Successioni e Serie - Università San Raffaele

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Questions and Answers

Come si definisce una successione e puoi fornire un esempio?

Una successione è una sequenza ordinata descritta con una legge, come ad esempio $a_n = 2n + 3$.

Qual è la differenza principale tra una successione e una progressione?

La successione è definita da una legge esplicita, mentre la progressione è definita ricorsivamente, come $a_n = 2a_{n-1} + 3$.

Come si determina se una sequenza è aritmetica o geometrica?

Si determina controllando se la differenza tra due termini consecutivi è costante per una successione aritmetica, o se il rapporto tra termini consecutivi è costante per una geometrica.

Qual è il primo termine della progressione descritta dalla legge $a_1 = 1$ e $a_n = 2a_{n-1} + 3$?

<p>Il primo termine è $a_1 = 1$.</p> Signup and view all the answers

Qual è la formula della successione data e quali sono i primi cinque termini?

<p>La formula è $a_n = 2n + 3$ e i primi cinque termini sono 5, 7, 9, 11, 13.</p> Signup and view all the answers

Qual è la ragione della progressione 1, 5, 9, 13, 17, ...?

<p>La ragione è 4.</p> Signup and view all the answers

Come si calcola la ragione della progressione 1, 4, 16, 64, ...?

<p>La ragione è 4.</p> Signup and view all the answers

Cosa rappresenta sk nella serie definita dalla successione a1, a2, ..., an?

<p>sk rappresenta la somma dei primi k elementi della successione.</p> Signup and view all the answers

Se an = 2n + 3, quali sono i primi cinque termini della successione?

<p>I primi cinque termini sono 5, 7, 9, 11, 13.</p> Signup and view all the answers

Qual è la somma dei primi 4 termini della successione aritmetica definita da an = 2n + 3?

<p>La somma è 32.</p> Signup and view all the answers

Quali sono i valori di n e k nella successione a1, a2, a3, ...?

<p>n e k sono numeri naturali, cioè n, k ∈ N.</p> Signup and view all the answers

Cos'è una progressione aritmetica?

<p>È una successione in cui ogni termine è ottenuto aggiungendo una costante al termine precedente.</p> Signup and view all the answers

Qual è la relazione tra an e sk in una successione aritmetica?

<p>La relazione è che sk è la somma dei primi k termini an della successione.</p> Signup and view all the answers

Qual è il quinto termine della successione definita dalla legge $a_n = 2n + 3$?

<p>13</p> Signup and view all the answers

Se la progressione è descritta dalla legge $a_1 = 1$ e $a_n = 2a_{n-1} + 3$, qual è il terzo termine?

<p>13</p> Signup and view all the answers

Identifica se la sequenza $1, 3, 9, 27, 81$ è aritmetica o geometrica.

<p>Geometrica</p> Signup and view all the answers

Qual è la legge della successione definita da $a_n = 2n + 3$?

<p>Successione lineare</p> Signup and view all the answers

Qual è la legge ricorsiva della progressione data nella presentazione?

<p>An = 2An-1 + 3 con A1 = 1</p> Signup and view all the answers

Qual è il termine generale della progressione geometrica 1, 4, 16, 64, ...?

<p>Il termine generale è $a_n = 4^{(n-1)}$.</p> Signup and view all the answers

Calcola la somma dei primi 5 termini della successione geometrica 1, 4, 16, 64, ...

<p>La somma è $a_5 = 1 + 4 + 16 + 64 + 256 = 341$.</p> Signup and view all the answers

Qual è la somma dei primi 5 termini della successione aritmetica 2n + 3?

<p>La somma è 45.</p> Signup and view all the answers

Se la successione è data da $a_n = 2n + 3$, qual è l'ottavo termine?

<p>L'ottavo termine è $19$.</p> Signup and view all the answers

Qual è la ragione della successione aritmetica 1, 5, 9, 13, ...?

<p>La ragione è $4$.</p> Signup and view all the answers

Qual è la differenza tra la somma dei primi tre termini di una successione aritmetica e geometrica?

<p>La somma dei primi tre termini aritmetici è 21, mentre per quelli geometrici è 21.</p> Signup and view all the answers

Descrivi brevemente come si determina la ragione di una successione geometrica.

<p>La ragione si determina calcolando il rapporto tra due termini consecutivi.</p> Signup and view all the answers

Flashcards

Ragione di una progressione

La differenza o il rapporto costante tra due termini consecutivi di una successione.

Progressione aritmetica

Una successione in cui la differenza tra due termini consecutivi è costante.

Progressione geometrica

Una successione in cui il rapporto tra due termini consecutivi è costante.

Somma dei primi k elementi (sk)

La somma dei primi k termini di una successione.

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Successione

Una lista ordinata di numeri o oggetti.

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Indice k

Indica la posizione del termine all'interno della successione (es. k-esimo termine).

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Termini consecutivi

Numeri che si seguono immediatamente l'uno dopo l'altro in una successione.

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Successione

Una sequenza ordinata di numeri descritta da una legge matematica.

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Legge di una successione

La formula matematica che definisce ogni numero della sequenza in funzione della sua posizione.

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Progressione

Una successione in cui la relazione tra i termini consecutivi è descritta da una legge ricorsiva (in cui un termine dipende dal precedente).

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Progressione aritmetica

Una progressione in cui la differenza tra due termini consecutivi è costante

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Progressione geometrica

Una progressione in cui il rapporto tra due termini consecutivi è costante.

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Esempio Progressione Aritmetica

an = 2n + 3 dove n è un numero naturale. (esempi 5, 7, 9, ...)

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Esempio Progressione Geometrica

a1 = 1 , an = 2an-1 + 3. (esempi 1, 5, 13, ...)

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Verificare se la successione è aritmetica o geometrica

Calcolare la differenza o il rapporto tra i termini consecutivi per determinare se c'è una regola costante.

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Successione

Una sequenza ordinata di numeri descritta da una legge matematica.

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Legge di una successione

La formula matematica che definisce ogni numero della sequenza in funzione della sua posizione.

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Progressione

Una successione dove la relazione tra i termini consecutivi è descritta da una legge ricorsiva.

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Progressione aritmetica

Una progressione dove la differenza tra due termini consecutivi è costante.

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Progressione geometrica

Una progressione dove il rapporto tra due termini consecutivi è costante.

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Esempio di progressione aritmetica

an = 2n + 3, dove n è un numero naturale (esempi: 5, 7, 9, ...).

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Esempio di progressione geometrica

a1 = 1, an = 2an-1 + 3 (esempi: 1, 5, 13, ...).

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Verificare se una successione è aritmetica o geometrica

Calcolare la differenza o il rapporto tra termini consecutivi per determinare una regola costante.

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Ragione di una progressione

La differenza o il rapporto costante tra due termini consecutivi di una successione.

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Progressione aritmetica

Una successione in cui la differenza tra due termini consecutivi è costante.

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Progressione geometrica

Una successione in cui il rapporto tra due termini consecutivi è costante.

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Somma dei primi k elementi (sk)

La somma dei primi k termini di una successione.

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Successione

Una lista ordinata di numeri o oggetti.

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Indice k

Indica la posizione del termine all'interno della successione (es. k-esimo termine).

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Termini consecutivi

Numeri che si seguono immediatamente l'uno dopo l'altro in una successione.

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Calcola la ragione della progressione: 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25...

La differenza tra termini consecutivi è 4 (progressione aritmetica).

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Calcola la ragione della progressione: 1, 4, 16, 64, 256, 1024, 4096...

Il rapporto tra termini consecutivi è 4 (progressione geometrica).

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Serie

Somma dei primi k elementi di una successione in matematica

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Study Notes

Introduzione

  • Il docente è Veronica Redaelli.
  • L'argomento è "Successioni e Serie".
  • L'università è San Raffaele di Roma.

Sommario

  • Ci sono esercizi su successioni e progressioni.
  • Ci sono esercizi sulle serie.
  • C'è un riepilogo.

Successioni

  • Una successione è una sequenza ordinata descritta da una legge.
  • Esempio: an = 2n + 3, dove n è un numero naturale.
  • La successione è rappresentata in una tabella.

Progressioni

  • Una progressione è descritta da una legge ricorsiva.
  • Esempio: a1 = 1, an = 2an-1 + 3.
  • La progressione è rappresentata in una tabella.

Verificare Progressione

  • Verificare se una progressione è aritmetica o geometrica.
  • La differenza tra due termini consecutivi è costante per una progressione aritmetica.
  • Il rapporto tra due termini consecutivi è costante per una progressione geometrica.

Calcolare la Ragione

  • Calcolare la ragione di una progressione.
  • Ragione: la differenza o il rapporto costante tra i termini di una successione.

Serie

  • La serie è la somma dei primi k elementi di una successione.
  • Formula: Sk = Σn=1k an

Esempi di Serie

  • Esempio: an = 2n + 3.
  • Serie aritmetica
  • Esempio: an = 1, 3, 9, 27, 81...
  • Serie geometrica

Casi Particolari

  • Casi particolari di successioni.
  • Esempio: an = (-2)n
  • Esempio: an = (-1)n

Riassumendo

  • Ci sono feedback.
  • Ci sono esercizi su successioni e progressioni.
  • Ci sono esercizi sulle serie.

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