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Questions and Answers
Se la distribuzione della popolazione è Normale e la varianza non è nota, la statistica $(X-\mu) \frac{\sqrt{n}}{S}$ si distribuisce come una t-Student con $n$ gradi di libertà.
Se la distribuzione della popolazione è Normale e la varianza non è nota, la statistica $(X-\mu) \frac{\sqrt{n}}{S}$ si distribuisce come una t-Student con $n$ gradi di libertà.
False (B)
Fissata la dimensione campionaria e nota $\sigma^2$, al diminuire del livello di confidenza la lunghezza dell'intervallo di confidenza per la media aumenta.
Fissata la dimensione campionaria e nota $\sigma^2$, al diminuire del livello di confidenza la lunghezza dell'intervallo di confidenza per la media aumenta.
False (B)
L'ampiezza dell'intervallo di confidenza è data dalla semi-lunghezza dell'intervallo.
L'ampiezza dell'intervallo di confidenza è data dalla semi-lunghezza dell'intervallo.
False (B)
Per costruire un intervallo di confidenza per la media è necessario che la popolazione abbia una distribuzione uniforme.
Per costruire un intervallo di confidenza per la media è necessario che la popolazione abbia una distribuzione uniforme.
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Nel caso di una popolazione normale con varianza nota, la lunghezza dell'intervallo di confidenza per la media aumenta all'aumentare della numerosità del campione.
Nel caso di una popolazione normale con varianza nota, la lunghezza dell'intervallo di confidenza per la media aumenta all'aumentare della numerosità del campione.
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La dimensione del campione estratto senza ripetizione può essere maggiore di quella della popolazione.
La dimensione del campione estratto senza ripetizione può essere maggiore di quella della popolazione.
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Nel campionamento casuale stratificato, le unità estratte dalla popolazione vengono successivamente suddivise in strati.
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La media campionaria è una variabile casuale con valore atteso uguale alla media della popolazione solo se questa è infinita.
La media campionaria è una variabile casuale con valore atteso uguale alla media della popolazione solo se questa è infinita.
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Qualunque siano la popolazione e la numerosità campionaria, la media campionaria si distribuisce come una normale.
Qualunque siano la popolazione e la numerosità campionaria, la media campionaria si distribuisce come una normale.
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In una popolazione finita, per approssimare la distribuzione della media campionaria con una normale, occorre avere un campione molto piccolo.
In una popolazione finita, per approssimare la distribuzione della media campionaria con una normale, occorre avere un campione molto piccolo.
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Il campionamento a grappoli è un caso particolare del campionamento stratificato.
Il campionamento a grappoli è un caso particolare del campionamento stratificato.
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Per confrontare due stimatori di uno stesso parametro, è sufficiente confrontare le loro varianze.
Per confrontare due stimatori di uno stesso parametro, è sufficiente confrontare le loro varianze.
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Uno stimatore che mediamente sottostima il parametro si dice non distorto.
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Se uno stimatore è asintoticamente corretto allora è anche consistente.
Se uno stimatore è asintoticamente corretto allora è anche consistente.
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La funzione di verosimiglianza fornisce la probabilità di estrarre il campione osservato per ogni valore del parametro $\theta$.
La funzione di verosimiglianza fornisce la probabilità di estrarre il campione osservato per ogni valore del parametro $\theta$.
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Per costruire uno stimatore puntuale di $\theta$ esiste solo il metodo della massima verosimiglianza.
Per costruire uno stimatore puntuale di $\theta$ esiste solo il metodo della massima verosimiglianza.
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Uno stimatore la cui variabilità diminuisce all'aumentare della dimensione campionaria è asintoticamente corretto.
Uno stimatore la cui variabilità diminuisce all'aumentare della dimensione campionaria è asintoticamente corretto.
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La distorsione di uno stimatore è sempre positiva.
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Il livello di confidenza è una quantità che varia da meno infinito a più infinito.
Il livello di confidenza è una quantità che varia da meno infinito a più infinito.
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La numerosità del campione non influenza la lunghezza dell'intervallo di confidenza di una proporzione.
La numerosità del campione non influenza la lunghezza dell'intervallo di confidenza di una proporzione.
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Fissato il livello di confidenza, all'aumentare della dimensione campionaria la lunghezza dell'intervallo di confidenza per la media diminuisce.
Fissato il livello di confidenza, all'aumentare della dimensione campionaria la lunghezza dell'intervallo di confidenza per la media diminuisce.
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La probabilità che una variabile casuale continua X assuma un valore singolo $x_0$ è sempre nulla
La probabilità che una variabile casuale continua X assuma un valore singolo $x_0$ è sempre nulla
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Il valore atteso di una variabile casuale indica il numero di volte che un certo risultato si verifica
Il valore atteso di una variabile casuale indica il numero di volte che un certo risultato si verifica
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Se la varianza di una variabile casuale X diminuisce, ci dobbiamo attendere che aumenti la probabilità di osservare valori vicini al suo valore atteso
Se la varianza di una variabile casuale X diminuisce, ci dobbiamo attendere che aumenti la probabilità di osservare valori vicini al suo valore atteso
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Conoscendo il valore atteso e la varianza di una variabile casuale, si può determinare un limite inferiore per la probabilità di un intervallo di valori, simmetrico rispetto al valore atteso
Conoscendo il valore atteso e la varianza di una variabile casuale, si può determinare un limite inferiore per la probabilità di un intervallo di valori, simmetrico rispetto al valore atteso
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Una variabile casuale standardizzata ha il valore atteso e la varianza uguali a 1
Una variabile casuale standardizzata ha il valore atteso e la varianza uguali a 1
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La v.c. di Bernoulli può essere ricavata come un caso particolare della v.c. binomiale
La v.c. di Bernoulli può essere ricavata come un caso particolare della v.c. binomiale
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Il valore atteso della v.c. binomiale è sempre un valore intero
Il valore atteso della v.c. binomiale è sempre un valore intero
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La variabilità della v.c. Binomiale aumenta all’aumentare della numerosità delle prove
La variabilità della v.c. Binomiale aumenta all’aumentare della numerosità delle prove
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Gli estremi dell'intervallo di confidenza per la varianza della popolazione sono simmetrici intorno alla stima puntuale.
Gli estremi dell'intervallo di confidenza per la varianza della popolazione sono simmetrici intorno alla stima puntuale.
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Per n sufficientemente grande, la statistica $(X-
u) rac{
ad{n}}{
ad{X(1-X)}}$ si distribuisce approssimativamente secondo una normale standardizzata.
Per n sufficientemente grande, la statistica $(X- u) rac{ ad{n}}{ ad{X(1-X)}}$ si distribuisce approssimativamente secondo una normale standardizzata.
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Nella costruzione dell'intervallo di confidenza per la media, è necessario che la popolazione abbia una distribuzione normale.
Nella costruzione dell'intervallo di confidenza per la media, è necessario che la popolazione abbia una distribuzione normale.
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L'intervallo di confidenza è un intervallo casuale.
L'intervallo di confidenza è un intervallo casuale.
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Il livello di confidenza nella stima intervallare è dato dalla lunghezza dell'intervallo.
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La media campionaria si distribuisce come una normale qualsiasi sia la popolazione.
La media campionaria si distribuisce come una normale qualsiasi sia la popolazione.
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La varianza della media campionaria è sempre superiore a quella della popolazione.
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Un campione casuale è formato da un insieme di variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite.
Un campione casuale è formato da un insieme di variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite.
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Lo stimatore è una funzione delle osservazioni campionarie.
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Ogni singola osservazione campionaria può essere considerata una statistica campionaria.
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La distribuzione della media campionaria non dipende dalla dimensione campionaria.
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Uno stimatore distorto è sempre migliore di uno stimatore corretto.
Uno stimatore distorto è sempre migliore di uno stimatore corretto.
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Fissato il livello di confidenza, l'aumento della dimensione campionaria porta a una diminuzione della lunghezza dell'intervallo di confidenza per la proporzione.
Fissato il livello di confidenza, l'aumento della dimensione campionaria porta a una diminuzione della lunghezza dell'intervallo di confidenza per la proporzione.
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Se la dimensione del campione è piccola, non è necessario conoscere la distribuzione del carattere per costruire l'intervallo di confidenza.
Se la dimensione del campione è piccola, non è necessario conoscere la distribuzione del carattere per costruire l'intervallo di confidenza.
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Lo stimatore di massima verosimiglianza per la varianza della popolazione è sempre corretto.
Lo stimatore di massima verosimiglianza per la varianza della popolazione è sempre corretto.
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Gli estremi di un intervallo di confidenza sono considerati delle variabili casuali.
Gli estremi di un intervallo di confidenza sono considerati delle variabili casuali.
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La media campionaria è uno stimatore distorto della media della popolazione a prescindere dalla distribuzione del carattere.
La media campionaria è uno stimatore distorto della media della popolazione a prescindere dalla distribuzione del carattere.
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La distorsione di uno stimatore può essere sia positiva che negativa.
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Study Notes
Probabilità e Statistica - Appunti di Studio
- Variabile Casuale Continua: La probabilità che una variabile casuale continua assuma un singolo valore è sempre nulla.
- Valore Atteso: Indica il numero medio di volte che un risultato si verifica.
- Varianza: Una minore varianza suggerisce una maggiore probabilità di osservare valori vicini al valore atteso.
- Variabile Standardizzata: Ha valore atteso e varianza uguali a 1.
- Variabile di Bernoulli: Può essere vista come un caso particolare della variabile binomiale.
- Variabile Binomiale: Il valore atteso è un valore intero. La variabilità diminuisce con l'aumento della numerosità delle prove.
- Variabile Poisson: Discreta, assume un numero infinito di valori, ed ha valore atteso e varianza uguali. La prima può assumere un numero finito di valori, mentre la seconda un numero infinito.
- Distribuzione Normale: È caratterizzata da valore atteso e varianza, ed in alcuni casi non è simmetrica. La funzione di densità presenta un'area pari a 0,5 a destra dello zero. La variabile normale standardizzata non si limita a valori tra -1 e +1.
- Variabile t di Student: Ha lo stesso valore atteso della variabile normale ma una maggiore probabilità di osservare valori distanti, in valore assoluto, dallo zero.
- Somma di Variabili Chi-quadrato: Tende a distribuirsi come una normale all'aumentare del numero di variabili.
- Differenza di Variabili Casuali: Ha valore atteso uguale a E(X1-X2) = E(X1) – E(X2) solo se le variabili sono indipendenti.
Campionamento
- Popolazione: I parametri sono costanti. La media di una popolazione infinita è una variabile casuale.
- Campione: Nelle popolazioni finite, la frazione di sondaggio è il rapporto tra la numerosità del campione e quella della popolazione. Il piano di campionamento si basa sullo spazio campionario e sulla probabilità di estrazione dei singoli campioni. La dimensione del campione estratto senza ripetizione non può superare quella della popolazione. Un campione casuale con ripetizione è formato da una successione di variabili casuali distribuite allo stesso modo e indipendenti.
- Campionamento Stratificato: Le unità estratte vengono suddivise in strati. Il campione ottenuto è composto da tanti campioni casuali semplici quanti sono gli strati.
- Campionamento a Grappoli: Un caso particolare del campionamento stratificato.
- Media Campionaria: È una variabile casuale con valore atteso uguale a quello della popolazione solo se quest'ultima è infinita. La varianza della media campionaria non è mai superiore alla media della popolazione.
- Distribuzione di una Media Campionaria: Qualitative. Non è una distribuzione normale in tutti i casi.
- Campione con ripetizione: In una popolazione finita ogni prova genera variabili casuali indipendenti.
Stima
- Stima Puntuale: La media campionaria è uno stimatore corretto della media della popolazione. La media campionaria è uno stimatore consistente della media della popolazione. E' corretto a prescindere dalla distribuzione del carattere.
- Stime Distorte: Possono comunque essere migliori di stime corrette in base all'MSE.
- MSE (Mean Square Error): Utile per confrontare stimatori distorti e non distorti. Uno stimatore corretto ha MSE coincidente con la sua varianza.
- Massimo Verosimiglianza: Non è l'unico modo per costruire uno stimatore puntuale.
- Stima di Massima Verosimiglianza (MV): Per la varianza della popolazione non è corretta.
- Distorsione: Può non essere sempre positiva.
Intervalli di Confidenza
- Variabili Casuali: Gli estremi di un intervallo di confidenza sono delle variabili casuali.
- Livello di Confidenza: Una quantità che non varia da -infinito a +infinito.
- Campione Piccole Dimensione: Si deve conoscere la distribuzione del carattere nella popolazione.
- Dimensione del Campione: Maggiore è la dimensione del campione, minore è la lunghezza dell'intervallo di confidenza per la media.
- Varianza Nota: La statistica (X-µ)/rad(n)/S segue una distribuzione t-Student con (n-1) gradi di libertà.
- Livello di Confidenza e Lunghezza Intervallo: La lunghezza dell'intervallo aumenta con il livello di confidenza.
- Distribuzioni di Campione: Possono essere utilizzate per stimare intervalli di confidenza.
- Teorema del Limite Centrale: Utile quando la distribuzione della popolazione non è nota.
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Description
Questo quiz tratta della teoria degli intervalli di confidenza e delle tecniche di campionamento in statistica. Si esploreranno concetti come la distribuzione normale, la t-Student, e il campionamento casuale stratificato. Metti alla prova le tue conoscenze sulle variabili casuali e la costruzione degli intervalli di confidenza.
