Successioni e Serie Numeriche

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Questions and Answers

Qual è la formula generale per la successione di Fibonacci?

La formula è $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$ con $a_1 = 1$ e $a_2 = 1$.

Che cosa determina la ragione in una progressione aritmetica?

La ragione è la differenza costante tra due termini consecutivi.

Come si definisce una progressione geometrica?

Una progressione geometrica è definita da $a_n = k imes a_{n-1}$, dove $k$ è il rapporto costante.

Cosa caratterizza una successione convergente?

<p>Una successione è convergente se per $n o + ext{∞}$ ammette un limite finito.</p> Signup and view all the answers

Qual è la differenza tra una successione regolare e una non regolare?

<p>Una successione regolare è convergente o divergente, mentre una non regolare non ammette limite.</p> Signup and view all the answers

Fornisci un esempio di successione non regolare.

<p>Un esempio è $a_n = (-1)^n$, che alterna tra -1 e 1.</p> Signup and view all the answers

Quali sono i primi quattro termini della successione di Fibonacci?

<p>I primi quattro termini sono 1, 1, 2, 3.</p> Signup and view all the answers

Che rappresenta la 'ragione' in una progressione aritmetica e geometrica?

<p>Nella progressione aritmetica è una differenza costante, mentre in quella geometrica è un rapporto costante.</p> Signup and view all the answers

Cosa si intende per successione in matematica?

<p>Una successione è una sequenza ordinata di numeri appartenenti ad un insieme dato, descritta da una funzione definita sui numeri naturali.</p> Signup and view all the answers

Come si può descrivere una successione mediante una legge ricorsiva?

<p>Una successione può essere descritta ricorsivamente specificando un primo elemento e una relazione per ottenere gli elementi successivi.</p> Signup and view all the answers

Fornisci un esempio di successione definita da una legge esplicita.

<p>Un esempio è la successione definita da $a_n = 3n + 4$.</p> Signup and view all the answers

Quali sono gli insiemi di riferimento per la definizione di successione?

<p>La successione è definita sull'insieme dei numeri naturali $N$.</p> Signup and view all the answers

Cosa rappresenta la variabile 'n' nella descrizione di una successione?

<p>La variabile 'n' rappresenta la posizione di un elemento nella successione, che è un numero naturale.</p> Signup and view all the answers

Qual è la differenza tra legge esplicita e legge ricorsiva per definire una successione?

<p>La legge esplicita fornisce direttamente il valore dell'elemento, mentre la legge ricorsiva usa il valore dell'elemento precedente per calcolare il successivo.</p> Signup and view all the answers

Che cosa indica la nota 'nÃŽN' nella definizione di successioni?

<p>'nÎN' indica che n è un numero naturale e appartiene all'insieme dei numeri naturali.</p> Signup and view all the answers

Come può essere descritta una successione utilizzando una legge esplicita?

<p>Una successione può essere descritta con una legge esplicita mediante una funzione, come ad esempio $a_n = 3n + 4$.</p> Signup and view all the answers

Fornisci la definizione di successione in matematica.

<p>Una successione è una sequenza ordinata di numeri appartenenti a un insieme dato.</p> Signup and view all the answers

Qual è un esempio di successione definita da una legge ricorsiva?

<p>Un esempio di successione ricorsiva è data da $a_1 = 1$ e $a_n = a_{n-1} + 5$.</p> Signup and view all the answers

Quali sono i primi tre termini della successione definita dalla formula di Fibonacci?

<p>1, 1, 2</p> Signup and view all the answers

In una progressione aritmetica, come si calcola un termine successivo?

<p>Si aggiunge la ragione k al termine precedente.</p> Signup and view all the answers

In una successione definita da $a_n = 3n + 4$, quali sono i primi tre termini?

<p>I primi tre termini sono 7, 10 e 13.</p> Signup and view all the answers

Cosa caratterizza una successione divergente?

<p>Una successione è divergente se il suo limite è +∞ o -∞.</p> Signup and view all the answers

Qual è la differenza tra una legge ricorsiva e una legge esplicita nella definizione delle successioni?

<p>La legge esplicita fornisce direttamente ogni termine, mentre la legge ricorsiva si basa sul termine precedente per determinare il valore successivo.</p> Signup and view all the answers

Qual è la differenza principale tra una progressione geometrica e una aritmetica?

<p>Nella geometrica si moltiplica per k, mentre nella aritmetica si somma k.</p> Signup and view all the answers

Qual è il primo termine di una successione definita ricorsivamente da $a_1 = 1$ e $a_n = a_{n-1} + 5$?

<p>Il primo termine della successione è 1.</p> Signup and view all the answers

Se $a_1 = 2$ e la ragione k è 3, qual è $a_4$ in una progressione aritmetica?

<p>$a_4 = 2 + 3 imes 3 = 11$</p> Signup and view all the answers

Che cosa rappresenta una successione non regolare?

<p>È una successione che non ha un limite definito.</p> Signup and view all the answers

Qual è la formula generale per un termine n di una progressione geometrica?

<p>$a_n = k^{(n-1)} a_1$.</p> Signup and view all the answers

Flashcards

Successioni

Una funzione definita sull'insieme dei numeri naturali, che associa ad ogni numero naturale un numero reale.

Termine generale (an)

Il numero che occupa la posizione n nella successione.

Legge di formazione

La regola che determina il valore di ogni termine della successione.

Successione esplicita

Una successione in cui il termine generale è espresso da una formula matematica che coinvolge n.

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Successione ricorsiva

Una successione in cui il termine generale è definito in funzione dei termini precedenti.

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Progressione

Un tipo particolare di successione con regole di incremento/decremento regolari.

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Progressione Aritmetica

Una successione in cui la differenza tra due termini consecutivi è costante.

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Progressione Geometrica

Una successione in cui il rapporto tra due termini consecutivi è costante.

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Successione Convergente

Una successione che, all'aumentare di n, tende a un valore finito.

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Successione Divergente

Una successione che, all'aumentare di n, tende a +∞ o -∞.

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Successione Regolare

Una successione che è convergente o divergente.

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Successione Irregolare

Una successione che non ammette un limite.

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Serie

La somma dei termini di una successione.

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Successione

Una sequenza ordinata di numeri appartenenti a un insieme dato, associati a valori naturali.

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Termine generale (an)

Il numero che occupa una specifica posizione (n) nella successione.

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Legge di formazione (successione esplicita)

La regola matematica che determina ogni termine della successione, dipendente da n.

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Legge di formazione (successione ricorsiva)

Una regola che definisce un termine in base ai termini precedenti.

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Successione esplicita

Successione con una formula che calcola direttamente an in funzione di n.

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Successione ricorsiva

Successione in cui un termine è definito in funzione di uno o più termini precedenti.

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Progressione Aritmetica

Una successione in cui la differenza tra due termini consecutivi è costante.

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Progressione Geometrica

Una successione in cui il rapporto tra due termini consecutivi è costante.

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Successione Convergente

Una successione che, all'aumentare di n, tende a un valore finito.

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Successione Divergente

Una successione che, all'aumentare di n, tende a +∞ o -∞.

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Successione Regolare

Una successione che è convergente o divergente.

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Successione Irregolare

Una successione che non ammette un limite.

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Serie

La somma dei termini di una successione.

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Study Notes

Argomenti trattati

  • Successioni e Serie Numeriche

Sommario

  • Successione
  • Progressione
  • Serie

Definizione di Successione

  • Una funzione f(x) a valori reali definita sull'insieme dei numeri naturali N.
  • f(x): N → R
  • Sequenza ordinata di numeri appartenenti ad un insieme dato.
  • an ∈ R
  • a1, a2, a3, a4, a5... an

Esempi di Successioni

  • Successione esplicita (legge): an = 3n + 4 (dove n ∈ N)

    • n = 1, an = 7
    • n = 2, an = 10
    • n = 3, an = 13
    • ...
    • n = n, an = 3n + 4

  • Successione ricorsiva: a1 = 1, an = an-1 + 5

    • n = 1, a1 = 1
    • n = 2, a2 = a1 + 5 = 6
    • n = 3, a3 = a2 + 5 = 11
    • ...
    • n = n, an = an-1 + 5

  • Successione di Fibonacci: a1 = 1, a2 = 1, an = an-1 + an-2

    • 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...

Definizione di Progressione Aritmetica

  • Una successione ricorsiva definita da: a1 = a1, an = an-1 + k , dove k è la ragione.
  • La differenza costante tra due termini consecutivi.

Definizione di Progressione Geometrica

  • Una successione ricorsiva definita da: a1 = a1, an = k * an-1 , dove k è la ragione.
  • Il rapporto costante tra due termini consecutivi.

Tipologie di Successioni

  • Convergente: se per n→+∞ ammette limite FINITO.
  • Divergente: se per n→+∞ ammette limite +∞ o -∞.
  • Regolare: se è convergente o divergente.
  • Non regolare: se non ammette limite.

Definizione di Serie

  • Data una successione a1, a2, a3, ..., an, si definisce serie la somma dei primi k elementi della successione:
  • k Σ an = Sk
    n=1

Tipi di Serie

  • Serie aritmetica: Se la successione associata è aritmetica.
  • Serie geometrica: Se la successione associata è geometrica.

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