Rovnice kružnice a úlohy

Podcast Beta

Play an AI-generated podcast conversation about this lesson

Questions and Answers

Aká je rovnica kružnice so stredom S[0;0] a polomerom r = 2?

(x + 0)^2 + (y + 0)^2 = 4

x^2 + y^2 = 2

(x - 2)^2 + y^2 = 4

x^2 + y^2 = 4 (correct)

Čo predstavuje rovnica (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 9?

Kružnica so stredom S[-1; 2] a polomerom 3 (correct)

Kružnica so stredom S[2; 1] a polomerom 3

Kružnica so stredom S[1; -2] a polomerom 3

Kružnica so stredom S[-1; 2] a polomerom 9

Aké sú súradnice stredu a polomer kružnice z rovnice x^2 + (y - 3)^2 = 25?

S[0; 5] a r = 3

S[0; 3] a r = 18

S[0; 3] a r = 5 (correct)

S[0; 3] a r = 25

Rovnice k1 a k2: k1: x^2 + y^2 + 2x + 4y + 1 = 0 a k2: x^2 + y^2 - 8x + 6y + 30 = 0. Poznáte ich vzájomnú polohu?

k1 je kružnica, k2 nie. Signup and view all the answers

Ako je určená vzájomná poloha priamky a kružnice?

Na základe počtu spoločných bodov. Signup and view all the answers

Čo platí pre bod X[x; y] dotyčnice t a dotykový bod T[x0; y0] kružnice?

[X - T] . [S - T] = 0 znamená, že bod T leží na priamke XT. Signup and view all the answers

Aké sú súradnice bodu A[-2;3] vo vzťahu k rovnici kružnice (x+2)^2 + (y-1)^2 = 4?

Bod leží na kružnici. Signup and view all the answers

Aký polomer má kružnica s rovniciou, ktorá sa dotýka obidvoch súradnicových osí a má polomer r = 8?

r = 8 Signup and view all the answers

Aké hodnoty pre c a d vyplývajú z uvedenej sústavy rovníc?

c = –11/5, d = –2/5 Signup and view all the answers

Kedy je skalárny súčin vektorov nulový?

Keď sú vektory kolmé na seba Signup and view all the answers

Aký vzťah platí medzi skalárnym súčinom vektorov a uhlom medzi nimi?

u.v = 0 znamená, že vektory sú kolmé Signup and view all the answers

Čo je výsledkom skalárneho súčinu vektorov?

Skalár (konštanta) Signup and view all the answers

Čo je pravda o úhle vektorov u a v, ak u.v = 0?

Uhol medzi vektormi je pravý Signup and view all the answers

Aké sú hodnoty skalárneho súčinu pre vektory u = [u1, u2] a v = [v1, v2] v ortonormálnej sústave?

u.v = u1.v1 + u2.v2 Signup and view all the answers

Aký význam má nemenné číslo v definícii skalárneho súčinu u.v: = $|u| |v| cosϕ$?

Závisí od dĺžok vektorov a uhla medzi nimi Signup and view all the answers

Čo sa stane, ak vypočítate uhol medzi dvoma nenulovými vektormi, ktorý má hodnotu 180°?

Skalárny súčin bude záporný Signup and view all the answers

Aká je formulácia smernicovej rovnice priamky p, ak poznáme smernicu k a konštantu q?

y = kx + q Signup and view all the answers

Čo platí pre priamky rovnobežné s osou y?

Sú vertikálne a nemajú smernicovú rovnicu. Signup and view all the answers

Aký uhol vytvára priamka so smernicou k = -1/2 s kladnou polosou osi x?

26,57° Signup and view all the answers

Ako sa nazýva rovnicu priamky p, ak je vyjadrená v tvare ax + by + c = 0?

Všeobecná rovnica Signup and view all the answers

Akú hodnotu má smernica priamky, ak sa zviera s osou x uhol 90°?

Nedefinovaná Signup and view all the answers

Aký je smerový vektor priamky, ak má normálový vektor n = [1; 2]?

[-2; 1] Signup and view all the answers

Ak sa priamka p pretína s osou x v bodě -1, akú má hodnotu konštanta c v rovnici x + 2y + c = 0?

-1 Signup and view all the answers

Čo predstavuje parametrická rovnica priamky p: [x; y] = [3 – 2t; – 2 + t]?

Súradnice bodov na priamke závislé od parametra t Signup and view all the answers

Ako sa určuje vzájomná poloha dvoch priamok, ak sú dané ich parametrické rovnice?

Zistíme, či existuje priesečník medzi priamkami. Signup and view all the answers

Ak sú smerové vektory dvoch priamok kolmé, aký vzťah platí medzi ich skalárnym súčinom?

Skalárny súčin je rovný nule. Signup and view all the answers

Ktoré z nasledujúcich tvrdení o priamkach je pravdivé, ak ich normálové vektory nie sú násobkami?

Priamky sú rôznobežné. Signup and view all the answers

Čo znamená, ak je smerový vektor priamky násobkom normálového vektora druhej priamky?

Priamky sú kolmé. Signup and view all the answers

Ak je uhol ϕ medzi dvoma priamkami 90°, aký vzorec je správny pre jeho výpočet?

cos ϕ = 0 Signup and view all the answers

Čo znamená, ak priamky p a q ležia v rovine a ich smerové vektory sú násobkami?

Priamky sú rovnobežné. Signup and view all the answers

Čo platí o priamkach p: [x; y] = [1 – t; 2 – 3t] a q: 2x + 6y + 3 = 0, ak smerový vektor priamky p je násobkom normálového vektora priamky q?

Priamky sú kolmé. Signup and view all the answers

Ak priamky p a q nemajú spoločnú priesečníkovú rovinu, aké rozlíšenie majú?

Priamky sú mimobežné. Signup and view all the answers

Aké podmienky musia priamky splniť, aby mali spoločný bod?

Musí byť pravdivý vyrok pri dosadení t a r do rovníc. Signup and view all the answers

Čo je parametrová rovnica roviny?

Rovnica, ktorá je zapísaná pomocou bodu a dvoch vektorov. Signup and view all the answers

V akých prípadoch sú priamky rôznobežné?

Keď sú smerové vektory rôzne a sú riešiteľné rovnice. Signup and view all the answers

Čo je výsledkom dosadenia t = -12 a r = 8 do sústavy rovníc pre priamky p a q?

Získame nepravdivý výrok. Signup and view all the answers

Ako sa nazýva priesečník priamok p a q, ak nemajú spoločný bod?

Mimobežné priamky. Signup and view all the answers

Aký je smerový vektor priamky p: [x; y; z] = [2 – 3t; –5; 2t]?

[-3; 0; 2] Signup and view all the answers

Ktorý z nasledujúcich zápisov reprezentuje parametrické vyjadrenie priamky?

X = A + t.u + s.v, kde A je bod a u, v sú vektory. Signup and view all the answers

Akú vlastnosť má parametrická rovnica roviny v prípade, že body A, B, C sú nekolineárne?

Jedna rovina ρ je presne určená týmito bodmi. Signup and view all the answers

Study Notes

Rovnica kružnice v stredovom tvare

Rovnica kružnice so stredom v bode S[0;0] a polomerom r = 2 je x^2 + y^2 = 4.
Rovnica kružnice so stredom v bode S[-1;2] a polomerom r = 3 je (x+1)^2 + (y-2)^2 = 9.

Stred a polomer kružnice

Zo stredovej rovnice kruľnice x^2 + (y-3)^2 = 25, sa dá vyčítať, že stred kruľnice je v bode S [0;3] a polomer je r = 5.
Zo stredovej rovnice kružnice (x+2)^2 + (y-1)^2 = 4 sa dá vyčítať, že stred kruľnice je v bode S [-2;1] a polomer je r = 2

Rovnica kružnice s daným polomerom a dotykom k súradnicovým osiam

Rovnica kružnice ktorá má polomer r = 8 a dotýka sa oboch súradnicových osí je (x-8)^2 + (y-8)^2 = 64

Poloha bodov vzhľadom ku kružnici

Bod A[-2;3] leží na kružnici k : (x+2)^2 + (y-1)^2 = 4.
Bod B [0;2] leží mimo kružnice k: (x+2)^2 + (y-1)^2 = 4.
Bod C [-2;2] leží v kružnici k: (x+2)^2 + (y-1)^2 = 4.

Rovnica kružnice s daným priemerom

Rovnica kružnice ktorej priemerom je úsečka AB, ak A [-1 ; 4 ], B [ 5 ; 6 ] je (x-2)^2 + (y-5)^2 = 13.
Vypočítame stred úsečky AB: S = [( -1 + 5 )/2 ; (4 + 6)/2] = [2;5].
Vypočítame dĺžku úsečky AB: AB = √((5-(-1))^2 + (6-4)^2) = √(36 + 4) = √40 = 2√10.
Polomer kružnice je polovica priemeru: r = AB/2 = √10.
Rovnicu kružnice zapíšeme v stredovom tvare: (x-2)^2 + (y-5)^2 = (√10) ^2 = 10.

Vzájomná poloha priamky a kružnice

Dva spoločné body priamky a kružnice - priamka sa nazýva sečnica.
Jeden spoločný bod priamky a kružnice - priamka sa nazýva dotyčnica.
Žiadny spoločný bod priamky a kružnice - priamka sa nazýva nesečnica.

Dotyčnica kružnice

Ak je X[x; y] bod dotyčnice, T[x0; y0] dotykový bod a S[m; n] stred kružnice, platí: TX ⊥ TS ⇒ [X – T].[S – T] = 0

Skalárny súčin vektorov

Skalárny súčin dvoch vektorov u a v, ktoré zvierajú uhol ϕ je definovaný ako u.v = |u|.|v|.cos ϕ.
Skalárny súčin je 0, ak je aspoň jeden z vektorov nulový.

Veta o skalárnom súčine

V ortonormálnej sústave súradníc pre vektory u[u1,u2] a v[v1,v2] platí: u.v = u1.v1 + u2.v2.
V ortonormálnej sústave súradníc v priestore pre vektory u[u1,u2,u3] a v[v1,v2,v3] platí: u.v = u1.v1 + u2.v2 + u3.v3.

Veta o uhle vektorov

Pre veľkosť uhla ϕ medzi nenulovými vektormi u a v platí: cos ϕ = (u.v) / (|u|.|v|) = (u1.v1 + u2.v2 + u3.v3) / (√(u1^2 + u2^2 + u3^2) * √(v1^2 + v2^2 + v3^2))
Nenulové vektory u a v sú na seba kolmé práve vtedy, keď u.v = 0.

Vlastnosti skalárneho súčinu

u.v > 0 práve vtedy, ak uhol vektorov u a v je ostrý.
u.v = 0 práve vtedy, ak uhol vektorov u a v je pravý.
u.v < 0 práve vtedy, ak uhol vektorov u a v je tupý.

Smernica priamky

Smernica priamky je zároveň tangensom uhla, ktorý priamka zviera s kladnou polosou osi x, t.j. k = tg ϕ.
Priamky rovnobežné s osou y nemajú smernicovú rovnicu, pretože s osou x zvierajú uhol 90o a tg 90o nie je definovaný.
Všetky navzájom rovnobežné priamky majú rovnakú smernicu, lebo s kladnou polosou osi x zvierajú rovnaký uhol.

Všeobecná, smernicová a parametrická rovnica priamky

Smernicová rovnica priamky p so smernicou –1/2 prechádzajúcou bodom P[3; –2] je y = −x/2 − 1/2.
Všeobecná rovnica priamky je x + 2y + 1 = 0.
Parametrické rovnice priamky p sú:
- x = 3 – 2t
- y=–2+t, t∈R

Vzájomná poloha dvoch priamok

Ak je normálový vektor jednej priamky násobkom normálového vektora druhej priamky, sú tieto priamky rovnobežné.
Ak je smerový vektor jednej priamky násobkom smerového vektora druhej priamky, sú tieto priamky rovnobežné.
Ak je skalárny súčin smerových vektorov dvoch priamok rovný nule, priamky sú na seba kolmé.
Ak je skalárny súčin normálových vektorov dvoch priamok rovný nule, priamky sú na seba kolmé.

Odchýlka (uhol) dvoch priamok

Odchýlku (uhol) dvoch priamok vypočítame pomocou skalárneho súčinu ich smerových vektorov.
Ak cos ϕ = 0, priamky sú na seba kolmé.
Ak sin ϕ = 1 alebo -1, priamky sú na seba kolmé.

Priesečník dvoch priamok

Priesečník dvoch priamok sa dá vypočítať riešením sústavy ich rovníc.
Ak sústava rovníc nemá riešenie, priamky sa nepretínajú.
Ak sa nachádzajú v jednej rovine a sú na seba kolmé, musia mať aj spoločný bod.

Parametrické vyjadrenie roviny

Každými tromi rôznymi bodmi A, B, C, ktoré neležia na jednej priamke prechádza jediná rovina ρ.
Pre každý bod X, ktorý leží v rovine ρ platí: X = A + t.u + s.v, kde t, s ∈ R, u = AB a v = AC.
Rovnica X = A + t.u + s.v, kde t,s∈R sa nazýva parametrické vyjadrenie roviny alebo parametrická rovnica roviny.

Studying That Suits You

Use AI to generate personalized quizzes and flashcards to suit your learning preferences.

Description

Tento kvíz sa zameriava na stredové rovnice kružníc, ich polomery a pozície bodov vzhľadom na kružnice. Otestujte si svoje znalosti o vlastnostiach kružníc prostredníctvom rôznych úloh a príkladov. Získajte lepšie pochopenie geometrie kružníc a ich vlastností.