers une limite ( L ) si, lorsque ( n ) devient très grand, les termes ( u_n ) se rapprochent de plus en plus de ( L ).
• Notation : ( \lim_{n \to \infty} u_n = L )
• Divergence : Une suite qui ne converge pas est dite divergente.
• Divergence vers l'infini : Une suite ( (u_n) ) diverge vers ( +\infty ) si, lorsque ( n ) devient très grand, les termes ( u_n ) deviennent arbitrairement grands. Notation : ( \lim_{n \to \infty} u_n = +\infty ). Similairement, elle diverge vers ( -\infty ) si les termes deviennent arbitrairement petits (négatifs).
• Divergence par oscillation : La suite oscille et ne s'approche d'aucune limite spécifique.

Opérations sur les limites

• Si ( \lim_{n \to \infty} u_n = L ) et ( \lim_{n \to \infty} v_n = M ), alors :
• ( \lim_{n \to \infty} (u_n + v_n) = L + M )
• ( \lim_{n \to \infty} (u_n - v_n) = L - M )
• ( \lim_{n \to \infty} (cu_n) = cL ) où ( c ) est une constante
• ( \lim_{n \to \infty} (u_n v_n) = LM )
• ( \lim_{n \to \infty} \frac{u_n}{v_n} = \frac{L}{M} ) si ( M \neq 0 )

Théorèmes importants

• Théorème de la limite monotone : Toute suite monotone et bornée converge. Si une suite est croissante et bornée supérieurement, elle converge vers sa borne supérieure. Si une suite est décroissante et bornée inférieurement, elle converge vers sa borne inférieure.
• Théorème des gendarmes (ou d'encadrement) : Si ( u_n \leq v_n \leq w_n ) pour tout ( n ) à partir d'un certain rang, et si ( \lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} w_n = L ), alors ( \lim_{n \to \infty} v_n = L ).

Exemples de limites classiques

• ( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 )
• ( \lim_{n \to \infty} a^n = 0 ) si ( |a| < 1 )
• ( \lim_{n \to \infty} n^a = \infty ) si ( a > 0 )
• ( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^a} = 0 ) si ( a > 0 )
• ( \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1 )
• ( \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e ) (où ( e ) est le nombre d'Euler, environ 2.71828)

Techniques pour calculer des limites

• Utilisation des règles d'opérations sur les limites.
• Factorisation pour simplifier les expressions.
• Multiplication par la quantité conjuguée.
• Utilisation du théorème des gendarmes.
• Utilisation de la règle de l'Hôpital (pour les formes indéterminées après avoir transformé la suite en une fonction continue).

Suites adjacentes

• Deux suites ( (u_n) ) et ( (v_n) ) sont adjacentes si :
• L'une est croissante et l'autre est décroissante.
• ( \lim_{n \to \infty} (u_n - v_n) = 0 )
• Si deux suites sont adjacentes, alors elles convergent vers la même limite.

Sommes de termes de suites arithmétiques

• La somme des ( n ) premiers termes d'une suite arithmétique ( (u_n) ) est donnée par :
• ( S_n = \frac{n(u_0 + u_{n-1})}{2} ) ou ( S_n = \frac{n}{2} [2u_0 + (n-1)r] )

Sommes de termes de suites géométriques

• La somme des ( n ) premiers termes d'une suite géométrique ( (u_n) ) est donnée par :
• ( S_n = u_0 \frac{1 - q^n}{1 - q} ) si ( q \neq 1 )
• Si ( q = 1 ), alors ( S_n = nu_0 )
• Si ( |q| < 1 ), la somme infinie des termes de la suite géométrique converge vers :
• ( S = \frac{u_0}{1 - q} )

Comportement asymptotique

• Le comportement asymptotique d'une suite décrit comment la suite se comporte lorsque ( n ) tend vers l'infini.
• Comparaison asymptotique : Comparer une suite avec des suites de référence (comme ( \frac{1}{n} ), ( n ), ( n^2 ), ( a^n )) pour déterminer sa vitesse de convergence ou de divergence.

Utilisation des suites

• Les suites numériques sont utilisées dans de nombreux domaines des mathématiques, de l'informatique, de la physique et de l'ingénierie pour modéliser des phénomènes discrets, résoudre des équations, et approcher des solutions.
• En analyse numérique, les suites sont utilisées pour approcher les solutions d'équations différentielles et intégrales.
• En informatique, elles sont utilisées dans les algorithmes, les structures de données et l'analyse de complexité.

Ce cours aborde les bases des suites numériques, incluant les définitions et les différents types comme les suites arithmétiques. Il explique comment les suites peuvent être définies explicitement, par récurrence, ou implicitement. Des exemples clairs illustrent chaque méthode de définition.