Statistiques Descriptives: Vocabulaire Clé

Statistiques Descriptives

• La statistique descriptive se consacre à la description et à la synthèse des données d'un ensemble.
• Son objectif est de résumer l'information contenue dans un ensemble de données sans généraliser les résultats.

Vocabulaire Clé

• Individu/Unité Statistique: L'élément individuel de la population faisant l'objet de l'étude.
• Population: L'ensemble complet des individus concernés par l'étude.
• Échantillon: Un sous-ensemble de la population sélectionné pour l'étude.
• Variable/Caractère Statistique: La propriété spécifique mesurée ou étudiée pour chaque individu.
• Modalités: Les différentes valeurs possibles qu'une variable peut prendre.

Types de Variables

• Variable Qualitative: Ne peut pas être mesurée numériquement.
  • Nominale: Les modalités n'ont pas d'ordre (ex: couleur des yeux).
  • Ordinale: Les modalités ont un ordre spécifique (ex: niveau de satisfaction).
• Variable Quantitative: Peut être mesurée numériquement.
  • Discrète: Prend des valeurs isolées (ex: nombre d'enfants).
  • Continue: Peut prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle donné (ex: taille).

Paramètres de Position

• Moyenne:
  • Formule de calcul: $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$
• Médiane:
  • La valeur qui divise l'échantillon en deux parties égales.
  • Calcul pour $n$ impair: $Me = x_{\frac{n+1}{2}}$
  • Calcul pour $n$ pair: $Me = \frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1}}{2}$
• Mode: La valeur qui apparaît le plus fréquemment dans l'échantillon.

Paramètres de Dispersion

• Variance:
  • Formule de calcul: $Var(x) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - \bar{x}^2$
• Écart-Type:
  • Calculé comme la racine carrée de la variance: $\sigma = \sqrt{Var(x)}$
• Étendue: La différence entre la valeur maximale et la valeur minimale dans l'échantillon.
• Intervalle Interquartile: La différence entre le troisième quartile (Q3) et le premier quartile (Q1).

Préparation à l'Agrégation Interne - Analyse

Exercice 1

• Une fonction $f$ est définie comme continue sur l'intervalle $[0, 1]$, avec $f \in C([0, 1], \mathbb{R})$.
• Pour chaque nombre naturel non nul $n$ ($n \in \mathbb{N}^{*}$), on définit $I_{n}=\int_{0}^{1} f(t) t^{n} d t$.
• Il faut démontrer que $\lim {n \rightarrow+\infty} I{n}=0$.
• Il faut calculer $\lim {n \rightarrow+\infty} \int{0}^{1} f\left(t^{n}\right) d t$.

Exercice 2

• L'équation différentielle à considérer est $(E) y^{\prime \prime}+y=e^{-x^{2}}$.
• Il faut déterminer toutes les solutions de l'équation homogène associée à $(E)$.
• Il faut aussi déterminer une solution particulière de $(E)$.
• Il faut déduire toutes les solutions de $(E)$ à partir des résultats précédents.

Exercice 3

• Soit $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue.
• $f$ admet une limite finie $l$ en $+\infty$.
• On doit montrer que $f$ est bornée sur $\mathbb{R}$.
• On doit montrer que $f$ est uniformément continue sur $[0,+\infty[$.
• On doit montrer que $f$ est uniformément continue sur $\mathbb{R}$.

Exercice 4

• La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}^{2}$ par $f(x, y)=x^{3}+y^{3}-3 x y$.
• Le but est de déterminer les points critiques de $f$.
• Il faut étudier la nature de ces points critiques.
• On cherche à déterminer si $f$ admet des extremums globaux.

Exercice 5

• Pour chaque $n$ appartenant à l'ensemble des nombres naturels non nuls ($n \in \mathbb{N}^{*}$), on a une fonction $f_{n}$ définie sur $\mathbb{R}{+}$ par $f{n}(x)=\frac{x^{n}}{1+x^{n}}$.
• On étudie la convergence simple de la suite de fonctions $\left(f_{n}\right){n \geq 1}$ sur $\mathbb{R}{+}$.
• On étudie la convergence uniforme de la suite de fonctions $\left(f_{n}\right)_{n \geq 1}$ sur $[0,1]$.
• On étudie la convergence uniforme de la suite de fonctions $\left(f_{n}\right)_{n \geq 1}$ sur $[1,+\infty[$.

Exercice 6

• On définit $E=\mathbb{R}_{3}[X]$ comme l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels dont le degré est inférieur ou égal à 3.
• Une application $f: E \rightarrow \mathbb{R}$ est définie par $f(P)=\int_{0}^{1} P(t) d t$.
• Il faut montrer que $f$ est une forme linéaire sur $E$.
• Il faut déterminer le noyau de $f$.
• Il faut déterminer l'image de $f$.

Pharmacodynamie

• Étudie les effets biochimiques et physiologiques des médicaments.
• Le médicament est appelé "pharmakon" ou "drug", dynamis signifie force.
• Le mécanisme d'action est la manifestation ou la réaction qu'un médicament génère dans l'organisme.
• Le récepteur est la structure cellulaire avec laquelle le médicament interagit de façon sélective.
  • La sélectivité est la capacité d'un médicament à se lier à des récepteurs spécifiques.
  • L'affinité est le niveau d'attraction entre le récepteur et le médicament.
  • La réversibilité est la capacité d'un médicament à se séparer de son récepteur.
  • L'activité intrinsèque est la capacité de produire une union médicament-récepteur.
  • La puissance est la capacité du médicament requise pour un effet désiré.
  • L'efficacité est le niveau maximum de réponses thérapeutiques du médicament.
• Action pharmacologique : changements ou modifications que le médicament produit dans l'organisme.
• Effet pharmacologique : effets visibles de l'action pharmacologique.
• Effet primaire : effets attendus pour ce médicament.
• Effet placebo : effets qui n'ont pas de relation avec le médicament.
• Effet toxique : manifestations biologiques produites par l'excès de la dose.
• Effet létal : manifestations biologiques produites par le médicament et qui peuvent conduire à la mort.

Pharmacocinétique (LADME)

• Étudie le comportement des substances (médicaments) dans l'organisme.
• La concentration du médicament dépend de 5 étapes.
• Libération : forme initiale du médicament en particules plus petites.
• Absorption : du site d'administration au torrent sanguin.
• Métabolisme : modification de la structure chimique d'un médicament.
• Distribution : vitesse et degré de pénétration.
• Excrétion : élimination du médicament.
• 1 : Principe actif du médicament est libéré.
• 2 : Passe du site d'administration au torrent sanguin.
• 3 : Dispersion du médicament.
• 4 : Liaison aux protéines plasmatiques (ex: albumine, la protéine plasmatique qui se lie à de nombreux médicaments).
• Élimination du médicament.