Statistiques descriptives

• Voici des notes d'étude sur les statistiques descriptives et les plans d'expérience de criblage de Plackett-Burman.

Statistiques descriptives

Définitions clés

• Une population est l'ensemble complet des individus d'intérêt.
• Un échantillon est un sous-ensemble de cette population.
• Une variable est une caractéristique mesurée sur chaque individu.
• Un paramètre décrit une caractéristique de la population.
• Une statistique décrit une caractéristique de l'échantillon.

Types de variables

• Variable quantitative discrète: Résultat d'un dénombrement avec un nombre limité de valeurs (par exemple, nombre d'enfants).
• Variable quantitative continue: Résultat d'une mesure pouvant prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle (par exemple, la taille).
• Variable qualitative nominale: Ne peut pas être ordonnée (par exemple, la couleur des yeux).
• Variable qualitative ordinale: Peut être ordonnée (par exemple, le niveau de satisfaction).

Mesures de tendance centrale

• Moyenne arithmétique: La somme des valeurs divisée par le nombre de valeurs : $\qquad \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$
• Médiane: La valeur qui sépare les données en deux parties égales.
• Mode: La valeur la plus fréquente.

Mesures de dispersion

• Étendue: La différence entre la valeur maximale et la valeur minimale.
• Variance: La moyenne des carrés des écarts à la moyenne : $\qquad s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$
• Écart-type: La racine carrée de la variance : $\qquad s = \sqrt{s^2}$
• Coefficient de variation: L'écart-type divisé par la moyenne : $\qquad CV = \frac{s}{\bar{x}}$

Mesures de position

• Quantile: Divise les données en parties égales.
• Quartile: Divise les données en quatre parties égales.
• Décile: Divise les données en dix parties égales.
• Percentile: Divise les données en cent parties égales.

Plan d’expérience : Criblage de Plackett-Burman

Objectif

• Identifier les facteurs influents sur une réponse donnée.

Domaine d’application

• Utile pour identifier rapidement les facteurs ayant un effet important.
• Efficace dans les premières phases d'une étude.
• Permet d'évaluer de nombreux facteurs avec un minimum d'essais.
• Requiert que les facteurs soient indépendants.

Hypothèses clés

• Les facteurs n’ont pas d’interaction entre eux.
• La réponse est approximativement linéaire sur le domaine étudié.

Conception du plan d’expérience

• Nombre d’essais: Multiple de 4 (8, 12, 16, etc.).
• Nombre de facteurs étudiés: Nombre d’essais - 1 (7, 11, 15, etc.).
• Nombre de répétitions au point central: 1 à 3 (pour évaluer la courbure).
• Codage des variables: $$ X_i = \frac{x_i - \frac{x_{i,max} + x_{i,min}}{2}}{\frac{x_{i,max} - x_{i,min}}{2}} $$

Analyse des résultats

• Effets principaux: Mesure de l'impact de chaque facteur : $$ E_i = \frac{\sum Y_{+i} - \sum Y_{-i}}{n/2} $$
  • $E_i$ est l’estimation de l’effet du facteur i
  • $\sum Y_{+i}$ est la somme des résultats expérimentaux où le facteur i était à son niveau (+)
  • $\sum Y_{-i}$ est la somme des résultats expérimentaux où le facteur i était à son niveau (-)
  • $n$ est le nombre d’essais
• Test t de Student: Évalue la signification statistique des effets : $$ t_i = \frac{E_i}{S_{Ei}} $$
  • $t_i$ est la valeur t de Student pour le facteur i
  • $E_i$ est l’estimation de l’effet du facteur i
  • $S_{Ei}$ est l’erreur standard de l’estimation de l’effet du facteur i
• Intervalle de confiance: Fourchette d'estimation de l'effet : $$ IC_i = E_i \pm t_{\alpha/2, v} \cdot S_{Ei} $$
  • $IC_i$ est l’intervalle de confiance pour l’effet du facteur i
  • $E_i$ est l’estimation de l’effet du facteur i
  • $t_{\alpha/2, v}$ est la valeur t de Student pour un niveau de signification $\alpha$ et $v$ degrés de liberté
  • $S_{Ei}$ est l’erreur standard de l’estimation de l’effet du facteur i
• Analyse de la variance (ANOVA): Détermine si les facteurs ont un effet significatif.
• Graphique de Pareto: Visualise l’importance relative des effets des facteurs.

Logiciels utilisés

• JMP, Minitab, Design-Expert sont des outils pour l'analyse des plans d'expérience.