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Questions and Answers
Quels sont les coefficients $b_n$ si $s(t)$ est pair?
Quels sont les coefficients $b_n$ si $s(t)$ est pair?
- Négatifs
- Positifs
- Nuls (correct)
- Non nuls
Quelle est la formule pour $a_n$?
Quelle est la formule pour $a_n$?
$a_n = \frac{2}{T_s} \int_{t_0}^{t_0+T_s} s(t) \cos(n\omega_s t)dt$
Quelle est la valeur de $t_0$ dans l'intégrale pour $a_n$?
Quelle est la valeur de $t_0$ dans l'intégrale pour $a_n$?
$t_0 = -\frac{T_s}{2}$
Pour quelle intégrale la valeur $a_n$ est-elle équivalente?
Pour quelle intégrale la valeur $a_n$ est-elle équivalente?
Quelle est l'expression de $s(t)$ pour $t , \in , [0, 1]$?
Quelle est l'expression de $s(t)$ pour $t , \in , [0, 1]$?
Quelle est l'importance de la fonction $cos(n\omega_s t)$ dans le calcul de $a_n$?
Quelle est l'importance de la fonction $cos(n\omega_s t)$ dans le calcul de $a_n$?
Quel est le terme du calcul qui implique une intégrale de $t \cos(n\omega_s t)$?
Quel est le terme du calcul qui implique une intégrale de $t \cos(n\omega_s t)$?
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Study Notes
Analyse des Coefficients de Fourier
- La fonction ( s(t) ) est paire, ce qui implique que tous les coefficients ( b_n ) sont nuls dans la série de Fourier.
- Les coefficients ( a_n ) de Fourier pour une fonction ( s(t) ) sont calculés par l'intégrale : [ a_n = \frac{2}{T_s} \int_{t_0}^{t_0+T_s} s(t) \cos(n \omega_s t) dt ]
Définition des Limites d'Intégration
- En prenant ( t_0 = -\frac{T_s}{2} ), l'intégrale devient : [ a_n = \frac{2}{T_s} \int_{-\frac{T_s}{2}}^{\frac{T_s}{2}} s(t) \cos(n \omega_s t) dt ]
- Par la symétrie de ( s(t) ), cela se simplifie à : [ a_n = \frac{4}{T_s} \int_{0}^{\frac{T_s}{2}} s(t) \cos(n \omega_s t) dt ]
Expression de la Fonction ( s(t) )
- Pour ( t \in [0, 1] ), la fonction est définie comme : [ s(t) = -\frac{45m}{T_s}t + Sm ]
Calcul des Coefficients ( a_n )
- L'expression pour ( a_n ) devient : [ a_n = \frac{4}{T_s} \int_{0}^{\frac{T_s}{2}} \left(-\frac{45m}{T_s}t + Sm\right) \cos(n \omega_s t) dt ]
- Ce qui se décompose en deux intégrales : [ a_n = \frac{-16Sm}{T_s^2} \int_{0}^{\frac{T_s}{2}} t \cos(n \omega_s t) dt + \frac{4Sm}{T_s} \int_{0}^{\frac{T_s}{2}} \cos(n \omega_s t) dt ]
Évaluation des Intégrales
- La deuxième intégrale s'évalue comme suit : [ \int_{0}^{\frac{T_s}{2}} \cos(n \omega_s t) dt = \left[\frac{1}{n \omega_s} \sin(n \omega_s t)\right]_{0}^{\frac{T_s}{2}} ]
- Cela donne : [ \frac{1}{n \omega_s} \left( \sin(n \pi) - \sin(0) \right) = 0 \quad \text{(puisque } \sin(n \pi) = 0 \text{)} ]
Résultat Final de ( a_n )
- En utilisant l'intégrale de ( t \cos(n \omega_s t) ), on trouve : [ \int_{0}^{\frac{T_s}{2}} t \cos(n \omega_s t) dt = \left[\frac{t}{n \omega_s} \sin(n \omega_s t)\right]{0}^{\frac{T_s}{2}} - \int{0}^{\frac{T_s}{2}} \frac{1}{n \omega_s} \sin(n \omega_s t) dt ]
- Cela contribue à une compréhension approfondie de la décomposition en série de Fourier pour des fonctions symétriques localisées dans le temps.
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