Spazio Vettoriale Reale e Vettori

Sistemi Lineari

• Un sistema di m equazioni lineari in n incognite rappresenta una collezione di equazioni che devono essere soddisfatte simultaneamente. Ogni equazione è una combinazione lineare delle incognite e il sistema può essere rappresentato in forma matriciale per facilitare la risoluzione.
• La compatibilità di un sistema lineare si riferisce alla possibilità di trovare soluzioni che soddisfino tutte le equazioni contemporaneamente. Un sistema è incompatibile se non esiste alcuna soluzione, determinato se ha una sola soluzione e indeterminato se ha infinite soluzioni, tipicamente in un contesto di dipendenza lineare tra le equazioni.
• Le matrici di un sistema lineare sono rappresentazioni tabulari delle coefficienti delle variabili delle equazioni. Esse svolgono un ruolo cruciale nell'analisi e nella soluzione dei sistemi, consentendo di applicare vari metodi, come l'eliminazione di Gauss o la regola di Cramer.

Matrici

• Una matrice m × n è una struttura rettangolare formata da m righe e n colonne, dove gli elementi possono appartenere a vari campi, come numeri reali o complessi. Questa rappresentazione è fondamentale in algebra lineare, in quanto consente di trattare e manipolare dati in maniera efficiente.
• Le matrici particolari includono una matrice colonna, che ha una sola colonna, una matrice riga, che ha una sola riga, una matrice quadrata con lo stesso numero di righe e colonne, una matrice identità, che è una matrice quadrata con 1 sulla diagonale principale e 0 altrove, e una matrice triangolare, che è formata da zeri sopra o sotto la diagonale principale.
• La somma di matrici consiste nell'aggiungere gli elementi sovrapposti di due matrici con le stesse dimensioni, mentre il prodotto di matrici coinvolge la moltiplicazione delle righe di una matrice per le colonne di un'altra matrice, seguendo le regole algebriche appropriate.
• La matrice inversa è una matrice che, quando moltiplicata per la matrice originale, restituisce la matrice identità. Non tutte le matrici hanno un'inversa; una condizione necessaria è che la matrice sia quadrata e il suo determinante sia diverso da zero. Questa proprietà è essenziale per risolvere sistemi di equazioni lineari.

Determinanti

• Il determinante di una matrice quadrata fornisce informazioni sulle proprietà della matrice stessa, come la sua invertibilità. Se il determinante è zero, significa che la matrice non è invertibile e che le sue righe (o colonne) sono linearmente dipendenti.
• Le proprietà del determinante includono la linearità rispetto alle righe e colonne, nonché il fatto che cambiare due righe di una matrice inverte il segno del determinante. Queste proprietà sono utili per calcolare determinanti di matrici più grandi.
• I determinanti 2x2 e 3x3 possono essere calcolati tramite formule specifiche che facilitano questi calcoli. Per una matrice 2x2 di forma [[a, b], [c, d]], il determinante è ad-bc, mentre per una matrice 3x3 si utilizza la regola di Sarrus o l'espansione di Laplace.
• Le formule di Laplace permettono di calcolare il determinante di matrice più grandi espandendo lungo una riga o una colonna, contribuendo notevolmente all'analisi delle matrici. Inoltre, il teorema di Cauchy-Binet offre una relazione tra i determinanti di matrici e le loro sottosequenze, facilitando vari calcoli di determinanti.

Sottospazi vettoriali ed affini

• I sottospazi vettoriali sono collezioni di vettori che sono chiusi rispetto alle operazioni di somma e moltiplicazione per uno scalare. Questi spazi possono avere dimensioni diverse e sono fondamentali per la struttura della geometria lineare.
• La combinazione lineare è un'espressione formata da un insieme di vettori moltiplicati per coefficienti scalari. Essa rappresenta un punto cruciale nell'analisi dei sottospazi, poiché consente di definire l’ammissibilità e le interazioni tra i vettori.
• Una mappa lineare è un'applicazione che preserva la struttura lineare tra due spazi vettoriali, consentendo di studiare trasformazioni e il loro effetto sulla geometria e sull'algebra.
• Le matrici di una mappa lineare rappresentano i coefficienti di tale trasformazione e forniscono uno strumento pratico per calcolare gli effetti della mappa sugli elementi spaziali.
• Il nucleo di una mappa lineare è l'insieme di vettori che vengono mappati all'origine, mentre l'immagine è l'insieme di tutti i possibili risultati che una mappa lineare può produrre. Questi concetti sono fondamentali per comprendere la natura delle trasformazioni lineari.

Endomorfismi

• Gli endomorfismi sono mappe lineari che operano all'interno dello stesso spazio vettoriale e che offrono una comprensione profonda delle trasformazioni interne.
• Gli autovettori sono vettori che non cambiano la loro direzione quando vengono applicate a una mappa lineare, mentre gli autovalori sono i fattori di scala che accompagnano questi autovettori. Questi concetti sono essenziali in vari campi, inclusa la meccanica quantistica e l’analisi delle stabilità.
• Il polinomio caratteristico di una matrice è un polinomio che contiene informazioni sugli autovalori e può essere utilizzato per calcolare gli autovalori stessi tramite la ricerca delle radici del polinomio. Questa connessione è un aspetto vitale nella teoria degli operatori lineari.
• Gli autovalori e la loro molteplicità offrono una gestione dei risultati in aree come la stabilità nell'analisi dei sistemi complessi. Questa molteplicità può essere semplice o complessa, a seconda della natura delle radici del polinomio caratteristico.
• L'autospazio per ogni autovalore è l'insieme di autovettori che corrispondono a quel valore, permettendo di descrivere le percezioni geometriche e algebraiche di trasformazioni associative.
• La molteplicità geometrica di un autovalore rappresenta la dimensione dell'autospazio associato e fornisce ulteriori dettagli sulla struttura degli autovettori. Comprendere questa dimensione è cruciale per garantire la diagonalizzabilità di una matrice.
• Infine, la diagonalizzabilità è la proprietà di una matrice che consente di essere rappresentata in una forma diagonale, facilitando notevolmente i calcoli e le analisi. Una matrice è diagonalizzabile se ha una base di autovettori linearmente indipendenti.