CM 0: Révisions

Questions and Answers

Quelle est la densité de la loi du χ²(n) ?

fX(x) = Γ(n/2) / (2^(n/2 - 1) Γ(n/2))

Quelle est l'espérance de la loi du χ²(n) ?

E[X] = n

Quelle est la variance de la loi du χ²(n) ?

Var[X] = 2n

Quelle est la fonction de répartition de la loi de Student t(n) ?

FX(x) = ∫−∞ ft(n) (u)du Signup and view all the answers

Quelle est la fonction quantile de la loi du χ²(n) ?

qχ(n) (α) = Fχ−1(n) (α) Signup and view all the answers

Comment peut-on définir une variable aléatoire suivant la loi de Student t(n) ?

Si U ∼ N (0, 1) et V ∼ χ²(n), alors √(U/V) ∼ t(n) Signup and view all the answers

Quelle est la forme de la fonction de densité de la loi de Student t(n) ?

Pas d'expression explicite Signup and view all the answers

Quel est l'espérance de la loi de Student t(n) si n > 1 ?

0 Signup and view all the answers

Quelle est la variance de la loi de Student t(n) si n > 2 ?

n-2 Signup and view all the answers

Quelle est la fonction de répartition de la loi de Fisher F(n1, n2) ?

Pas d'expression explicite Signup and view all the answers

Quelle est la propriété de la fonction quantile de la loi de Student t(n) ?

Paire Signup and view all the answers

Quelle est la propriété de la loi de Student t(n) quand n tend vers l'infini ?

Converge vers la loi normale Signup and view all the answers

Quelle est la formule pour calculer la valeur attendue d'une variable aléatoire suivant la loi de Fisher F(n1, n2) ?

n2n / (n1 + n2 - 2) Signup and view all the answers

Quelle est la formule pour calculer la variance d'une variable aléatoire suivant la loi de Fisher F(n1, n2) ?

n1(n2 - 2) / ((n2 - 2)(n2 - 4)) Signup and view all the answers

Quelle est la fonction quantile associée à la loi de Fisher F(n1, n2) ?

FF−1(n1, n2) (α) Signup and view all the answers

Quelle est la relation entre la loi de Fisher F(n1, n2) et la loi t(n) ?

Si X ∼ t(n), alors X2 ∼ F(1, n) Signup and view all the answers

Quelle est la formule pour calculer la fonction de répartition de la loi de Fisher F(n1, n2) ?

FF(n1, n2) (x) = P(X ≤ x) Signup and view all the answers

Quel est le domaine de définition de la loi de Fisher F(n1, n2) ?

Les réels non négatifs Signup and view all the answers

Qu'est-ce qu'un espace de probabilité?

Un triplet (Ω, A, P) où Ω est un ensemble, A est une tribu sur Ω et P est une mesure de probabilité Signup and view all the answers

Quelle est la propriété qu'une tribu A doit vérifier?

Ω ∈ A et ∅ ∈ A Signup and view all the answers

Qu'est-ce que la σ-additivité de P?

P est additive pour une réunion dénombrable d'événements disjoints Signup and view all the answers

Qu'est-ce que la tribu borélienne de R?

La plus petite tribu sur R contenant tous les intervalles ouverts de R Signup and view all the answers

Quelle est la formule pour calculer la probabilité d'un événement Ac?

P(Ac) = 1 - P(A) Signup and view all the answers

Qu'est-ce que un événement aléatoire?

Un élément de A Signup and view all the answers

Quel est le résultat de la loi faible des grands nombres pour une suite de variables aléatoires Yi?

Convergence en probabilité vers E[Y1] Signup and view all the answers

Quelle est la condition requise pour que g soit continue sur Z ?

P(Z ∈ Dg) = 0 Signup and view all the answers

Quel est le résultat du théorème de l'application continue pour les variables aléatoires de dimension d ≥ 2 ?

g(Yn) converge en probabilité vers g(Z) Signup and view all the answers

Quel est le nom du théorème qui établit la convergence de Yi vers Z ?

Théorème de l'application continue Signup and view all the answers

Quelle est la condition requise pour que la suite (Yn) converge vers Z ?

Yn converge en probabilité vers Z Signup and view all the answers

Quel est le résultat du lemme de Slutsky ?

g(Yn) converge en probabilité vers g(Z) Signup and view all the answers

Quel est le but principal de l'étude des théorèmes limite?

Justifier les approximations pour les échantillons de grande taille Signup and view all the answers

Qu'est-ce que l'on peut dire d'une suite de variables aléatoires (Yn )n∈N⋆ qui converge presque-sûrement vers Z sous P?

Que la suite converge presque-sûrement vers Z Signup and view all the answers

Quel est le résultat qui permet de quantifier l'erreur que l'on commet en utilisant les approximations données par les théorèmes limite?

Inégalité de concentration Signup and view all the answers

Quel est le domaine d'application des théorèmes limite?

Suite de variables aléatoires Signup and view all the answers

Qu'est-ce que l'on peut faire avec la commande qui génère un échantillon?

Procéder à l'étude statistique de cet échantillon Signup and view all the answers

Quel est le lien entre les théorèmes limite et les approximations pour les échantillons de grande taille?

Les théorèmes limite permettent de justifier les approximations pour les échantillons de grande taille Signup and view all the answers

Quel est le but principal de ce document de cours?

Comprendre les concepts de Statistiques descriptives et inférentielles Signup and view all the answers

Quels sont les deux formats d'exercices qui seront abordés dans ce module?

Exercices à traiter sur papier et exercices à traiter sur machine Signup and view all the answers

Quels sont les deux packages utilisés pour les applications mathématiques?

numpy et scipy Signup and view all the answers

Quel est le package utilisé pour les tableaux de données?

pandas Signup and view all the answers

Quels sont les deux packages utilisés pour la visualisation des données?

matplotlib et seaborn Signup and view all the answers

Quel est le but de l'utilisation de Python dans ce module?

Utiliser Python comme outil numérique et de visualisation de données Signup and view all the answers

Quelle est la condition pour que les variables aléatoires Xi soient globalement indépendantes ?

Les variables aléatoires Xi doivent être indépendantes pour tout sous-vecteur fini Signup and view all the answers

Quel est le produit tensoriel des lois PXi, i ∈ N⋆ ?

∏ PXik (Iik ) k=1 n Signup and view all the answers

Qu'est-ce que représentent les lettres Ii1,...,In dans l'équation de produit tensoriel ?

Des intervalles de valeurs pour les variables aléatoires Xi Signup and view all the answers

Quelle est la relation entre les variables aléatoires Xi et les variables aléatoires Xi1,...,Xin ?

Les variables aléatoires Xi sont les éléments d'un vecteur aléatoire X Signup and view all the answers

Quel est le but de la présentation des commandes Python ?

De montrer l'utilisation des lois de probabilité usuelles Signup and view all the answers

Quel est le lien entre les lois de probabilité usuelles et les chapitres suivants ?

Les lois de probabilité usuelles sont utilisées pour présenter les nouvelles lois dérivées de la loi Normale Signup and view all the answers

Study Notes

Loi du χ2

La fonction quantile de la loi du χ2 est notée qχ(n) (α) et est définie comme la bijection réciproque de la fonction de répartition.
La loi du χ2 est définie sur R+ et est asymétrique car son support est semi-infini.
L'espérance de la loi du χ2 est égale à n.
La variance de la loi du χ2 est égale à 2n.
La loi du χ2 est utilisée pour modéliser la somme de carrés de variables aléatoires normales indépendantes.

Loi de Student t

La loi de Student t est notée t(n) et est définie comme la distribution d'une variable aléatoire qui est la combinaison d'une variable aléatoire normale et d'une variable aléatoire suivant la loi du χ2.
La fonction quantile de la loi de Student t est notée qt(n) (α) et est définie comme la bijection réciproque de la fonction de répartition.
La loi de Student t est symétrique par rapport à 0 et est définie sur R.
L'espérance de la loi de Student t est égale à 0 si n > 1.
La variance de la loi de Student t est égale à n / (n - 2) si n > 2.
La loi de Student t tend vers la loi normale lorsque n tend vers l'infini.

Loi de Fisher

La loi de Fisher est notée F(n1, n2) et est définie comme la distribution d'une variable aléatoire qui est le quotient de deux variables aléatoires suivant la loi du χ2.
La fonction quantile de la loi de Fisher est notée qF(n1, n2) (α) et est définie comme la bijection réciproque de la fonction de répartition.
La loi de Fisher est asymétrique car son support est semi-infini.
L'espérance de la loi de Fisher est égale à n2 / (n2 - 2) si n2 > 2.
La variance de la loi de Fisher est égale à n1(n2 - 2) / ((n2 - 2)²(n2 - 4)) si n2 > 4.

Théorème de l'application continue

Le théorème de l'application continue stipule que si une suite de variables aléatoires converge vers une variable aléatoire, alors la suite des images de ces variables aléatoires par une fonction continue converge vers l'image de la variable aléatoire par cette fonction.

Lemme de Slutsky

Le lemme de Slutsky stipule que si une suite de variables aléatoires converge vers une variable aléatoire, et si une autre suite de variables aléatoires converge vers une constante, alors la suite des produits de ces deux suites de variables aléatoires converge vers le produit de la variable aléatoire et de la constante.

Théorèmes de convergence

Les théorèmes de convergence stipulent que si une suite de variables aléatoires converge vers une variable aléatoire, alors la suite des moments de ces variables aléatoires converge vers les moments de la variable aléatoire.
Les théorèmes de convergence permettent de justifier les approximations que l'on fait lorsque la taille de l'échantillon est suffisamment grande.

Partie C : Théorèmes limite

Les théorèmes de convergence permettent de donner un sens aux limites lorsque la taille de l'échantillon tend vers l'infini.
Les théorèmes de convergence permettent de justifier les approximations que l'on fait lorsque la taille de l'échantillon est suffisamment grande.

Modes de convergence

Il existe plusieurs modes de convergence pour les suites de variables aléatoires, notamment la convergence presque sûre, la convergence en probabilité et la convergence en loi.
Les modes de convergence sont importants pour définir les propriétés de convergence des suites de variables aléatoires.

Présentation : Modalités de programmation

Les commandes Python seront utilisées pour générer des échantillons aléatoires et pour effectuer des analyses statistiques.
Les packages numpy, scipy, pandas, statsmodels, scikit-learn et matplotlib seront utilisés pour les analyses statistiques.

Bibliographie & Ressources

Les ressources en ligne et les livres de référence seront utilisés pour approfondir les connaissances en probabilités et en statistiques.
Les sites web de Marc Bailly-Bechet, Christophe Chesneau, Marco Cuturi, Paul Liautaud et Paul Rochet sont des ressources utiles pour les exercices supplémentaires.

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Description

Quiz sur la loi du χ², incluant la fonction quantile, l'espérance et la variance de cette loi de probabilité