Séries de Fourier et Coefficients

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Questions and Answers

Quels sont les coefficients $b_n$ si $s(t)$ est pair?

  • Négatifs
  • Positifs
  • Nuls (correct)
  • Non nuls

Quelle est la formule pour $a_n$?

$a_n = \frac{2}{T_s} \int_{t_0}^{t_0+T_s} s(t) \cos(n\omega_s t)dt$

Quelle est la valeur de $t_0$ dans l'intégrale pour $a_n$?

$t_0 = -\frac{T_s}{2}$

Pour quelle intégrale la valeur $a_n$ est-elle équivalente?

<p>$a_n = \frac{4}{T_s} \int_{0}^{\frac{T_s}{2}} s(t) \cos(n\omega_s t)dt$ (D)</p> Signup and view all the answers

Quelle est l'expression de $s(t)$ pour $t , \in , [0, 1]$?

<p>$s(t) = -\frac{45m}{T_s}t + Sm$</p> Signup and view all the answers

Quelle est l'importance de la fonction $cos(n\omega_s t)$ dans le calcul de $a_n$?

<p>Elle permet d'effectuer l'intégration de la fonction $s(t)$ à l'aide d'une base orthogonale.</p> Signup and view all the answers

Quel est le terme du calcul qui implique une intégrale de $t \cos(n\omega_s t)$?

<p>$\frac{-16Sm}{T_s^2} \int_{0}^{\frac{T_s}{2}} t \cos(n\omega_s t) dt$ (B)</p> Signup and view all the answers

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Study Notes

Analyse des Coefficients de Fourier

  • La fonction ( s(t) ) est paire, ce qui implique que tous les coefficients ( b_n ) sont nuls dans la série de Fourier.
  • Les coefficients ( a_n ) de Fourier pour une fonction ( s(t) ) sont calculés par l'intégrale : [ a_n = \frac{2}{T_s} \int_{t_0}^{t_0+T_s} s(t) \cos(n \omega_s t) dt ]

Définition des Limites d'Intégration

  • En prenant ( t_0 = -\frac{T_s}{2} ), l'intégrale devient : [ a_n = \frac{2}{T_s} \int_{-\frac{T_s}{2}}^{\frac{T_s}{2}} s(t) \cos(n \omega_s t) dt ]
  • Par la symétrie de ( s(t) ), cela se simplifie à : [ a_n = \frac{4}{T_s} \int_{0}^{\frac{T_s}{2}} s(t) \cos(n \omega_s t) dt ]

Expression de la Fonction ( s(t) )

  • Pour ( t \in [0, 1] ), la fonction est définie comme : [ s(t) = -\frac{45m}{T_s}t + Sm ]

Calcul des Coefficients ( a_n )

  • L'expression pour ( a_n ) devient : [ a_n = \frac{4}{T_s} \int_{0}^{\frac{T_s}{2}} \left(-\frac{45m}{T_s}t + Sm\right) \cos(n \omega_s t) dt ]
  • Ce qui se décompose en deux intégrales : [ a_n = \frac{-16Sm}{T_s^2} \int_{0}^{\frac{T_s}{2}} t \cos(n \omega_s t) dt + \frac{4Sm}{T_s} \int_{0}^{\frac{T_s}{2}} \cos(n \omega_s t) dt ]

Évaluation des Intégrales

  • La deuxième intégrale s'évalue comme suit : [ \int_{0}^{\frac{T_s}{2}} \cos(n \omega_s t) dt = \left[\frac{1}{n \omega_s} \sin(n \omega_s t)\right]_{0}^{\frac{T_s}{2}} ]
  • Cela donne : [ \frac{1}{n \omega_s} \left( \sin(n \pi) - \sin(0) \right) = 0 \quad \text{(puisque } \sin(n \pi) = 0 \text{)} ]

Résultat Final de ( a_n )

  • En utilisant l'intégrale de ( t \cos(n \omega_s t) ), on trouve : [ \int_{0}^{\frac{T_s}{2}} t \cos(n \omega_s t) dt = \left[\frac{t}{n \omega_s} \sin(n \omega_s t)\right]{0}^{\frac{T_s}{2}} - \int{0}^{\frac{T_s}{2}} \frac{1}{n \omega_s} \sin(n \omega_s t) dt ]
  • Cela contribue à une compréhension approfondie de la décomposition en série de Fourier pour des fonctions symétriques localisées dans le temps.

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