Suites Numériques: Définition et Génération

• Les suites numériques sont des listes ordonnées de nombres réels, chaque nombre étant un terme associé à un rang.
• Un terme à la position n est noté comme U_n ou U(n), et la suite entière est notée (U_n) _n∈N.
• Exemple de suites : nombres pairs (2, 4, 6, 8, ...), carrés parfaits (1, 4, 9, 16, ...), puissances de 2 (1, 2, 4, 8, 16, ...).

Modes de génération des suites :

• Définition explicite : Une formule calcule directement le n-ième terme, par exemple, U_n = 2n pour les nombres pairs.
• Définition par récurrence : On donne le premier terme et une relation pour calculer chaque terme à partir du précédent, par exemple, U₀ = 1 et U_n+1 = U_n + 2 pour les nombres impairs.
• Algorithme : Une séquence d'instructions génère les termes.
• Motifs géométriques : Utilisation de figures géométriques pour définir des relations entre les éléments de la suite.

Suites arithmétiques : Définition

• Suite numérique où la différence entre deux termes consécutifs est constante, appelée raison.
• Exemple : (1, 4, 7, 10, ...) est arithmétique avec une raison de 3.
• Définition formelle : (U_n) est arithmétique s'il existe un réel r tel que U_n+1 = U_n + r pour tout entier naturel n.

Calcul du terme général

• Le terme général d'une suite arithmétique est donné par U_n = U₁ + (n-1)r, où U₁ est le premier terme et r est la raison.
• Exemple : Pour la suite (1, 4, 7, 10, ...), U₁ = 1 et r = 3, donc U_n = 1 + (n-1)3 = 3n - 2.

Sens de variation

• Croissante si r > 0, décroissante si r < 0.
• Exemples : (1, 4, 7, 10, ...) est croissante car r = 3, et (5, 1, -3, -7, ...) est décroissante car r = -4.

Représentation graphique

• La représentation graphique d'une suite arithmétique est une droite, car le terme général est une fonction affine de n.

Applications des suites arithmétiques

• Modélisation d'évolutions successives avec des accroissements constants.
• Exemples : Augmentation du prix d'un article de 1 € par an, croissance d'un arbre de 10 cm par an, augmentation d'une file d'attente de 2 personnes par minute.

Calcul de sommes

• La somme des n premiers termes d'une suite arithmétique est S_n = (n/2) x (U₁ + U_n).
• Exemple : La somme des 10 premiers nombres naturels est S₁₀ = (10/2)(1 + 10) = 55.

Notion de limite d'une suite

• La limite d'une suite est la valeur vers laquelle les termes se rapprochent quand n devient très grand.
• Exemples : La suite (1/n) a pour limite 0, tandis que la suite (n) n'a pas de limite car ses termes augmentent indéfiniment.

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