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Questions and Answers
Quelle est la formule pour trouver le coefficient $a_n$ dans une série de Fourier?
Quelle est la formule pour trouver le coefficient $a_n$ dans une série de Fourier?
Qu'est-ce que représente le coefficient $a_0$ dans une série de Fourier?
Qu'est-ce que représente le coefficient $a_0$ dans une série de Fourier?
Pourquoi $a_n = 0$ pour $n \neq 1$ dans l'exemple de décomposition de $s(t) = \cos(2\pi t)$?
Pourquoi $a_n = 0$ pour $n \neq 1$ dans l'exemple de décomposition de $s(t) = \cos(2\pi t)$?
Qu'est-ce que la formule pour trouver le coefficient $b_n$ dans une série de Fourier?
Qu'est-ce que la formule pour trouver le coefficient $b_n$ dans une série de Fourier?
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Quel est le résultat de l'intégrale $\int_{0}^{T} \cos(\frac{2\pi t}{T}) \cos(\frac{2\pi n t}{T}) dt$?
Quel est le résultat de l'intégrale $\int_{0}^{T} \cos(\frac{2\pi t}{T}) \cos(\frac{2\pi n t}{T}) dt$?
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Quelle est la forme de la série de Fourier de $s(t) = \cos(2\pi t)$?
Quelle est la forme de la série de Fourier de $s(t) = \cos(2\pi t)$?
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Quelle est la propriété de la transformée de Fourier qui permet la séparation des régionales et résiduelles dans le domaine spectral?
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Quelle est la transformée qui permet de séparer les parties réelle et imaginaire d'un signal?
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Qu'est-ce que représente la notation 𝑥(𝑡) ↔ 𝑋(𝜔)?
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Quelle est la propriété de la transformée de Fourier qui permet d'anticiper les réponses?
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Quelle est la transformée qui permet de travailler dans le domaine spatial?
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Quel est le théorème qui permet de déterminer la fréquence d'échantillonnage nécessaire pour une signal?
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Quelle est la forme de l'équation de la série de Fourier pour une fonction périodique s(t) ?
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Quelle est la définition de sn dans la série de Fourier ?
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Quelle est la signification de T dans l'équation de la série de Fourier ?
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Quelle est la propriété de la transformée de Fourier qui permet de passer de la série de Fourier à la transformée de Fourier ?
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Quelle est la signification de fn dans l'équation de la transformée de Fourier ?
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Quelle est la condition pour passer de la série de Fourier à la transformée de Fourier ?
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Quelle est la formule de la transformée de Fourier en deux dimensions?
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Qu'est-ce que le terme 𝑘𝑥 dans la formule de la transformée de Fourier en deux dimensions?
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Quelle est la formule de l'inverse de la transformée de Fourier en deux dimensions?
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Quel est le domaine dans lequel les données sismiques sont typiquement présentées?
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Quel est le nom de la transformée qui est utilisée pour analyser les signaux en domaine temporel et spatial?
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Quel est le théorème qui est lié à la transformée de Fourier?
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Quelle est la formule pour la série de Fourier de la fonction périodique ?
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Quel est le but de la transformation de Fourier ?
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Qu'est-ce que la transformée de Hilbert ?
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Qu'est-ce que le théorème de la convolution ?
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Qu'est-ce que 𝑖 dans la transformation de Fourier ?
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Qu'est-ce que la transformée en deux dimensions ?
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Study Notes
Série de Fourier
- Le coefficient $a_n$ dans une série de Fourier est calculé avec la formule suivante: $a_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} s(t) \cos(\frac{2\pi n t}{T}) dt$
- Le coefficient $a_0$ représente la valeur moyenne de la fonction périodique $s(t)$ sur une période $T$.
- Dans le cas de $s(t) = \cos(2\pi t)$, $a_n = 0$ pour $n \neq 1$ car la fonction cosinus est paire et sa décomposition en série de Fourier ne contient que des termes de cosinus.
- Le coefficient $b_n$ dans une série de Fourier est calculé avec la formule suivante: $b_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} s(t) \sin(\frac{2\pi n t}{T}) dt$
- $\int_{0}^{T} \cos(\frac{2\pi t}{T}) \cos(\frac{2\pi n t}{T}) dt = \frac{T}{2}$ si $n = 1$ et 0 sinon.
- La série de Fourier de $s(t) = \cos(2\pi t)$ est donnée par $\cos(2\pi t)$.
- La propriété de la transformée de Fourier qui permet la séparation des régionales et résiduelles dans le domaine spectral est la linéarité.
- La transformée de Fourier permet de séparer les parties réelle et imaginaire d'un signal.
- La notation 𝑥(𝑡) ↔ 𝑋(𝜔) signifie que 𝑥(𝑡) est le signal temporel et 𝑋(𝜔) est sa représentation spectrale (transformée de Fourier).
- La propriété de la transformée de Fourier qui permet d'anticiper les réponses est la convolution.
- La transformée de Fourier permet de travailler dans le domaine spatial.
- Le théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon permet de déterminer la fréquence d'échantillonnage nécessaire pour une signal: $f_s > 2f_{max}$ où $f_s$ est la fréquence d'échantillonnage et $f_{max}$ est la fréquence maximale du signal.
Transformée de Fourier
- L'équation de la série de Fourier pour une fonction périodique s(t) est donnée par: $s(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(\frac{2\pi n t}{T}) + b_n \sin(\frac{2\pi n t}{T}))$.
- $s_n$ est la composante de la série de Fourier à la fréquence $f_n = \frac{n}{T}$.
- $T$ représente la période de la fonction périodique $s(t)$.
- La propriété de la transformée de Fourier qui permet de passer de la série de Fourier à la transformée de Fourier est la convergence.
- $f_n$ est la fréquence de la composante de la série de Fourier.
- Pour passer de la série de Fourier à la transformée de Fourier, la fonction doit tendre vers zéro à l'infini.
- La formule de la transformée de Fourier en deux dimensions est donnée par: $F(k_x, k_y) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) e^{-2 \pi i (k_x x + k_y y)} dx dy$.
- Le terme $k_x$ représente la fréquence spatiale dans la direction $x$.
- La formule de l'inverse de la transformée de Fourier en deux dimensions est donnée par: $f(x, y) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} F(k_x, k_y) e^{2 \pi i (k_x x + k_y y)} dk_x dk_y$.
Applications
- Les données sismiques sont typiquement présentées dans le domaine temporel et fréquentiel.
- La transformée de Fourier est utilisée pour analyser les signaux en domaine temporel et spatial.
- Le théorème de Plancherel est lié à la transformée de Fourier.
- La formule pour la série de Fourier d'une fonction périodique est donnée par $s(x) = \frac{a_0}{2}+ \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(nx)+b_n\sin(nx))$. Le but de la transformation de Fourier est d'exprimer un signal comme une somme d'ondes sinusoïdales à différentes fréquences, ce qui facilite son analyse et son traitement.
- La transformée de Hilbert est une transformation qui permet de trouver l'enveloppe analytique d'un signal.
- Le théorème de la convolution stipule que la transformée de Fourier de la convolution de deux fonctions est égale au produit de leurs transformées de Fourier respectives.
- $i$ dans la transformation de Fourier est l'unité imaginaire, dont la valeur est $\sqrt{-1}$.
- La transformée en deux dimensions est une généralisation de la transformée de Fourier pour des fonctions de deux variables (par exemple, des images).
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Description
Test your understanding of Fourier series, transformations, and their properties. Explore the concepts of convolution, sampling theorem, and applications of Fourier transforms.