5.3. Sisteme Ekuacionesh Lineare

Algjebër Linear dhe Gjeometri Analitike I

Kapitulli 1: Sisteme Ekuacionesh Lineare

1.1 Hyrje

• Në algjebrën lineare, një sistem ekuacionesh lineare është një bashkësi ekuacionesh lineare që përfshijnë variablat e njëjta.
• Teoria e sistemeve të ekuacioneve lineare është një temë themelore në algjebrën lineare.

Përkufizimi 1.1.1

• Një sistem ekuacionesh lineare është një bashkësi ekuacionesh të formës:
  • $a₁₁x₁ + a₁₂x₂ +... + a₁ₙxₙ = b₁$
  • $a₂₁x₁ + a₂₂x₂ +... + a₂ₙxₙ = b₂...$
  • $aₘ₁x₁ + aₘ₂x₂ +... + aₘₙxₙ = bₘ$
  • $x₁, x₂,..., xₙ$ janë të panjohurat, $aᵢⱼ$ dhe $bᵢ$ janë koeficientë realë ose kompleksë.
• Një zgjidhje e një sistemi linear është një listë numrash $s₁, s₂,..., sₙ$ që, kur zëvendësohen për $x₁, x₂,..., xₙ$, e bëjnë çdo ekuacion një barazim të vërtetë.
• Bashkësia e zgjidhjeve e një sistemi linear është bashkësia e të gjitha zgjidhjeve të mundshme.
• Dy sisteme lineare janë ekuivalente nëse kanë të njëjtën bashkësi zgjidhjesh.

Shembull 1.1.2

• Sistemi linear:
  • $x₁ - x₂ = 1$
  • $2x₁ + x₂ = 5$
• Ka zgjidhje $x₁ = 2$ dhe $x₂ = 1$, bashkësia e zgjidhjeve është ${(2, 1)}$.

Përkufizimi 1.1.3

• Një sistem linear është i pajtueshëm nëse ka të paktën një zgjidhje. Përndryshe, është i papajtueshëm.
• Një sistem linear i pajtueshëm mund të ketë:
  • Një zgjidhje unike.
  • Një pafundësi zgjidhjesh.

1.2 Matrica dhe Veprime Themelore

• Sistemin linear të $m$ ekuacioneve me $n$ të panjohura:
  • $a₁₁x₁ + a₁₂x₂ +... + a₁ₙxₙ = b₁$
  • $a₂₁x₁ + a₂₂x₂ +... + a₂ₙxₙ = b₂...$
  • $aₘ₁x₁ + aₘ₂x₂ +... + aₘₙxₙ = bₘ$
• Matrica e koeficientëve është matrica $m \times n$:
  • $A = \begin{bmatrix} a₁₁ & a₁₂ & ... & a₁ₙ \ a₂₁ & a₂₂ & ... & a₂ₙ \ ... & ... & ... & ... \ aₘ₁ & aₘ₂ & ... & aₘₙ \end{bmatrix}$
• Matrica e zgjeruar është matrica $m \times (n+1)$:
  • $[A | b] = \begin{bmatrix} a₁₁ & a₁₂ & ... & a₁ₙ & b₁ \ a₂₁ & a₂₂ & ... & a₂ₙ & b₂ \ ... & ... & ... & ... & ... \ aₘ₁ & aₘ₂ & ... & aₘₙ & bₘ \end{bmatrix}$
• $b = \begin{bmatrix} b₁ \ b₂ \ ... \ bₘ \end{bmatrix}$ është matrica e termave konstantë.

Shembull 1.2.1

• Matrica e zgjeruar e sistemit linear:
  • $2x₁ + x₂ - x₃ = 3$
  • $x₁ - x₂ + 3x₃ = -2$
  • $x₁ + 2x₂ - 3x₃ = 6$
• Është:
  • $\begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 3 \ 1 & -1 & 3 & -2 \ 1 & 2 & -3 & 6 \end{bmatrix}$

Përkufizimi 1.2.2

• Veprimet themelore mbi rreshtat e një matrice janë:
  • Këmbimi: Ndërrimi i dy rreshtave.
  • Shumëzimi: Shumëzimi i një rreshti me një konstante jo-zero.
  • Shtimi: Shtimi i një shumëfishti të një rreshti në një rresht tjetër.

Teorema 1.2.3

• Matrica e zgjeruar e një sistemi linear transformohet në matricën e zgjeruar të një sistemi tjetër linear nëpërmjet një sekuence veprimesh themelore mbi rreshtat, atëherë dy sistemet lineare janë ekuivalente.

Ligjërata 5: Më Shumë mbi Listat

Objektivat

• Mësojmë rreth metodave të listave.
• Mësojmë rreth veprimeve të zakonshme të listave.
• Mësojmë rreth krijimit të listave.

Metodat e Listave

Veprimet e Listave

Krijimi i Listave (List Comprehension)

• Krijimi i listave është një mënyrë e shkurtër për të krijuar lista në Python.
• Përbëhet nga kllapa katrore që përmbajnë një shprehje të ndjekur nga një klauzolë for, pastaj zero ose më shumë klauzola for ose if.
• Shprehjet mund të jenë çdo gjë që dëshironi në bazë të variablave që po caktoni.

#Shembull
numbers = [1, 2, 3, 4, 5]
squares = [x**2 for x in numbers] # squares do të jetë [1, 4, 9, 16, 25]
even_squares = [x**2 for x in numbers if x % 2 == 0] # even_squares do të jetë [4, 16].

Forma e Përgjithshme

new_list = [expression for item in iterable (if condition)]

• expression: Veprimi/shprehja që do të kryhet mbi secilin element në iterable.
  • item: Variabël që përfaqëson secilin anëtar të iterable.
  • iterable: Një sekuencë, kolekcioni ose objekt iteratori.
  • condition (opsionale): Një filtër që shton vetëm elementin në listën e re nëse kushti vlerësohet si True.