Polinomios Irreducibles y Teorema de Divisibilidad

Polinomios Irreducibles

• Un polinomio se considera reducible si se puede factorizar en dos polinomios de grado positivo sobre un cuerpo conmutativo K.
• Un polinomio es irreducible si no se puede factorizar en dos polinomios de grado positivo sobre K.
• Cualquier polinomio de grado 1 es irreducible.
• Si P es irreducible, entonces λP es irreducible para cualquier λ perteneciente a K*.
• En el anillo de polinomios complejos C[x], los únicos polinomios irreducibles son los de grado 1.
• En el anillo de polinomios reales R[x], los únicos polinomios irreducibles son los de grado 1 y de grado 2 de la forma ax² + bx + c con b² - 4ac < 0.

Teorema de Divisibilidad

• Si P es un polinomio irreducible sobre K y P divide al producto QS, entonces P divide a Q o P divide a S.
• Si P divide al producto Q₁Q₂...Q_k, entonces P divide a Q_i para algún i.
• Si P divide al producto Q₁Q₂...Q_k y todos los Q_i son irreducibles, entonces P es igual a λQ_i para algún λ ∈ K y algún i.

Factorización Única

• Todo polinomio de grado positivo sobre un cuerpo conmutativo K puede factorizarse de forma única como un producto de polinomios irreducibles sobre K, excepto en lo referente al orden y a la multiplicación de los factores por constantes no nulas.

Corolario: Factorización Canónica

• Todo polinomio P de grado n > 0 sobre K se puede escribir de forma única como P = a_n P₁^α₁ P₂^α₂ ...P_k^α_k, donde a_n es el coeficiente dominante, cada P_i es un polinomio mónico irreducible con P_i ≠ P_j si i ≠ j, y cada α_i es un número natural.

Valor Numérico y Raíz de un Polinomio

• El valor de un polinomio P(x) en r ∈ K es P(r) = a₀ + a₁r +...+a_n r^n.
• El valor P(r) es el resto de la división de P(x) por x - r.
• r es una raíz de P si P(r) = 0, es decir, si P(x) es divisible por x - r.
• r es una raíz múltiple de orden α ∈ ℕ si P(x) es divisible por (x - r)α pero no por (x - r)^(α+1).

Teorema de Raíces y Factorización

• Si r₁, r₂, ..., r_k son raíces distintas de P con multiplicidades respectivas α₁, α₂, ..., α_k, existe Q ∈ K[x] tal que P(x) = (x - r₁)^α¹ (x - r₂)^α² ...(x - r_k)^α_k Q(x).

Este cuestionario abarca conceptos clave sobre polinomios irreducibles y el Teorema de Divisibilidad. Se explorarán las definiciones y propiedades de los polinomios en diferentes anillos, así como sus implicaciones en la factorización. Ideal para estudiantes de matemáticas que deseen profundizar en el tema.