Séries: Définition et Convergence

Définition et types de séries

• Une série est une somme de termes dans une suite. Elle peut être finie ou infinie.
• Série finie : La somme d'un nombre fini de termes.
• Série infinie : La somme d'un nombre infini de termes. Cette somme peut converger (avoir une limite finie) ou diverger (ne pas avoir une limite finie).

Convergence des séries

• Une série converge si la suite des sommes partielles converge.
• Une somme partielle est la somme des n premiers termes de la série.
• Si la suite des sommes partielles ne converge pas, la série diverge.
• Déterminer la convergence ou la divergence peut être complexe et implique divers tests.

Tests de séries courants

• Série géométrique : Une série de la forme a + ar + ar² + ar³ +... converge si |r| < 1 et diverge si |r| ≥ 1. La somme d'une série géométrique convergente est a / (1 - r).

• Série p : Une série de la forme 1/1^p + 1/2^p + 1/3^p +... converge si p > 1 et diverge si p ≤ 1.

• Test intégral : Si une fonction f(x) est positive, continue et décroissante pour x ≥ 1, alors la série Σ f(n) converge si et seulement si l'intégrale ∫₁^∞ f(x) dx converge.

• Test de comparaison : Utilisé pour comparer une série à une série convergente ou divergente connue. Si une série est plus petite qu'une série convergente, elle converge. Si une série est plus grande qu'une série divergente, elle diverge.

Série alternée

• Une série alternée a des termes qui alternent de signe.
• Le test de la série alternée fournit un critère pour la convergence des séries alternées.
• Test de la série alternée : Si une série alternée satisfait aux conditions suivantes, elle converge :
  • Les valeurs absolues des termes, |a_n|, doivent former une suite décroissante.
  • La limite des termes, lim (n → ∞) a_n, doit être nulle.

Convergence absolue et conditionnelle

• Convergence absolue : Si la série Σ |a_n| converge, alors la série Σ a_n converge aussi.
• Convergence conditionnelle : Si Σ a_n converge, mais Σ |a_n| diverge, la série converge conditionnellement.

Série de puissances

• Une série de puissances est une série infinie de la forme Σ_n=0^∞ a_n (x - c)ⁿ.
• La série a un rayon de convergence, R, qui détermine les valeurs de 'x' pour lesquelles la série converge.
• Les valeurs de x en dehors de l'intervalle de convergence divergeront.

Série de Taylor

• Une série de Taylor représente une fonction comme une somme infinie de termes.
• Les termes individuels de la série de Taylor impliquent des dérivées de la fonction. Elle est centrée sur une valeur particulière (généralement zéro).
• Une série de Taylor centrée en 'a' : Σ_n=0^∞ f⁽ⁿ⁾(a) (x - a)ⁿ / n!
  • Pour 'c' = 0, la série de Taylor devient la série de Maclaurin.

Applications des séries

• Calculer des valeurs approximatives de fonctions : Par exemple, approximer les fonctions exponentielles.
• Résoudre des équations différentielles pour trouver des solutions sous forme de série.
• Analyser le comportement des fonctions pour différentes entrées.
• Modéliser des phénomènes physiques où un nombre infini d'influences sont prises en compte.
• Approximer les fonctions pour des solutions plus rapides ou plus facilement calculables aux problèmes.