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Questions and Answers
Quels sont les coefficients $b_n$ si $s(t)$ est pair?
Quelle est la formule pour $a_n$?
$a_n = \frac{2}{T_s} \int_{t_0}^{t_0+T_s} s(t) \cos(n\omega_s t)dt$
Quelle est la valeur de $t_0$ dans l'intégrale pour $a_n$?
$t_0 = -\frac{T_s}{2}$
Pour quelle intégrale la valeur $a_n$ est-elle équivalente?
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Quelle est l'expression de $s(t)$ pour $t , \in , [0, 1]$?
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Quelle est l'importance de la fonction $cos(n\omega_s t)$ dans le calcul de $a_n$?
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Quel est le terme du calcul qui implique une intégrale de $t \cos(n\omega_s t)$?
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Study Notes
Analyse des Coefficients de Fourier
- La fonction ( s(t) ) est paire, ce qui implique que tous les coefficients ( b_n ) sont nuls dans la série de Fourier.
- Les coefficients ( a_n ) de Fourier pour une fonction ( s(t) ) sont calculés par l'intégrale : [ a_n = \frac{2}{T_s} \int_{t_0}^{t_0+T_s} s(t) \cos(n \omega_s t) dt ]
Définition des Limites d'Intégration
- En prenant ( t_0 = -\frac{T_s}{2} ), l'intégrale devient : [ a_n = \frac{2}{T_s} \int_{-\frac{T_s}{2}}^{\frac{T_s}{2}} s(t) \cos(n \omega_s t) dt ]
- Par la symétrie de ( s(t) ), cela se simplifie à : [ a_n = \frac{4}{T_s} \int_{0}^{\frac{T_s}{2}} s(t) \cos(n \omega_s t) dt ]
Expression de la Fonction ( s(t) )
- Pour ( t \in [0, 1] ), la fonction est définie comme : [ s(t) = -\frac{45m}{T_s}t + Sm ]
Calcul des Coefficients ( a_n )
- L'expression pour ( a_n ) devient : [ a_n = \frac{4}{T_s} \int_{0}^{\frac{T_s}{2}} \left(-\frac{45m}{T_s}t + Sm\right) \cos(n \omega_s t) dt ]
- Ce qui se décompose en deux intégrales : [ a_n = \frac{-16Sm}{T_s^2} \int_{0}^{\frac{T_s}{2}} t \cos(n \omega_s t) dt + \frac{4Sm}{T_s} \int_{0}^{\frac{T_s}{2}} \cos(n \omega_s t) dt ]
Évaluation des Intégrales
- La deuxième intégrale s'évalue comme suit : [ \int_{0}^{\frac{T_s}{2}} \cos(n \omega_s t) dt = \left[\frac{1}{n \omega_s} \sin(n \omega_s t)\right]_{0}^{\frac{T_s}{2}} ]
- Cela donne : [ \frac{1}{n \omega_s} \left( \sin(n \pi) - \sin(0) \right) = 0 \quad \text{(puisque } \sin(n \pi) = 0 \text{)} ]
Résultat Final de ( a_n )
- En utilisant l'intégrale de ( t \cos(n \omega_s t) ), on trouve : [ \int_{0}^{\frac{T_s}{2}} t \cos(n \omega_s t) dt = \left[\frac{t}{n \omega_s} \sin(n \omega_s t)\right]{0}^{\frac{T_s}{2}} - \int{0}^{\frac{T_s}{2}} \frac{1}{n \omega_s} \sin(n \omega_s t) dt ]
- Cela contribue à une compréhension approfondie de la décomposition en série de Fourier pour des fonctions symétriques localisées dans le temps.
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Description
Ce quiz aborde les séries de Fourier et le calcul des coefficients d'une fonction paire. Il inclut des exemples d'intégration et des aspects pratiques du calcul des coefficients pour les fonctions définies par segments. Testez vos connaissances sur les propriétés des séries de Fourier et leur application dans le contexte des fonctions continues.
