Séries de Fourier et Coefficients
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Questions and Answers

Quels sont les coefficients $b_n$ si $s(t)$ est pair?

  • Négatifs
  • Positifs
  • Nuls (correct)
  • Non nuls
  • Quelle est la formule pour $a_n$?

    $a_n = \frac{2}{T_s} \int_{t_0}^{t_0+T_s} s(t) \cos(n\omega_s t)dt$

    Quelle est la valeur de $t_0$ dans l'intégrale pour $a_n$?

    $t_0 = -\frac{T_s}{2}$

    Pour quelle intégrale la valeur $a_n$ est-elle équivalente?

    <p>$a_n = \frac{4}{T_s} \int_{0}^{\frac{T_s}{2}} s(t) \cos(n\omega_s t)dt$</p> Signup and view all the answers

    Quelle est l'expression de $s(t)$ pour $t , \in , [0, 1]$?

    <p>$s(t) = -\frac{45m}{T_s}t + Sm$</p> Signup and view all the answers

    Quelle est l'importance de la fonction $cos(n\omega_s t)$ dans le calcul de $a_n$?

    <p>Elle permet d'effectuer l'intégration de la fonction $s(t)$ à l'aide d'une base orthogonale.</p> Signup and view all the answers

    Quel est le terme du calcul qui implique une intégrale de $t \cos(n\omega_s t)$?

    <p>$\frac{-16Sm}{T_s^2} \int_{0}^{\frac{T_s}{2}} t \cos(n\omega_s t) dt$</p> Signup and view all the answers

    Study Notes

    Analyse des Coefficients de Fourier

    • La fonction ( s(t) ) est paire, ce qui implique que tous les coefficients ( b_n ) sont nuls dans la série de Fourier.
    • Les coefficients ( a_n ) de Fourier pour une fonction ( s(t) ) sont calculés par l'intégrale : [ a_n = \frac{2}{T_s} \int_{t_0}^{t_0+T_s} s(t) \cos(n \omega_s t) dt ]

    Définition des Limites d'Intégration

    • En prenant ( t_0 = -\frac{T_s}{2} ), l'intégrale devient : [ a_n = \frac{2}{T_s} \int_{-\frac{T_s}{2}}^{\frac{T_s}{2}} s(t) \cos(n \omega_s t) dt ]
    • Par la symétrie de ( s(t) ), cela se simplifie à : [ a_n = \frac{4}{T_s} \int_{0}^{\frac{T_s}{2}} s(t) \cos(n \omega_s t) dt ]

    Expression de la Fonction ( s(t) )

    • Pour ( t \in [0, 1] ), la fonction est définie comme : [ s(t) = -\frac{45m}{T_s}t + Sm ]

    Calcul des Coefficients ( a_n )

    • L'expression pour ( a_n ) devient : [ a_n = \frac{4}{T_s} \int_{0}^{\frac{T_s}{2}} \left(-\frac{45m}{T_s}t + Sm\right) \cos(n \omega_s t) dt ]
    • Ce qui se décompose en deux intégrales : [ a_n = \frac{-16Sm}{T_s^2} \int_{0}^{\frac{T_s}{2}} t \cos(n \omega_s t) dt + \frac{4Sm}{T_s} \int_{0}^{\frac{T_s}{2}} \cos(n \omega_s t) dt ]

    Évaluation des Intégrales

    • La deuxième intégrale s'évalue comme suit : [ \int_{0}^{\frac{T_s}{2}} \cos(n \omega_s t) dt = \left[\frac{1}{n \omega_s} \sin(n \omega_s t)\right]_{0}^{\frac{T_s}{2}} ]
    • Cela donne : [ \frac{1}{n \omega_s} \left( \sin(n \pi) - \sin(0) \right) = 0 \quad \text{(puisque } \sin(n \pi) = 0 \text{)} ]

    Résultat Final de ( a_n )

    • En utilisant l'intégrale de ( t \cos(n \omega_s t) ), on trouve : [ \int_{0}^{\frac{T_s}{2}} t \cos(n \omega_s t) dt = \left[\frac{t}{n \omega_s} \sin(n \omega_s t)\right]{0}^{\frac{T_s}{2}} - \int{0}^{\frac{T_s}{2}} \frac{1}{n \omega_s} \sin(n \omega_s t) dt ]
    • Cela contribue à une compréhension approfondie de la décomposition en série de Fourier pour des fonctions symétriques localisées dans le temps.

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    Description

    Ce quiz aborde les séries de Fourier et le calcul des coefficients d'une fonction paire. Il inclut des exemples d'intégration et des aspects pratiques du calcul des coefficients pour les fonctions définies par segments. Testez vos connaissances sur les propriétés des séries de Fourier et leur application dans le contexte des fonctions continues.

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