Stima del Modello di Regressione Lineare

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Questions and Answers

Cosa rappresenta la matrice Σ nel calcolo dello stimatore GLS?

la matrice delle covarianze degli errori

Cosa significa che uno stimatore GLS è 'virtuale'?

l'incalcolabilità dello stimatore a causa della dipendenza dalla matrice Σ

Cosa rappresenta l'acronimo 'OLS' nel contesto dello stimatore GLS?

Ordinary Least Squares

Quali sono alcuni possibili stimatori del modello di regressione lineare?

GLS (minimi quadrati generalizzati), OLS (minimi quadrati ordinari), MM (metodo dei momenti), ML (massima verosimiglianza) Signup and view all the answers

Cosa rappresenta il residuo in relazione allo stimatore OLS?

Il residuo è la differenza tra il valore empirico y e il valore stimato Xβ̂ nella regressione lineare. Signup and view all the answers

Il principio dei minimi quadrati afferma che lo stimatore OLS è il punto β̂ dello spazio dei parametri che minimizza la somma dei quadrati dei ____________.

residui Signup and view all the answers

La matrice di proiezione Px proietta sul sottospazio generato da X. (Vero/Falso)

False Signup and view all the answers

Cosa rappresentano i valori stimati ŷ nella regressione lineare?

I valori stimati ŷ rappresentano la stima del valore atteso condizionato Ê(y|X). Signup and view all the answers

Qual è il peso di ogni unità statistica nel modello GLS e perché è importante?

Il peso di ogni unità statistica è 1/zi^2, che è l'inverso della varianza dell'errore εi. È importante perché tiene conto della precisione dei dati nell'analisi statistica. Signup and view all the answers

Qual è la relazione che si suppone valga a livello individuale nel modello statistico discusso?

La relazione supposta è yij = βxij + εij, con E(εij|X) = 0, E(ε^2ij|X) = σ^2, E(εijεhk|X) = 0 per ij ≠ hk. Signup and view all the answers

Cosa rappresentano yi e xi nel modello statistico?

yi rappresenta il consumo medio nella regione i, mentre xi rappresenta il reddito medio nella regione i. Signup and view all the answers

Nel modello con errori eteroschedastici, la varianza della variabile dipendente yi è costante per tutte le regioni.

False Signup and view all the answers

Cosa rappresenta lo stimatore GLS nel contesto del modello discusso?

Lo stimatore GLS è una stima dei coefficienti del modello che tiene conto delle variazioni nella varianza degli errori tra le diverse regioni o unità statistiche. Signup and view all the answers

Study Notes

Stima del Modello di Regressione Lineare

Consideriamo tre modelli: generalizzato, ad errori eteroschedastici e classico
Possibili stimatori: GLS (minimi quadrati generalizzati), OLS (minimi quadrati ordinari), MM (metodo dei momenti) e ML (massima verosimiglianza)

Stimatori OLS

Lo stimatore dei minimi quadrati ordinari (OLS) è il punto β̂ dello spazio dei parametri che minimizza la somma dei quadrati dei residui
La somma dei quadrati dei residui è Q(β̃) = ∑ε̃²i = ε̃′ε̃
Lo stimatore OLS è β̂ = (X′X)⁻¹X′y
Proprietà dello stimatore OLS: • Correttezza: E(β̂|X) = β • Linearità: β̂ = (X′X)⁻¹X′y = Ax y, Ax = (X′X)⁻¹X′ • Varianza: V(β̂|X) = (X′X)⁻¹X′ΣX(X′X)⁻¹

Stimatori GLS

Lo stimatore dei minimi quadrati generalizzati (GLS) è il punto β̂ dello spazio dei parametri che minimizza la somma ‘generalizzata’ dei quadrati dei residui
La somma ‘generalizzata’ dei quadrati dei residui è QΣ(β̃) = ε(β̃)′Σ⁻¹ε(β̃)
Lo stimatore GLS è β̂ GLS = (X′Σ⁻¹X)⁻¹X′Σ⁻¹y
Proprietà dello stimatore GLS: • Correttezza: E(β̂GLS|X) = β • Varianza: V(β̂GLS|X) = (X′Σ⁻¹X)⁻¹ • Teorema di Aitken: β̂GLS è lo stimatore a minima varianza nella classe degli stimatori lineari e corretti (BLUE)

Teorema di Aitken

Sotto le ipotesi effettuate, lo stimatore GLS è efficiente (a minima varianza) nella classe degli stimatori lineari e corretti
Dimostrazione: abbiamo già visto che β̂GLS è lineare e corretto, quindi calcoliamo la varianza di un generico stimatore lineare e corretto β̃ e dimostriamo che V(β̃|X) >= V(β̂GLS|X)### Trasformazione della Regressione
La regression Lineare y = Xβ + ε può essere trasformata in un'altra regressione che soddisfa le condizioni di Gauss-Markov (G-M).
Ciò può essere fatto utilizzando una matrice di trasformazione T.

Proprietà della Trasformazione

La nuova componente stocastica ε̃ soddisfa E(ε̃|X) = 0 e la sua varianza è V(ε̃|X) = T ΣT′.
La matrice Σ può essere scomposta in Σ = QΛQ′, dove Λ è la matrice degli autovalori e Q è la matrice degli autovettori.

Scelta della Matrice di Trasformazione

Vogliamo T tale che T ΣT′ = In.
La matrice di trasformazione T può essere scelta come T = Λ^{-1/2}Q′.
Ciò porta a V(ε̃|X) = In.

Stima del Coefficiente β

Lo stimatore BLU (Best Linear Unbiased Estimator) è dato da β̂ = (X̃′X̃)^{-1}X̃′ỹ.
Lo stimatore può essere riscritto come β̂ = (X′Σ^{-1}X)^{-1}X′Σ^{-1}y.
Ciò dimostra che lo stimatore BLU è anche lo stimatore GLS (Generalized Least Squares).

Caso di Stima GLS

Lo stimatore GLS non è sempre calcolabile, ma dipende dalla matrice di varianza-covarianza Σ.
Ci sono alcuni casi in cui lo stimatore GLS può essere calcolato:
- Caso 1: Σ = σ²In (Maximum Likelihood classico)
- Caso 2: ML con eteroschedasticità
- Caso 3: Dati aggregati
- Caso 4: Break strutturale nella varianza

Caso 2: ML con Eteroschedasticità

Esempio: la varianza di εi dipende da una variabile zi
Lo stimatore GLS è calcolabile e corrisponde allo stimatore dei minimi quadrati ponderati.

Caso 3: Dati Aggregati

Esempio: dati aggregati di consumo e reddito
Lo stimatore GLS è calcolabile e corrisponde allo stimatore dei minimi quadrati ponderati.

Caso 4: Break Strutturale nella Varianza

La varianza di εi cambia in corrispondenza di una particolare osservazione
Lo stimatore GLS è calcolabile, ma dipende da σA² e σB².
Possiamo stimare σA² e σB² utilizzando i residui OLS.

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Description

La lezione III di econometria trattano la stima del modello di regressione lineare, inclusi i modelli generalizzati, ad errori eteroschedastici e classico, e i possibili stimatori come GLS e OLS.