Reguli de divizibilitate cu 7

• Reguli de divizibilitate sunt scurtături pentru a determina dacă un număr este divizibil cu un alt număr, fără a efectua împărțirea.
• Testarea divizibilității cu 7 este mai puțin directă decât pentru 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 sau 10.
• Există mai multe metode pentru a testa divizibilitatea cu 7.

Metoda 1: Scăderea dublului ultimei cifre

• Se dublează ultima cifră a numărului.
• Se scade acest rezultat din numărul trunchiat rămas.
• Dacă rezultatul este divizibil cu 7 (inclusiv 0), atunci numărul original este divizibil cu 7.
• Se repetă procesul dacă numărul rezultat este încă prea mare.
• De exemplu, se ia în considerare numărul 672.
• Se dublează ultima cifră: 2 * 2 = 4.
• Se scade din numărul trunchiat: 67 - 4 = 63.
• Deoarece 63 este divizibil cu 7, atunci 672 este divizibil cu 7.
• Un alt exemplu: 861
• Se dublează ultima cifră: 1 * 2 = 2
• Se scade din numărul trunchiat: 86 - 2 = 84
• 84 este divizibil cu 7, prin urmare 861 este divizibil cu 7.
• Pentru numere mai mari, această metodă poate fi aplicată iterativ. De exemplu, 2086:
• 208 - (2 * 6) = 208 - 12 = 196
• Se aplică din nou: 19 - (2 * 6) = 19 - 12 = 7
• Deoarece 7 este divizibil cu 7, atunci 2086 este divizibil cu 7.
• Pentru numărul 105:
• 10 - (2 * 5) = 10 - 10 = 0
• Deoarece 0 este divizibil cu 7, atunci 105 este divizibil cu 7.

Metoda 2: Suma alternantă a grupurilor de trei cifre

• Această metodă implică împărțirea numărului în grupuri de câte trei cifre, începând de la dreapta.
• Se calculează suma alternantă a acestor grupuri.
• Dacă rezultatul este divizibil cu 7 (inclusiv 0), atunci numărul original este divizibil cu 7.
• Exemplu: 987654321
• Se împarte în grupuri: 987, 654, 321
• Suma alternantă: 321 - 654 + 987 = 654
• Deoarece 654 nu este imediat recognoscibil ca un multiplu de 7, se aplică prima metodă: 65 - (2 * 4) = 65 - 8 = 57
• 57 nu este divizibil cu 7, deci 987654321 nu este divizibil cu 7.
• Exemplu: 1234567
• Se împarte în grupuri: 1, 234, 567
• Suma alternantă: 567 - 234 + 1 = 334
• Se aplică prima metodă: 33 - (2 * 4) = 33 - 8 = 25
• Deoarece 25 nu este divizibil cu 7, atunci 1234567 nu este divizibil cu 7.
• Exemplu: 777777
• Se împarte în grupuri: 777, 777
• Suma alternantă: 777 - 777 = 0
• Deoarece 0 este divizibil cu 7, atunci 777777 este divizibil cu 7.

Metoda 3: Înmulțirea cu 3 și adunarea

• Se înmulțesc cifrele numărului de la dreapta la stânga cu secvența repetată 1, 3, 2, -1, -3, -2, 1, 3, 2, -1, -3, -2, ... și se adună produsele.
• Dacă rezultatul este divizibil cu 7, atunci numărul original este divizibil cu 7.
• Exemplu: 385
• Se înmulțește și se adună: (1 * 5) + (3 * 8) + (2 * 3) = 5 + 24 + 6 = 35
• Deoarece 35 este divizibil cu 7, 385 este divizibil cu 7.
• Exemplu: 917
• Se înmulțește și se adună: (1 * 7) + (3 * 1) + (2 * 9) = 7 + 3 + 18 = 28
• Deoarece 28 este divizibil cu 7, 917 este divizibil cu 7.
• Pentru un număr mare, cum ar fi 683942, calculul este:
• (2 * 1) + (4 * 3) + (9 * 2) + (3 * -1) + (8 * -3) + (6 * -2) = 2 + 12 + 18 - 3 - 24 - 12 = -7
• Deoarece -7 este divizibil cu 7, 683942 este divizibil cu 7.
• Această metodă funcționează deoarece secvența 1, 3, 2, -1, -3, -2 se repetă cu o perioadă de 6, iar aceste numere sunt resturile când puterile lui 10 sunt împărțite la 7.

Metoda 4: Utilizarea aritmeticii modulare

• Această abordare utilizează proprietățile aritmeticii modulare.
• Se înmulțește numărul cu un întreg adecvat, astfel încât rezultatul să lase un rest de 1 când este împărțit la 7.
• Se aplică în mod repetat această înmulțire și reducere modulo 7 până când devine clar dacă numărul inițial este divizibil cu 7.
• Exemplu: Pentru a testa dacă 343 este divizibil cu 7:
• Se înmulțește cu 5: 343 * 5 = 1715. Deoarece 5 este inversul modular al lui 3 modulo 7 (5 * 3 = 15, care este 1 mod 7).
• Acum, se verifică dacă 1715 este divizibil cu 7:
• 1715 mod 7 = (1000 + 700 + 14 + 1) mod 7 = (1000 mod 7 + 700 mod 7 + 14 mod 7 + 1 mod 7) mod 7
• Deoarece 1000 mod 7 = 6, 700 mod 7 = 0, 14 mod 7 = 0 și 1 mod 7 = 1.
• (6 + 0 + 0 + 1) mod 7 = 7 mod 7 = 0.
• Deoarece 1715 este divizibil cu 7, 343 este divizibil cu 7.

Compararea metodelor

• Metoda "scăderii dublului ultimei cifre" (Metoda 1) este în general preferată pentru numere mai mici datorită simplității sale.
• Metoda "sumei alternante a grupurilor de trei cifre" (Metoda 2) este eficientă pentru numere mai mari și poate simplifica uneori problema.
• Metoda "înmulțirii cu 3 și adunării" (Metoda 3) este, de asemenea, eficientă, deoarece utilizează o secvență repetată pentru înmulțire, deși poate fi mai puțin intuitivă.
• "Utilizarea aritmeticii modulare" (Metoda 4) oferă o abordare mai teoretică.

Considerații practice

• Alegerea metodei depinde de dimensiunea numărului și de preferința personală.
• Pentru numere foarte mari, instrumentele computaționale pot fi mai eficiente.
• Înțelegerea principiilor matematice de bază îmbunătățește capacitatea de a aplica eficient aceste reguli.