संख्या प्रणाली: प्राकृतिक, पूर्ण, पूर्णांक

यहाँ अपडेट किए गए अध्ययन नोट्स दिए गए हैं:

संख्या प्रणाली (Number Systems)

• प्राकृतिक संख्याएँ 1 से शुरू होने वाले धनात्मक पूर्णांक हैं (1, 2, 3, ...)।
• पूर्ण संख्याओं में प्राकृतिक संख्याएँ और शून्य शामिल हैं (0, 1, 2, 3, ...)।
• पूर्णांकों में पूर्ण संख्याएँ और उनके ऋणात्मक समकक्ष शामिल हैं (... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...)।
• परिमेय संख्याओं को एक भिन्न p/q के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q ≠ 0 है।
• अपरिमेय संख्याओं को भिन्न के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है (जैसे, √2, π)।
• वास्तविक संख्याओं में परिमेय और अपरिमेय दोनों संख्याएँ शामिल हैं।
• सम्मिश्र संख्याओं का रूप a + bi होता है, जहाँ a और b वास्तविक संख्याएँ हैं, और i काल्पनिक इकाई है (√-1)।

अंकगणितीय संक्रियाएँ (Arithmetic Operations)

• योग दो या दो से अधिक संख्याओं को मिलाकर उनका योग ज्ञात करने की प्रक्रिया है।
• घटाव दो संख्याओं के बीच का अंतर ज्ञात करने की प्रक्रिया है।
• गुणन दो या दो से अधिक संख्याओं का गुणनफल ज्ञात करने की प्रक्रिया है।
• भाग एक संख्या को समान भागों में विभाजित करने की प्रक्रिया है।
• संक्रियाओं का क्रम (PEMDAS/BODMAS): कोष्ठक/ब्रैकेट, घातांक/ऑर्डर, गुणन और भाग, योग और घटाव।

बीजगणित (Algebra)

• चर ऐसे प्रतीक (आमतौर पर अक्षर) होते हैं जो अज्ञात मानों का प्रतिनिधित्व करते हैं।
• व्यंजक संख्याओं, चरों और संक्रियाओं के संयोजन होते हैं।
• समीकरण ऐसे कथन हैं जो बताते हैं कि दो व्यंजक बराबर हैं।
• समीकरणों को हल करने में चर के उन मानों को खोजना शामिल है जो समीकरण को सत्य बनाते हैं।
• रैखिक समीकरणों का रूप ax + b = 0 होता है, जहाँ a और b स्थिरांक हैं।
• द्विघात समीकरणों का रूप ax² + bx + c = 0 होता है, जहाँ a, b और c स्थिरांक हैं।
• गुणनखंडन एक व्यंजक को उसके कारकों में तोड़ने की प्रक्रिया है।

ज्यामिति (Geometry)

• बिंदु अंतरिक्ष में ऐसे स्थान होते हैं जिनकी कोई विमा नहीं होती है।
• रेखाएँ सीधी पथ होती हैं जो दोनों दिशाओं में अनंत तक फैली होती हैं।
• रेखा खंड रेखा का वह भाग होता है जिसके दो अंतिम बिंदु होते हैं।
• किरणें रेखा का वह भाग होती हैं जिसका एक अंतिम बिंदु होता है जो एक दिशा में अनंत तक फैला होता है।
• कोण दो किरणों द्वारा बनाए जाते हैं जो एक सामान्य अंतिम बिंदु (शीर्ष) साझा करते हैं।
• त्रिभुज तीन भुजाओं और तीन कोणों वाले बहुभुज होते हैं।
• चतुर्भुज चार भुजाओं और चार कोणों वाले बहुभुज होते हैं।
• वृत्त एक केंद्र बिंदु से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं के समूह होते हैं।
• परिमाप एक द्वि-आयामी आकार की चारों ओर की दूरी होती है।
• क्षेत्रफल एक द्वि-आयामी आकार द्वारा घेरी गई जगह की मात्रा होती है।
• आयतन एक त्रि-आयामी वस्तु द्वारा घेरी गई जगह की मात्रा होती है।

त्रिकोणमिति (Trigonometry)

• त्रिकोणमिति त्रिभुजों की भुजाओं और कोणों के बीच संबंधों से संबंधित है।
• किसी कोण का साइन (sin) एक समकोण त्रिभुज में विपरीत भुजा का कर्ण से अनुपात होता है।
• किसी कोण का कोसाइन (cos) एक समकोण त्रिभुज में आसन्न भुजा का कर्ण से अनुपात होता है।
• किसी कोण का टैंजेंट (tan) एक समकोण त्रिभुज में विपरीत भुजा का आसन्न भुजा से अनुपात होता है।
• पाइथागोरस प्रमेय: एक समकोण त्रिभुज में, a² + b² = c², जहाँ a और b पादों की लंबाई हैं और c कर्ण की लंबाई है।

कलन (Calculus)

• सीमाएँ किसी फ़ंक्शन के व्यवहार का वर्णन करती हैं क्योंकि इसका इनपुट एक निश्चित मान के पास पहुँचता है।
• अवकलज किसी फ़ंक्शन की तात्कालिक परिवर्तन दर को मापते हैं।
• समाकल एक वक्र के नीचे के क्षेत्रफल का प्रतिनिधित्व करते हैं और इनका उपयोग संचित मात्राओं को ज्ञात करने के लिए किया जाता है।
• कलन का मौलिक प्रमेय अवकलन और समाकलन को जोड़ता है।

सांख्यिकी और प्रायिकता (Statistics and Probability)

• सांख्यिकी डेटा को एकत्र करने, विश्लेषण करने, व्याख्या करने और प्रस्तुत करने का विज्ञान है।
• प्रायिकता किसी घटना के घटित होने की संभावना का माप है।
• माध्य संख्याओं के एक समूह का औसत है।
• माध्यिका संख्याओं के एक क्रमबद्ध समूह में मध्य मान है।
• बहुलक संख्याओं के एक समूह में सबसे अधिक बार दिखाई देने वाला मान है।
• परिसर संख्याओं के एक समूह में सबसे बड़े और सबसे छोटे मानों के बीच का अंतर है।
• मानक विचलन माध्य के चारों ओर डेटा के फैलाव को मापता है।

असतत गणित (Discrete Mathematics)

• तर्क तर्क और अनुमान के सिद्धांतों से संबंधित है।
• समुच्चय सिद्धांत समुच्चयों का अध्ययन है, जो वस्तुओं के संग्रह होते हैं।
• संबंध समुच्चयों के तत्वों के बीच संबंधों को परिभाषित करते हैं।
• फ़ंक्शन समुच्चयों के बीच मैपिंग हैं जो डोमेन में प्रत्येक तत्व को श्रेणी में एक अद्वितीय तत्व को असाइन करते हैं।
• ग्राफ सिद्धांत ग्राफ का अध्ययन करता है, जो वस्तुओं के बीच जोड़ीदार संबंधों को मॉडल करने के लिए उपयोग की जाने वाली गणितीय संरचनाएं हैं।
• कॉम्बिनेटरिक्स वस्तुओं की गणना और व्यवस्था से संबंधित है।

वित्तीय गणित (Financial Mathematics)

• साधारण ब्याज की गणना केवल मूलधन पर की जाती है।
• चक्रवृद्धि ब्याज की गणना मूलधन और संचित ब्याज पर की जाती है।
• वार्षिकी नियमित अंतराल पर किए गए भुगतानों की एक श्रृंखला है।
• ऋण में पैसे उधार लेना और समय के साथ ब्याज के साथ चुकाना शामिल है।
• बंधक वास्तविक संपत्ति द्वारा सुरक्षित ऋण हैं।

माप की इकाइयाँ (Measurement Units)

• लंबाई को मीटर (m), सेंटीमीटर (cm), इंच (in), फीट (ft), मील (mi), आदि में मापा जाता है।
• द्रव्यमान को किलोग्राम (kg), ग्राम (g), पाउंड (lb), औंस (oz), आदि में मापा जाता है।
• समय को सेकंड (s), मिनट (min), घंटे (h), दिन, वर्ष, आदि में मापा जाता है।
• आयतन को लीटर (L), मिलीलीटर (mL), घन मीटर (m³), गैलन (gal), क्वार्ट (qt), आदि में मापा जाता है।
• तापमान को सेल्सियस (°C), फ़ारेनहाइट (°F), केल्विन (K) में मापा जाता है।

गणितीय स्थिरांक (Mathematical Constants)

• पाई (π) एक वृत्त की परिधि का उसके व्यास से अनुपात है, लगभग 3.14159।
• यूलर की संख्या (e) प्राकृतिक लघुगणक का आधार है, लगभग 2.71828।
• सुनहरा अनुपात (φ) लगभग 1.61803 है और विभिन्न प्राकृतिक घटनाओं और कला में दिखाई देता है।

गणितीय संकेतन (Mathematical Notation)

• = (बराबर) इंगित करता है कि दो व्यंजकों का मान समान है।
• ≠ (बराबर नहीं) इंगित करता है कि दो व्यंजकों का मान भिन्न है।

• (से अधिक) इंगित करता है कि एक मान दूसरे से बड़ा है।

• < (से कम) इंगित करता है कि एक मान दूसरे से छोटा है।
• ≥ (से अधिक या बराबर) इंगित करता है कि एक मान दूसरे से बड़ा या बराबर है।
• ≤ (से कम या बराबर) इंगित करता है कि एक मान दूसरे से छोटा या बराबर है।
• • (प्लस) योग को इंगित करता है।
• • (माइनस) घटाव को इंगित करता है।
• × या * (गुणा) गुणन को इंगित करता है।
• ÷ या / (से विभाजित) भाग को इंगित करता है।
• √ (वर्गमूल) एक संख्या के वर्गमूल को इंगित करता है।
• Σ (सिग्मा) योग को इंगित करता है।
• ∫ (समाकल) समाकलन को इंगित करता है।

संख्याओं के प्रकार (Types of Numbers)

• सम संख्याएँ 2 से विभाज्य पूर्णांक होती हैं।
• विषम संख्याएँ 2 से विभाज्य नहीं होने वाले पूर्णांक होती हैं।
• अभाज्य संख्याएँ 1 से बड़ी पूर्णांक होती हैं जिनके केवल दो गुणनखंड होते हैं: 1 और स्वयं।
• भाज्य संख्याएँ 1 से बड़ी पूर्णांक होती हैं जिनके दो से अधिक गुणनखंड होते हैं।

समन्वय प्रणाली (Coordinate Systems)

• कार्तीय समन्वय प्रणाली (x, y) दो लंबवत अक्षों का उपयोग करके एक तल में बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करती है।
• ध्रुवीय समन्वय प्रणाली (r, θ) मूल से दूरी (r) और एक कोण (θ) का उपयोग करके एक तल में बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करती है।
• त्रि-आयामी समन्वय प्रणाली (x, y, z) तीन लंबवत अक्षों का उपयोग करके अंतरिक्ष में बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करती है।

समुच्चय (Sets)

• समुच्चय अलग-अलग वस्तुओं का एक सुपरिभाषित संग्रह है, जिसे अपने आप में एक वस्तु माना जाता है।
• तत्व वे वस्तुएँ हैं जो एक समुच्चय से संबंधित हैं।
• सार्वत्रिक समुच्चय विचाराधीन सभी संभावित तत्वों का समुच्चय है।
• रिक्त समुच्चय (∅) वह समुच्चय है जिसमें कोई तत्व नहीं होते हैं।
• उपसमुच्चय वे समुच्चय हैं जो किसी अन्य समुच्चय के भीतर निहित होते हैं।
• दो समुच्चयों का प्रतिच्छेदन (A ∩ B) वह समुच्चय है जिसमें वे तत्व होते हैं जो A और B दोनों में हैं।
• दो समुच्चयों का संघ(A ∪ B) वह समुच्चय है जिसमें वे तत्व होते हैं जो A या B या दोनों में हैं।
• एक समुच्चय का पूरक (A') सार्वत्रिक समुच्चय में उन सभी तत्वों का समुच्चय है जो A में नहीं हैं।

फलन (Functions)

• एक फलन इनपुट के एक समुच्चय और स्वीकार्य आउटपुट के एक समुच्चय के बीच का संबंध है, जिसमें प्रत्येक इनपुट ठीक एक आउटपुट से संबंधित होता है।
• किसी फलन का डोमेन सभी संभावित इनपुट का समुच्चय होता है।
• किसी फलन का श्रेणी सभी संभावित आउटपुट का समुच्चय होता है।
• रैखिक फलन में परिवर्तन की एक स्थिर दर होती है और इसे समीकरण y = mx + b द्वारा दर्शाया जा सकता है, जहाँ m ढलान है और b y-अवरोधन है।
• द्विघात फलन का आकार परवलयिक होता है और इसे समीकरण y = ax² + bx + c द्वारा दर्शाया जा सकता है।
• घातीय फलन का सामान्य रूप y = a^x होता है, जहाँ a एक स्थिरांक है।
• लॉगरिदमिक फलन घातीय फलन का व्युत्क्रम होते हैं।

संख्या प्रणालियों में प्राकृतिक संख्याएँ, पूर्ण संख्याएँ, पूर्णांक, परिमेय संख्याएँ, अपरिमेय संख्याएँ, वास्तविक संख्याएँ और सम्मिश्र संख्याएँ शामिल हैं। अंकगणितीय संक्रियाओं में जोड़, घटाव, गुणा, भाग और संचालन का क्रम शामिल है।