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Questions and Answers
Complex number $z=x+yi$ 的实部和虚部分别是？
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如果函数 $f(z)$ 在点 $z_0$ 是解析的，那么它在 $z_0$ 的邻域内也是解析的？
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柯西-黎曼方程的正确形式是什么？
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柯西积分公式的正确形式是什么？
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如果函数 $f(z)$ 在点 $z_0$ 是极点，那么 $Res(f, z_0)$ 是什么？
如果函数 $f(z)$ 在点 $z_0$ 是极点，那么 $Res(f, z_0)$ 是什么？
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什么是复平面中的闭合曲线？
什么是复平面中的闭合曲线？
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Study Notes
Complex Analysis
Complex Numbers
- A complex number is a number of the form
z = x + yi, wherexandyare real numbers andiis the imaginary unit, satisfyingi^2 = -1. - The set of complex numbers is denoted by
ℂ. - The real and imaginary parts of a complex number
zare denoted byRe(z)andIm(z), respectively.
Functions of Complex Numbers
- A function
f(z)of a complex variablezis a function that maps each complex numberzto a complex numberw. - The function
f(z)is said to be analytic at a pointz_0if it is differentiable atz_0and in a neighborhood ofz_0. - Cauchy-Riemann Equations: A function
f(z) = u(x, y) + iv(x, y)is analytic atz_0if and only if it satisfies the Cauchy-Riemann equations:-
∂u/∂x = ∂v/∂y -
∂u/∂y = -∂v/∂x
-
Contour Integration
- A contour is a piecewise-smooth curve in the complex plane.
- The contour integral of a function
f(z)over a contourCis denoted by∫_C f(z) dz. - Cauchy's Integral Formula: If
f(z)is analytic inside and on a contourC, andz_0is a point insideC, then:-
f(z_0) = (1/2πi) ∫_C f(z)/(z-z_0) dz
-
Residue Theory
- The residue of a function
f(z)at a pointz_0is denoted byRes(f, z_0). - The residue theorem: If
f(z)is analytic inside and on a contourC, except at a pointz_0insideC, then:-
∫_C f(z) dz = 2πi Res(f, z_0)
-
- The residue of a function
f(z)at a pole of orderncan be calculated using:-
Res(f, z_0) = (1/(n-1)!) lim_(z→z_0) (d^(n-1)/dz^(n-1))((z-z_0)^n f(z))
-
Applications of Complex Analysis
- Complex analysis has applications in:
- Electrical engineering (e.g., circuit analysis)
- Signal processing (e.g., Fourier transform)
- Quantum mechanics (e.g., wave functions)
- Number theory (e.g., prime number theorem)
复分析
复数
- 复数是形如
z = x + yi的数，其中x和y是实数，i是虚单位，满足i^2 = -1。 - 复数的集合记为
ℂ。 - 复数
z的实部和虚部分别记为Re(z)和Im(z)。
复变函数
- 复变函数
f(z)是将每个复数z映射到另一个复数w的函数。 - 函数
f(z)在点z_0是可微分的当且仅当它在z_0和z_0的邻域内是可微分的。 - 柯西-黎曼方程：函数
f(z) = u(x, y) + iv(x, y)在z_0是可微分的当且仅当它满足柯西-黎曼方程：-
∂u/∂x = ∂v/∂y -
∂u/∂y = -∂v/∂x
-
积分 along a contour
- 剖面是复平面中的 piecewise-smooth 曲线。
- 函数
f(z)沿着剖面C的积分记为∫_C f(z) dz。 - 柯西积分公式：如果
f(z)在剖面C内部和边界上是可微分的，并且z_0是C内部的一点，那么：-
f(z_0) = (1/2πi) ∫_C f(z)/(z-z_0) dz
-
残余理论
- 函数
f(z)在点z_0的残余记为Res(f, z_0)。 - 残余定理：如果
f(z)在剖面C内部和边界上是可微分的，除了点z_0内部，那么：-
∫_C f(z) dz = 2πi Res(f, z_0)
-
- 如果函数
f(z)在点z_0有阶数为n的极点，那么可以使用以下公式计算残余：-
Res(f, z_0) = (1/(n-1)!) lim_(z→z_0) (d^(n-1)/dz^(n-1))((z-z_0)^n f(z))
-
复分析应用
- 复分析在以下领域有应用：
- 电气工程（例如，电路分析）
- 信号处理（例如，傅里叶变换）
- 量子力学（例如，波函数）
- 数论（例如，素数定理）
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