Sustavi linearnih jednadžbi: Uvod

Poglavlje 1: Sustavi linearnih jednadžbi

1.1 Uvod

• Linearna jednadžba s n varijabli $x_1, x_2,..., x_n$ ima oblik $a_1x_1 + a_2x_2 +... + a_nx_n = b$, gdje su $a_1, a_2,..., a_n, b$ konstante.
• Sustav od m linearnih jednadžbi s n varijabli je skup od m linearnih jednadžbi koje sadrže iste n varijable.
• Rješenje sustava linearnih jednadžbi je n-torka $(s_1, s_2,..., s_n)$ brojeva koji zadovoljavaju svaku jednadžbu sustava kada se uvrste umjesto $x_1, x_2,..., x_n$.
• Skup svih rješenja sustava linearnih jednadžbi naziva se skup rješenja sustava.
• Dva sustava linearnih jednadžbi su ekvivalentna ako imaju isti skup rješenja.

1.2 Rješavanje sustava linearnih jednadžbi

• Moguće je izvršiti elementarne operacije nad sustavom linearnih jednadžbi bez izmjene skupa rješenja.

Elementarne operacije

• Zamjena dviju jednadžbi.
• Množenje jednadžbe konstantom različitom od nule.
• Dodavanje višekratnika jedne jednadžbe drugoj jednadžbi.

Gaussova metoda eliminacije

• Gaussova metoda eliminacije je sustavna metoda za rješavanje sustava linearnih jednadžbi korištenjem elementarnih operacija za transformaciju sustava u jednostavniji ekvivalentni sustav čije je rješenje lako pronaći.
• Primjer: Rješavanje sustava linearnih jednadžbi:

$x - y = 1$ $2x + y = 5$

• Eliminiramo x iz druge jednadžbe oduzimanjem 2 puta prvu jednadžbu od druge:

$x - y = 1$ $3y = 3$

• Sada možemo riješiti y u drugoj jednadžbi:

$y = 1$

• Možemo uvrstiti ovu vrijednost y u prvu jednadžbu kako bismo riješili x: $x - 1 = 1$ $x = 2$

• Rješenje sustava je $(x, y) = (2, 1)$.

1.3 Matrice i operacije nad matricama

Definicije

• Matrica je pravokutna tablica brojeva, koji se nazivaju elementima matrice.
• Matrica s m redaka i n stupaca naziva se $m \times n$ matrica.
• Ako je A $m \times n$ matrica, tada se element koji se nalazi u i-tom retku i j-tom stupcu A označava $a_{ij}$.
• Dvije matrice A i B su jednake ako imaju istu veličinu i ako je $a_{ij} = b_{ij}$ za sve i i j.

Operacije nad matricama

• Ako su A i B $m \times n$ matrice, tada je zbroj A i B, označen A + B, matrica $m \times n$ čiji su elementi dani s:

$(A + B){ij} = a{ij} + b_{ij}$

• Ako je A $m \times n$ matrica, a c skalar, tada je umnožak A s c, označen cA, matrica $m \times n$ čiji su elementi dani s:

$(cA){ij} = ca{ij}$

• Ako je A $m \times p$ matrica, a B $p \times n$ matrica, tada je umnožak A i B, označen AB, matrica $m \times n$ čiji su elementi dani s:

$(AB){ij} = \sum{k=1}^{p} a_{ik}b_{kj}$

Bilješke s prve slike

Građa Zemlje

• Zemlja se sastoji od:
  • Jezgre
  • Plašta
  • Kore
• Andrija Mohorovićić je znanstvenik koji se bavio građom Zemlje.
• Jezgra se proteže od središta Zemlje do 2900 km.
  • Sastoji se od čvrstog nikla i željeza.
  • Podijeljena je na unutarnju i vanjsku jezgru.
  • Od plašta je odvojena Wechert-Gutenbergovim diskontinuitetom.
• Plašt se proteže od 2900 km do 40 km dubine.
  • Litosfera = gornji plašt + zemljina kora.
• Kora je kruta.
  • Podijeljena je na kontinentsku (debljina 40-80 km) i oceansku (debljina 5-20 km).

Ostale važne činjenice

• oceanska kora i kontinentalna kora.
• gornji plašt i donji dio Zemljinog plašta
• unutarnja i vanjska jezgra

Globalna tektonika ploča

• Njemački znanstvenik Alfred Wegener, početkom 20. stoljeća (1915).
• "Podrijetlo oceana i kontinenata"; zaključio je da se kontinenti kreću plutanjem kore.