Programmation Linéaire: Formulation Mathématique

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Questions and Answers

Dans la forme matricielle d'un problème linéaire, quel élément représente les coefficients de la fonction objectif ?

Matrice A

Vecteur colonne X

Vecteur ligne C (correct)

Vecteur colonne B

Quel est le rôle de la matrice A dans la représentation matricielle d'un problème linéaire ?

Représenter les constantes des contraintes

Indiquer la fonction objectif

Déterminer la taille du vecteur X

Contenir les coefficients des variables dans les contraintes (correct)

Quelle est la forme de la fonction objectif dans la représentation matricielle ?

Z = BX

Z = CA

Max (ou Min) Z = CX (correct)

AX = B

Comment les contraintes d'égalité dans un problème linéaire peuvent-elles être reformulées ?

En les transformant en inégalités larges (≤ ou ≥) Signup and view all the answers

Quel type d'algorithme peut être utilisé pour résoudre un problème linéaire en forme matricielle ?

Méthode du simplexe Signup and view all the answers

Quel est l'objectif principal de la programmation linéaire ?

Maximiser ou minimiser une fonction linéaire Signup and view all the answers

Quelle forme est utilisée pour la résolution algébrique d'un problème linéaire ?

Forme standard avec contraintes d'égalité Signup and view all the answers

Quelle taille a le vecteur colonne X dans la forme matricielle d'un problème linéaire ?

n x 1 Signup and view all the answers

Qu'est-ce qu'une fonction objectif dans un programme linéaire ?

Le critère de choix entre diverses solutions Signup and view all the answers

Quel est le format approprié pour les constantes dans les contraintes d'un problème linéaire ?

Vecteur B Signup and view all the answers

Les variables décisionnelles dans un programme linéaire doivent :

Être non-négatives Signup and view all the answers

Quel type de relations représentent les contraintes dans un programme linéaire ?

Des inégalités ou équations linéaires Signup and view all the answers

Dans la forme générale d'un programme linéaire, que représente Z ?

La fonction économique ou objectif Signup and view all the answers

Quelle est la signification de la notation '≤, =, ≥' dans un programme linéaire ?

Types de contraintes appliquées Signup and view all the answers

Comment est représentée la contrainte de non-négativité dans la formulation mathématique du programme linéaire ?

x ≥ 0 Signup and view all the answers

Quel rôle ont les coefficients C₁, C₂,... dans la fonction Z ?

Ils sont les coefficients des variables dans la fonction objectif Signup and view all the answers

Study Notes

Formulation de programmes linéaires

La programmation linéaire est une méthode mathématique pour résoudre des problèmes d'optimisation.
L'objectif est de maximiser ou minimiser une fonction linéaire (fonction objectif).
Les contraintes sont des équations ou inéquations linéaires.
Cette méthode est utilisée dans divers domaines, incluant l'économie, la finance et la logistique.
La fonction objectif représente le critère de choix entre différentes solutions possibles.
Les contraintes limitent les valeurs des variables décisionnelles.

Formulation mathématique d'un programme linéaire

La formulation peut être générale ou spécifique, selon le problème.
La forme générale d'un programme linéaire est :
- Maximiser (ou minimiser) Z = C₁x₁ + C₂x₂ + ... + Cₙxₙ
- Sous contraintes :
  - a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤/=/≥ b₁
  - a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤/=/≥ b₂
  - ...
  - aₘ₁x₁ + aₘ₂x₂ + ... + aₘₙxₙ ≤/=/≥ bₘ
- xⱼ ≥ 0, pour j = 1, 2, ..., n
X est un vecteur colonne des variables décisionnelles.
C est un vecteur ligne des coefficients de la fonction objectif.
A est une matrice des coefficients des variables dans les contraintes.
B est un vecteur colonne des constantes à droite des inégalités des contraintes.

Résolution graphique de programme linéaire

Méthode géométrique pour problèmes à deux variables.
Permet de comprendre les situations des modèles à n variables.
Une contrainte sous forme d'équation avec deux variables correspond à une ligne.
Les contrainte sous forme d'inéquations avec 2 variables correspondent à des demi-plans.
La solution optimale se trouve à un des sommets de l'ensemble des solutions réalisables.

Résolution algébrique de programme linéaire : la méthode du simplexe

L'algorithme du simplexe est une méthode itérative pour résoudre des problèmes linéaires.
Elle s'applique à des systèmes de contraintes sous forme d'équations.
Elle améliore progressivement la valeur de la fonction objectif jusqu'à la solution optimale.
Les variables d'écart sont introduites pour transformer les inégalités en égalités (contraintes de type ≤).

Dualité

Chaque programme linéaire (primal) a un programme linéaire dual.
Le dual a autant de variables que le primal a de contraintes.
Le dual a autant de contraintes que le primal a de variables.
Si le primal est de maximisation, le dual est de minimisation.
Le dual est utile pour des problèmes à grande échelle.

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Description

Ce quiz explore la formulation de programmes linéaires, une méthode mathématique clé pour l'optimisation. Vous apprendrez à maximiser ou minimiser des fonctions linéaires tout en respectant des contraintes spécifiques. Testez vos connaissances sur les principes fondamentaux de cette approche utile dans divers domaines tels que l'économie et la logistique.