Fourier Series and Transformations

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Questions and Answers

Quelle est la formule pour trouver le coefficient $a_n$ dans une série de Fourier?

$\frac{1}{T} \int_{0}^{T} s(t) \sin(\frac{2\pi n t}{T}) dt$

$\frac{1}{T} \int_{0}^{T} s(t) \cos(\frac{2\pi n t}{T}) dt$

$\frac{2}{T} \int_{0}^{T} s(t) \sin(\frac{2\pi n t}{T}) dt$

$\frac{2}{T} \int_{0}^{T} s(t) \cos(\frac{2\pi n t}{T}) dt$ (correct)

Qu'est-ce que représente le coefficient $a_0$ dans une série de Fourier?

La fréquence de la fonction $s(t)$

La moyenne de la fonction $s(t)$ (correct)

La valeur maximale de la fonction $s(t)$

La période de la fonction $s(t)$

Pourquoi $a_n = 0$ pour $n \neq 1$ dans l'exemple de décomposition de $s(t) = \cos(2\pi t)$?

Parce que la règle de l'Hôpital est utilisée

Parce que $s(t)$ est une fonction impair

Parce que $s(t)$ est une fonction périodique (correct)

Parce que $s(t)$ est une fonction sinusoidale

Qu'est-ce que la formule pour trouver le coefficient $b_n$ dans une série de Fourier?

$\frac{2}{T} \int_{0}^{T} s(t) \sin(\frac{2\pi n t}{T}) dt$ Signup and view all the answers

Quel est le résultat de l'intégrale $\int_{0}^{T} \cos(\frac{2\pi t}{T}) \cos(\frac{2\pi n t}{T}) dt$?

$T$ si $n = 0$, $0$ sinon Signup and view all the answers

Quelle est la forme de la série de Fourier de $s(t) = \cos(2\pi t)$?

$a_1 \cos(2\pi t)$ Signup and view all the answers

Quelle est la propriété de la transformée de Fourier qui permet la séparation des régionales et résiduelles dans le domaine spectral?

Linéarité Signup and view all the answers

Quelle est la transformée qui permet de séparer les parties réelle et imaginaire d'un signal?

Transformée de Hilbert Signup and view all the answers

Qu'est-ce que représente la notation 𝑥(𝑡) ↔ 𝑋(𝜔)?

La transformée de Fourier d'un signal x(t) en fonction de la fréquence ω Signup and view all the answers

Quelle est la propriété de la transformée de Fourier qui permet d'anticiper les réponses?

Symétrie Signup and view all the answers

Quelle est la transformée qui permet de travailler dans le domaine spatial?

Transformée en deux dimensions Signup and view all the answers

Quel est le théorème qui permet de déterminer la fréquence d'échantillonnage nécessaire pour une signal?

Théorème d'échantillonnage Signup and view all the answers

Quelle est la forme de l'équation de la série de Fourier pour une fonction périodique s(t) ?

s(t) = s0 + ∑ sn e²πint/T + ∑ s∗n e−²πint/T Signup and view all the answers

Quelle est la définition de sn dans la série de Fourier ?

sn = an - ibn Signup and view all the answers

Quelle est la signification de T dans l'équation de la série de Fourier ?

Période de la fonction Signup and view all the answers

Quelle est la propriété de la transformée de Fourier qui permet de passer de la série de Fourier à la transformée de Fourier ?

L'hypothèse de périodicité Signup and view all the answers

Quelle est la signification de fn dans l'équation de la transformée de Fourier ?

n/T Signup and view all the answers

Quelle est la condition pour passer de la série de Fourier à la transformée de Fourier ?

T → ∞ Signup and view all the answers

Quelle est la formule de la transformée de Fourier en deux dimensions?

𝐹(𝑘𝑥 , 𝜔) = ∫ ∫ 𝑓 (𝑥, 𝑡) 𝑒𝑖𝑘𝑥 𝑥+𝑖𝜔𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡 Signup and view all the answers

Qu'est-ce que le terme 𝑘𝑥 dans la formule de la transformée de Fourier en deux dimensions?

Nombre d'onde selon 𝑥 Signup and view all the answers

Quelle est la formule de l'inverse de la transformée de Fourier en deux dimensions?

𝑓 (𝑥, 𝑡) = ∞ ∫ ∫ 𝐹(𝑘𝑥 , 𝜔) 𝑒𝑖𝑘𝑥 𝑥+𝑖𝜔𝑡 𝑑𝑘𝑥 𝑑𝜔 Signup and view all the answers

Quel est le domaine dans lequel les données sismiques sont typiquement présentées?

Domaine bidimensionnel Signup and view all the answers

Quel est le nom de la transformée qui est utilisée pour analyser les signaux en domaine temporel et spatial?

Transformée de Fourier Signup and view all the answers

Quel est le théorème qui est lié à la transformée de Fourier?

Théorème de la convolution Signup and view all the answers

Quelle est la formule pour la série de Fourier de la fonction périodique ?

𝑇 ∑ 𝑎𝑛 cos 2𝜋𝑛𝑡 + 𝑏𝑛 sin 2𝜋𝑛𝑡 Signup and view all the answers

Quel est le but de la transformation de Fourier ?

Décomposer une fonction non périodique en sinus et cosinus Signup and view all the answers

Qu'est-ce que la transformée de Hilbert ?

Une application de la transformation de Fourier Signup and view all the answers

Qu'est-ce que le théorème de la convolution ?

Un théorème qui décrit la propriété de la convolution dans la transformation de Fourier Signup and view all the answers

Qu'est-ce que 𝑖 dans la transformation de Fourier ?

Le nombre complexe √−1 Signup and view all the answers

Qu'est-ce que la transformée en deux dimensions ?

Une application de la transformation de Fourier à des fonctions de deux variables Signup and view all the answers

Study Notes

Série de Fourier

Le coefficient $a_n$ dans une série de Fourier est calculé avec la formule suivante: $a_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} s(t) \cos(\frac{2\pi n t}{T}) dt$
Le coefficient $a_0$ représente la valeur moyenne de la fonction périodique $s(t)$ sur une période $T$.
Dans le cas de $s(t) = \cos(2\pi t)$, $a_n = 0$ pour $n \neq 1$ car la fonction cosinus est paire et sa décomposition en série de Fourier ne contient que des termes de cosinus.
Le coefficient $b_n$ dans une série de Fourier est calculé avec la formule suivante: $b_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} s(t) \sin(\frac{2\pi n t}{T}) dt$
$\int_{0}^{T} \cos(\frac{2\pi t}{T}) \cos(\frac{2\pi n t}{T}) dt = \frac{T}{2}$ si $n = 1$ et 0 sinon.
La série de Fourier de $s(t) = \cos(2\pi t)$ est donnée par $\cos(2\pi t)$.
La propriété de la transformée de Fourier qui permet la séparation des régionales et résiduelles dans le domaine spectral est la linéarité.
La transformée de Fourier permet de séparer les parties réelle et imaginaire d'un signal.
La notation 𝑥(𝑡) ↔ 𝑋(𝜔) signifie que 𝑥(𝑡) est le signal temporel et 𝑋(𝜔) est sa représentation spectrale (transformée de Fourier).
La propriété de la transformée de Fourier qui permet d'anticiper les réponses est la convolution.
La transformée de Fourier permet de travailler dans le domaine spatial.
Le théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon permet de déterminer la fréquence d'échantillonnage nécessaire pour une signal: $f_s > 2f_{max}$ où $f_s$ est la fréquence d'échantillonnage et $f_{max}$ est la fréquence maximale du signal.

Transformée de Fourier

L'équation de la série de Fourier pour une fonction périodique s(t) est donnée par: $s(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(\frac{2\pi n t}{T}) + b_n \sin(\frac{2\pi n t}{T}))$.
$s_n$ est la composante de la série de Fourier à la fréquence $f_n = \frac{n}{T}$.
$T$ représente la période de la fonction périodique $s(t)$.
La propriété de la transformée de Fourier qui permet de passer de la série de Fourier à la transformée de Fourier est la convergence.
$f_n$ est la fréquence de la composante de la série de Fourier.
Pour passer de la série de Fourier à la transformée de Fourier, la fonction doit tendre vers zéro à l'infini.
La formule de la transformée de Fourier en deux dimensions est donnée par: $F(k_x, k_y) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) e^{-2 \pi i (k_x x + k_y y)} dx dy$.
Le terme $k_x$ représente la fréquence spatiale dans la direction $x$.
La formule de l'inverse de la transformée de Fourier en deux dimensions est donnée par: $f(x, y) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} F(k_x, k_y) e^{2 \pi i (k_x x + k_y y)} dk_x dk_y$.

Applications

Les données sismiques sont typiquement présentées dans le domaine temporel et fréquentiel.
La transformée de Fourier est utilisée pour analyser les signaux en domaine temporel et spatial.
Le théorème de Plancherel est lié à la transformée de Fourier.
La formule pour la série de Fourier d'une fonction périodique est donnée par $s(x) = \frac{a_0}{2}+ \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(nx)+b_n\sin(nx))$. Le but de la transformation de Fourier est d'exprimer un signal comme une somme d'ondes sinusoïdales à différentes fréquences, ce qui facilite son analyse et son traitement.
La transformée de Hilbert est une transformation qui permet de trouver l'enveloppe analytique d'un signal.
Le théorème de la convolution stipule que la transformée de Fourier de la convolution de deux fonctions est égale au produit de leurs transformées de Fourier respectives.
$i$ dans la transformation de Fourier est l'unité imaginaire, dont la valeur est $\sqrt{-1}$.
La transformée en deux dimensions est une généralisation de la transformée de Fourier pour des fonctions de deux variables (par exemple, des images).

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Description

Test your understanding of Fourier series, transformations, and their properties. Explore the concepts of convolution, sampling theorem, and applications of Fourier transforms.