• Le traitement du signal est une science essentielle utilisée dans les mesures et le traitement de l'information, permettant d'extraire l'information désirée.
• Le traitement du signal est initialement utilisé pour extraire le signal dans le bruit lors de mesures avec des capteurs.
• Il est maintenant largement appliqué en télécommunication pour protéger l'information contre le bruit et développer de nouvelles fonctionnalités électroniques, comme le filtrage sélectif et les techniques de modulation/démodulation.
• Ce cours vise à caractériser un signal dans les domaines temporel et fréquentiel, en utilisant des modèles mathématiques pour concevoir et caractériser les systèmes de traitement de l'information.
• Le bruit représente tout signal ou phénomène perturbateur.
• Le cours est structuré en quatre chapitres, commençant par une sensibilisation à la décomposition d'un signal en série de Fourier avec une intuition physique.
• Le deuxième chapitre classifie les signaux et définit les notions de puissance, abordant les phénomènes aléatoires et les signaux déterministes.
• Le troisième chapitre approfondit les concepts mathématiques de la série de Fourier et de la transformée de Fourier, rappelant les mesures de signaux (moyenne, puissance et variance).
• Le quatrième chapitre traite des applications d'échantillonnage, de filtrage et de convolution, en privilégiant les représentations physiques pour appuyer les concepts mathématiques.

Chapitre 1 : Traitement du Signal - Intuition Physique

• Le premier chapitre sensibilise à la décomposition d'un signal en série de Fourier et met l'accent sur l'intuition physique.
• Le programme inclut l'approche intuitive de la représentation temporelle et fréquentielle, la définition de l'analyse spectrale, et l'étude de la vibration d'une corde avec sa longueur d'onde et sa fondamentale
• Un signal est un message simplifié et codé, existant sous diverses formes, telles que les signaux lumineux pour la communication à distance, les signaux électriques, et les signaux informatiques pour la communication inter-processus.
• Les signaux sont généralement représentés par une fonction continue dans le temps, visualisée sur un oscilloscope ou un appareil représentant la variation d'amplitude d'un phénomène.
• La production des sons à partir de cordes a été étudiée depuis Pythagore
• La vibration d'une corde est transmise à l'air environnant et, de proche en proche, jusqu'à l'oreille.
• La vibration est un phénomène d'onde de la nature.
• Cette propagation est similaire aux ronds créés par un caillou jeté dans l'eau, où la hauteur de l'eau change, ou à la pression de l'air changeant la pression de l'air adjacente.
• Une corde vibrante suffisamment tendue fait vibrer l'air environnant et produit un son, mais ce son est faible ; les instruments à cordes utilisent des résonateurs (table d'harmonie) pour amplifier le son.
• L'amplitude de l'onde sur une corde fixée aux deux extrémités varie, formant un fuseau avec deux nœuds aux extrémités et un ventre au centre.
• Sur une guitare, la tête supporte les chevilles pour régler la tension des cordes, le manche permet d'obtenir la longueur précise de la corde vibrante, et le chevalet transmet les vibrations de la corde à la table d'harmonie sans déformation fréquentielle
• La table d'harmonie, percée d'une rosace, projette le son contenu dans la caisse de résonance.
• L'épaisseur, la longueur, et la tension de la corde influencent la gravité du son : les cordes épaisses produisent des sons graves, les cordes longues des sons plus graves, et les cordes tendues des sons aigus.
• Les musiciens réduisent la longueur de la corde en appuyant sur le manche pour produire des sons plus aigus. Lorsque l'on pince la corde, celle-ci vibre avec une vitesse V = √(F/μ), où F est la tension et μ la masse linéique.
• Dans une corde, les ondes stationnaires s'établissent si la longueur L est un multiple de la demi-longueur d'onde λ; la fréquence est inversement proportionnelle à la longueur d'onde selon la formule λ = c/f.
• La formule devient λ = V/f dans le cas de la corde, où V est la vitesse de vibration mécanique. Le mouvement des cordes de guitare est représenté par un seul fuseau, mais plusieurs fuseaux peuvent se produire lorsque la corde est pincée.
• Les ondes stationnaires ont un nombre entier de ventres, et chaque onde émet un son différent parce qu'elles n'ont pas la même fréquence.
• Plus une onde est petite, plus sa fréquence est élevée.
• Une onde avec deux ventres est deux fois plus aiguë qu'une onde avec un ventre; en notant f la fondamentale, l'onde à n ventres a pour fréquence n fois f.
• On n'entend qu'une seule note, car les harmoniques colorent la fondamentale, donnant un timbre au son ; elles sont synchronisées en temps et en intensité avec la fondamentale.
• Les harmoniques sont des multiples entiers de la fréquence fondamentale.

Théorie du Traitement du Signal : Série de Fourier

• Les sons ou vibrations entre deux points ont une fréquence inversement proportionnelle à la longueur du fuseau.
• Avec L la longueur de la corde et λ/2=L, la fréquence est définie par f=V/(2L), où V est la célérité.
• Le signal le long de la corde présente des nœuds et plusieurs fuseaux d'amplitudes différentes ; l'amplitude est maximale avant de décroître et de s'annuler.
• L'amplitude de l'onde générée par un diapason évolue en fonction de la distance et du temps.
• On représente l'amplitude de l'onde à une distance d en fonction du temps avec sa réponse fréquentielle.
• La réponse temporelle et fréquentielle de signaux, observée via un microphone, est nulle en cas d'atténuation.
• Le diapason présente un signal sinusoïdal de 317,4 Hz, facilement observable sur un oscilloscope, avec un signal à 634 Hz sur l'analyseur de spectre.
• Le signal temporel d'une guitare est plus complexe et périodique à environ 1,25 ms, avec une fréquence fondamentale de 769 Hz et des harmoniques sur l'analyseur de spectre.

Analyseur de Spectre

• Un analyseur de spectre représente un signal en fonction de sa fréquence, tandis qu'un oscilloscope représente l'amplitude d'un signal en fonction du temps.
• Un signal fourni par EDF à 50 Hz se visualise comme une courbe sinusoïdale de 220 V.
• Sur un analyseur de spectre, ce signal apparaît comme une raie à 50 Hz, indiquant que la seule amplitude non nulle est à cette fréquence.
• La représentation temporelle et spectrale d'un signal composé de trois sinusoïdes montre l'amplitude et la fréquence de chaque sinusoïde, ainsi que le signal complexe résultant.
• Le signal à 200 Hz est la fondamentale, tandis que les fréquences à 400 Hz et 600 Hz sont les harmoniques.
• L'analyseur de spectre représente donc l'amplitude de chaque fréquence dans un signal comme une somme de signaux sinusoïdaux.
• Les représentations temporelles et spectrales donnent les mêmes informations, mais la représentation spectrale montre le signal en fonction de la fréquence, et à l'inverse, la temporelle en fonction du temps.
• Le signal temporel peut être exprimé comme une somme de signaux sinusoïdaux.

Chapitre 2 : Traitement du Signal - Classification des Signaux

• Les signaux sont classifiés en déterministes (périodiques ou non) et aléatoires (stationnaires ou non).
• Les signaux déterministes peuvent être décrits par une fonction mathématique.
• Les signaux aléatoires ont une évolution imprévisible, bien que caractérisables mathématiquement.
• Le chapitre fournit des rappels sur les signaux périodiques, définit et étudie les signaux usuels comme les portes, rampes, échelons, et impulsions, et examine la puissance et l'énergie d'un signal.
• Les premières applications du traitement du signal visaient à extraire un signal dans un environnement bruité, nécessitant une connaissance du signal à mesurer et du bruit.
• La classification principale distingue les signaux déterministes, dont l'évolution est prévisible grâce à une fonction mathématique (sinusoïdal, rampe, échelon, impulsion), qui peuvent être périodiques ou non, des signaux aléatoires.
• Les signaux aléatoires sont imprévisibles dans leur évolution mais peuvent être caractérisés mathématiquement, sans pouvoir prédire leur valeur à un instant donné, et peuvent être stationnaires ou non.
• Les signaux réels sont presque toujours aléatoires à cause du bruit, mais un signal aléatoire n'est pas forcément du bruit, et le bruit peut être déterministe, par exemple, le bruit de 50 Hz lors de transmissions CPL.
• Un signal temporel est déterministe s'il est défini par une équation, permettant de prédire sa valeur à tout moment.
  • Les signaux déterministes périodiques incluent le sinus à la fréquence fp, le triangle périodisé, et le carré avec des valeurs VM alternant sur des demi-périodes.
• Un signal déterministe f est périodique de période Tp si f(t)=f(t+Tp), et tout signal périodique de période Tp a une fréquence fondamentale fp=1/Tp.
• Les signaux déterministes n'ont pas besoin d'être périodiques, comme l'impulsion de Dirac, l'échelon de Heavyside, et la fenêtre ou porte.

Signaux Déterministes

• L'échelon ou indice unité (fonction de Heavyside) simule un changement brusque de régime de fonctionnement.
• Il est noté Γ(t), et vaut 1 si t>0, et 0 si t<0.
• La fenêtre, porte, ou impulsion permet de selectionner un signal
  • Elle est notée Ir de largeur T, vaut 1 si -T/2 < t <T/2, et 0 sinon.
• Rmq : Πt(t)=Γ(t-T/2)-Γ(t+T/2)

Impulsions

• L'impulsion de Dirac δ est singulière et étudiée comme la limite d'une fonction Aɛ(t) quand ɛ tend vers 0.
• L'impulsion de Dirac est définie comme la limite de fonctions où le paramètre ε tend vers 0 :
  • δ (t) = lim Aɛ(t)
• L'étude de l'impulsion de Dirac est issue de la théorie des distributions.
• Par convention, on représente δ(t-t₀) par une flèche d'unité 1, correspondant à l'aire du dirac.
• Les caractéristiques de la fonction du dirac sont :
• δ(t) = ∞ si t = 0 et δ(t) = 0 sinon
• ∫−∞∞δ(t)dt = 1

Moyenne et Puissance

• Par définition, un signal déterministe est connu, soit u, la fonction du signal déterministe comme u(t) = 1+ sin(2πft).
• La moyenne est l'intégrale de la fonction sur une période, soit m = (1/T) ∫0Tu(t)dt.
• La puissance ou valeur efficace Sjeff est l'intégrale de la fonction au carré soit Seff2 = P = (1/T) ∫0Tu2(t)dt.
• La puissance P en Watt correspond à l'énergie (Joule) fournie à une résistance sur une seconde. Donc 1 Watt = 1 Joule/seconde

Cas Général : Puissance et Energie

• La puissance est exprimée en Watt correspond à l'Energie fournie (Joule) à la résistance sur une durée d'une seconde.
  • Rmq: 1 Watt heure = 1 watt pendant une heure = 3600 joules.
• Rmq: 1 Watt heure = 1 watt pendant une heure = 3600 joules.
• La résistance est normalisée à 1 Ohm, donc l'énergie instantanée est E(t)=u²(t)
• On doit calculer L'énergie sur un laps de temps =t2-t1 par,
  • L'énergie : E = ∫t1t2u2(t)dt
• Puissance moyenne :
  • P = 1/ΔT ∫t1t2 u2(t)dt
• Énergie Totale :
  • E = ∫-∞∞ u2(t)dt
• Puissance moyenne totale
  • P = lim T-> ∞ 1/T

Signaux Aléatoires

• Un signal est dit aléatoire si la connaissance du signal à l'instant t ne permet pas de préjuger de la valeur à l'instant t+Δt.
• Le signal est modélisé par ses caractéristiques statistiques
• Un signal aléatoire peut être stationnaire ou non stationnaire.
• Il est stationnaire si ses caractéristiques aléatoires ne sont pas modifiés au cours du temps.
• Pour le lancer de « dé » :
• Lorsqu'on lance un dé 6 faces, on a 1/6 d'obtenir un ‘6'. - La probabilité est de 1/6 pour chaque expérience - Chaque valeur a une probabilité uniforme p - Soit m , les différentes valeurs du dé ( m prend pour valeur {1, 2, 3, 4, 5, 6}). - En moyenne, on obtient m = 1/N ∑N1 mk*Pk : ou Σ signifie somme, N est le nombre de lancer, mk est le résultat et pk=1/6 la probabilité.
• Exemple du bruit de mesure gaussien :
  • Lors de l'acquisition, le signal est affecté d'un bruit de mesure.
  • La courbe densité de fonction représente en ordonnée la probabilité d'avoir un bruit (dans cet exemple, on a choisi d'illustrer par un bruit de mesure) dont l'amplitude est donnée en ordonnée
  • Le signal est autant positif que négatif, donc la valeur moyenne est nulle, il s'agit d'un signal gaussien : c'est un bruit blanc.
• Soit un signal aléatoire, définit par sa fonction de probabilité p(x) et des valeurs x que peut prendre ce signal :
  • L'amplitude de la probabilité est associée par p(x)
• Definir la moyenne ou l'ésperance mathématique : m =∫−∞∞xp(x)dx
• la variance, en mesurant l'écart au carré de la variation du signal : V = ∫−∞∞(x-m)2p(x)dx.
• la variance est égale à la puissance du signal dans le cas de bruit de mesure

Unités de Puissance

• On a défini la puissance que le signal soit déterministe ou aléatoire.
• La puissance calculée consiste, dans les deux cas à mesurer l'amplitude au carrée du signal.
• La puissance s'exprime en Watt, il s'agit d'une tension au carré sur une résistance de 1 Ohm.
• On introduit les notions de dBw pour des raisons de simplicité de calcul. - 1 dBw = 10 * log10(1 Watt)
  • avec Pdb,w représente la puissance en dBw et Pw la puissance en Watt, log10 est le logarithme en base 10.
• La notation dBw est fausse :
  • on parle de dB
  • le dB est utilisé pour spécifier un rapport de Puissance ou de tension (donc pas d'unité) Quand on parle d'un gain en puissance de 3dB cela signifie que la puissance est multipliée par 2 (sans unité).
• En exemple téléphonique
• une ligne téléphonique atténue le signal de moitié tous les kms,
• Le signal émis par le centrale téléphonique est de 1 Watt
• la puissance reçue au bout de 8 kms est = -24dBw (pour 1 watt émis) ou -24 dB On sait aussi que la puissance P est proportionnelle à la tension au carré (résistance normalisée) pDB = 10log( Pw) = 10Log(V² / R) = 20 Log (V) –Attention à ne pas confondre !!

Par conséquent passage en dBm Dans le cadre des télécoms, l’amplitude des signaux est très faible, en se référant à mV et puissance en mW : on introduit dBm : p dBm = 10Log (PmW /1mW) = 10Log (PmW)

• Démonstration : PdB = PdBm – 30dB* Soit un signal de Puissance 5dBm que l’on amplifie avec un rapport de 3dB, on récupère un signal de 5dBm + 3 dB = 8dBm

Classification de signaux

• Les signaux physiques ont une existence réelle ,
  • la mesure d’un signal physique peut se représenter par une fonction S(t) qui varie au cours du temps:
• Ce signal qui à une existence propre possède les caractéristiques suivantes:  
  • energie bornée
  • amplitude bornée
  • continu temporellelent
  • Caussal S(t) = 0 Si t<0 le signal n’existe que pour les t>0
  • Spectre bandé  En théorie, pour simplifier les calculs on introduit des signaux qui ont l’une ou plusieur caractéristiques suivantes: 
  • Energie infinie discontinue non Caussal spectre infini valeurs complexes
  • Nous verrons au chapitre 2 l’introduction de signaux qui n’existe pas physiquement (ex : Dyrakc) et le spectre de signaux complexes prenant à ce compte les fréquences négative

Ainsi, on peut définir différents modes de classification:  - Représentation temporelle des signaux - Déterminisme ou certain : déduit par un modèle mathématique - périodique (réels ou complexes) - Non périodique (pseudo périodique transitoire chaotiques) - Signaux Aléatoires : évolution imprévisible mais - Description mathématique connu  - Signaux stationnaires : ergodiques ou non ergodiques lorsque la valeur moyenne est indépendante du temps l : ils sont dit (Ergodiques, Siel de faire une moyenne stastistique c’était instante donne  s/plusieures echantillons   ou une moyenne tellement En conscequence, si la Classification energetique, la puissance est P(t)= U(t)

• L’énergie dissipée sur un intervalle = [t1 ,t2] , avec t1<t2, s’écritE=∫t1t2 u²(t) dt* 

• La puissance moyenne P (t1,t2) mesure en watt, s’exprime sous la forme :

• P= 1/ {t2-t1}  ∫ t2-t1   u²(t) dt*  == Par extension on appelle l’énergie E et la puissance moyenne Ps signal S(t) calculer sur les intervalles [t1,t2], Les valeurs quadratiques suivantes: 

• E(t1,t2)=∫t1t2 s²(t) dt       Ps(t1,t2)   =   1 (∫t1t2 s²(t) dt) = E (t1,t2)*  == Par extension on appelle l’énergie E et la puissance moyenne Ps d’un signal S(t) Calculé sur une inter vales [t1,t2], Les valeurs quadratiques suivantes: **

• → E(t 1,t 2- t 1 ) t 2 - tt 1 .** = Si on suppose que la limite T1 → 0 vers l’infini W s∫-00+00 S ²(t)dt et Ps = Lim T→ 00 1 ∫-τ ²(t)dt . Si c’est un signal représenté para variable complxe, les définitions sont les mêmes  En remplaçant S ²(t) par S(t)

• S*(t) = (S(t))² ( OU ) S(t) est le complexe conjugue S(t) = 〖Tang〗 (3t) = I Cos(2t) ==Les signaux à energies finie  :  ws =Lim ∫−∞+∞ S ²(t) dt <∞<∞= les signaux a puissance Moyenne finie : P= Lim -t∫-T/2t22 S²(t)dt <∞

Rmq: 1 : un signal à puissance moyenne finie non nulle a l’énergie totale infinie (2) UN signal à énergie totale est finie à UNE puissance moyenne nulle

• Classifications sectorales :

V) Classification Sectorale Un signal peut être classé suivant la distribution de son énergie ou de sa puissance  en fonction des fréquences. Le domaine de fréquences occupées par son spectre s’appelle :  LF =LF MaximumLF minimum en Hz.

•  Il est préférable d commencer la largeur de la bande, par apport à la fréquence moyenne de la bande FMEY =(LF Maximum+FM Minimum/2 On définit donc,  Les signaux a bande étroits = FM Moyenne = 0 ou 1 Les signaux à grande largueur, avec Fmax
• lorsque la fréquence du signal devient très grande ( >thz=12hz), la largeur n’est pas  en compte

•V.4 SIGNAS CONTINUE ET DISCRET un Signal continue, représente un signal analogique  qui varient continûmes avec le temps (les  signaux (avec le temps). Le temps est un paramètre important de ce comparé : = 1 ou échantillonnee  = 1 signal du temps discret. Mais, on peut aussi comparer l’amplitude du signal ,second,que l’amplitude ==continues dans le temps (Un signal continue dans le temps signent don ne peut tracer la fonction son lever le crion)

Chapitre 3 : Traitement du Signal - Analyse Spectrale et Série de Fourier

• Ce chapitre de 3 heures de cours et 3 heures de TD porte sur le calcul des séries et transformée de Fourier, ainsi que sur le spectre des signaux usuels.

Introduction aux séries de Fourier

• Les séries de Fourier permettent de passer du domaine temporel au domaine fréquentiel pour les signaux périodiques ; sinon, la Transformée de Fourier est utilisée.
• Un analyseur de spectre représente un signal comme une sommation de signaux à des fréquences différentes.
  • La décomposition en série de Fourier permet de représenter un signal comme une somme infinie de signaux sinusoïdaux et cosinusoïdaux.
• Soit t->x(t) un signal périodique de période T, on a l'équation :
• x(1)= Σ-1 a, cos(no, t) + b sine (no, t)
• Les coefficients an et bn sont appelés les coefficients de la série de Fourier, où ωp=2πfp est la pulsation avec fp=1/T. Des indices différents sont à noter en raison de la période.
• Cette équation à pour spectre cosinus et sinus
• an est le composant continue. fx(t)dt(eq 3.2) x(2r Font)dt, b== Les Coefficients de Séries de Fourier

o_On observe spectre analyseur :v= a n + an pour l’A analyse d’un spectre d’une de      frequnces f p  == Tplla fequence fondamentale  .Vn est +ve mais aou b peut -ve

Propriétés

1. AO=TENSION moyenne à frequentz de A — la moyenne de L analysuer spectrum.
2. Vs Signale Avec une composante continue non null,presenter à la ligne en frequenceo = à la frequences Vn est l amplitude de 1 à la  fréquence fondamentale et n=1 en factorisais parabole équation XU A, Aib, A1B cos2n + sin2n On Note Que Les signaux à énergie non nulle, se classifie de a les puissance infini, à une moyenne puissance finis

• Classifications sectorales :

V) Classification sectorales Un signal peut être classé suivant la distribution de son énergie ou de sa puissance  en fonction des fréquences. Le domaine de fréquences occupées par son spectre s’appelle : 

• Pour un signal périodique dé composer en sinus et sinus, la représentation de spectraux  dans deux signes
• Limites : L Analyse spectraux ne peut dé déduire enModule
• Démonstration : PdB = PdBm – 30dB* Soit un signal de Puissance 5dBm que l’on amplifie avec un rapport de 3dB, on récupère un signal de 5dBm + 3 dB = 8dBm

Représentation de Dirac

Dans le chaptre 2, on dé finissant par Dyrahc:8 est égal à t-tolil faut unité de et l’air est égal  avec fonctions

La fonction de diac est définie frequence et d’amplitude EN effet 8 (f.) : L e série de fourrées constituées en plusieurs raies, s’avère à la consitueé Dyrahc à amplitude Veau 1. Mathématiquement; les modules des spectres sécrit :Xf=vo- V4 of f-nf.(3.4) Dans plusieurs cas, Il faut être conscient ce qu’un temporary signal s’écrit: Vt Σv 2. nf  + φ

Le r regle de la série de Fourier on utilise en C Pour déterminer les séries de fournées POUR Les Sinus :on retenant est à dé terniner avec plusieurs équations qui s +étendent l’en math (  nous les inter et en representation Spirales, uni latérale et en bio latéral) ;POur cela , on utilise une Signale complece

Représentation spectrale et latéral avec une decomposition en séries pour représenter un signal

Paasge en conplexe

• En applicant et en Euleus, On peut ecrire expresse de la mainière suivantes x= -jexp 2n +(4)- j.exp (2n F. N\

Les fonction sont déterminées de à  ∞ - Avec J=1 pour n>o - an jbn   4:  Les coefficients

An sont Les série calcule pour L12 812 L´intervale est F :2=T1(e J2n)dt Extension DELA séries de Fourire tranfomrer DE .fourrire

Avec continue à périodiser dans le temps p. présente un  spectre disquette dont les Raes sont espaces PARDES MULTIPLYES De à P

PLUS La période plus  1 espaces  Fré quenz  à  est réduit Lors quil es’t passés à périocdic , on peux supposé que se L à périodique L à finis 1 d’infinis. Sinon  à

En Con se qu’on peut dire l’intégrale à les mêmes series qu : limtcn= lim Jxl(1) en - T →00 T →00 T Partir de xlton peut calculer les spectres des signaux en cas

XI (F) - Sxl(1)en 2n.t Dt, Mais pas d4passer domaine fréquente au temporal de Fourie .ons 2 .un signals XLT J en .t Df(T( Il S AGIS   DELA tranforme DELA Fourie inverse de N .

Noté bin signe+ devront Le complet sur la relation les singes avec des équations de la transformer et la variable qu’on integre L étape   échantillonages avec .Kt  Entier , Le 1 au signal AUX intant à sont

Par conséquent, on doit d re  les spectre AutouraDe F , n entier Relative !!!

Pour Evite 3

• On vérifie Avec La fréquences , pour éviter le replièrent spectrale ce qui donne code

Chapitre 4 : Traitement du Signal - Convolution et Echantillonnage

• Ce chapitre, d'une durée de 1h30 de cours et 1h30 de TD, couvre les propriétés des fonctions de convolution, le peigne de Dirac, et l'échantillonnage avec la condition de Shannon.

Introduction

• Les technologies actuelles utilisent des calculateurs numériques, discrétisant le signal temporel et prélevant l'amplitude du signal à des instants réguliers, ce qui correspond à l'échantillonnage.
• L'échantillonnage consiste à prélever périodiquement l'amplitude du signal x(t).
• Un signal périodique présente un spectre discret, tandis qu'un signal non périodique présente un spectre continu.
• Un signal non périodique mais échantillonné à la fréquence Fe présente un spectre périodique de « période » Fe (une fréquence).
• L'opération d'échantillonnage consiste à prélever l'amplitude du signal à tous les instants Te, ce qui revient à multiplier le signal à échantillonner avec une série de Dirac.
• La série de Dirac, constituée de diracs espacés de Te, est appelée un peigne de Dirac, défini par p(t) = ∑ δ(t - nTe).
• On obtient ainsi un signal échantillonné xe(t)=x(t).p(t)= ∑ x(t)δ(t-nTe).
• La question est de déterminer le spectre Xɛ(f) de xe(t), ce qui est le fil conducteur de ce chapitre.Le fil conducteur de ce chapitre est la mesure du spectre.### Convolution
• Prenons l'exemple d'une pièce résonnante, (pensez à une église).
  • les parois et la forme permettent de « conduire » le son et l'on perçoit les réverbérations.
• Prenant l'exemple d'une chambre d'echo => Je reçois avec (1-lech) + as(-rech)
• Si l'équ ation l est le m can a 1 =s (8 a (-rech) pour tout l •II.2 Fonction  de  convolution : = Définition et Pprietes

Y.t. =XTHIL, équation des canal il S   AGIS du produit la concolutian del à h= la tranforme de Fureur avec fonctions =h

Lorsqu’on étudie de filtrage L en effet un il un signal sinus à une grande Donnee et onde la mesure à cette équ à On augmente ensuite la fréquences,on ré comment à L. Les traçant si la characteriqtique du fréquence est la H0

• Soit HTI la tranfere de a : filtre , on récupère un . Signal dé fini par Yl =x(t)HL= 1htlxl-aL*  il S’ AGIS De convolution entre le centre es la période il à l entrée

Explorez les principes des signaux et de l'acoustique. Découvrez les résonateurs dans les instruments à cordes et comment les musiciens manipulent la hauteur des notes. Approfondissez les concepts de signaux déterministes et aléatoires.