Séries de Fourier et Coefficients

Analyse des Coefficients de Fourier

• La fonction ( s(t) ) est paire, ce qui implique que tous les coefficients ( b_n ) sont nuls dans la série de Fourier.
• Les coefficients ( a_n ) de Fourier pour une fonction ( s(t) ) sont calculés par l'intégrale : [ a_n = \frac{2}{T_s} \int_{t_0}^{t_0+T_s} s(t) \cos(n \omega_s t) dt ]

Définition des Limites d'Intégration

• En prenant ( t_0 = -\frac{T_s}{2} ), l'intégrale devient : [ a_n = \frac{2}{T_s} \int_{-\frac{T_s}{2}}^{\frac{T_s}{2}} s(t) \cos(n \omega_s t) dt ]
• Par la symétrie de ( s(t) ), cela se simplifie à : [ a_n = \frac{4}{T_s} \int_{0}^{\frac{T_s}{2}} s(t) \cos(n \omega_s t) dt ]

Expression de la Fonction ( s(t) )

• Pour ( t \in [0, 1] ), la fonction est définie comme : [ s(t) = -\frac{45m}{T_s}t + Sm ]

Calcul des Coefficients ( a_n )

• L'expression pour ( a_n ) devient : [ a_n = \frac{4}{T_s} \int_{0}^{\frac{T_s}{2}} \left(-\frac{45m}{T_s}t + Sm\right) \cos(n \omega_s t) dt ]
• Ce qui se décompose en deux intégrales : [ a_n = \frac{-16Sm}{T_s^2} \int_{0}^{\frac{T_s}{2}} t \cos(n \omega_s t) dt + \frac{4Sm}{T_s} \int_{0}^{\frac{T_s}{2}} \cos(n \omega_s t) dt ]

Évaluation des Intégrales

• La deuxième intégrale s'évalue comme suit : [ \int_{0}^{\frac{T_s}{2}} \cos(n \omega_s t) dt = \left[\frac{1}{n \omega_s} \sin(n \omega_s t)\right]_{0}^{\frac{T_s}{2}} ]
• Cela donne : [ \frac{1}{n \omega_s} \left( \sin(n \pi) - \sin(0) \right) = 0 \quad \text{(puisque } \sin(n \pi) = 0 \text{)} ]

Résultat Final de ( a_n )

• En utilisant l'intégrale de ( t \cos(n \omega_s t) ), on trouve : [ \int_{0}^{\frac{T_s}{2}} t \cos(n \omega_s t) dt = \left[\frac{t}{n \omega_s} \sin(n \omega_s t)\right]{0}^{\frac{T_s}{2}} - \int{0}^{\frac{T_s}{2}} \frac{1}{n \omega_s} \sin(n \omega_s t) dt ]
• Cela contribue à une compréhension approfondie de la décomposition en série de Fourier pour des fonctions symétriques localisées dans le temps.