Polinomios Irreducibles y Teorema de Divisibilidad
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Polinomios Irreducibles y Teorema de Divisibilidad

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Questions and Answers

¿Qué condición es necesaria para que dos polinomios sean considerados iguales?

  • Deben tener iguales sus coeficientes. (correct)
  • Deben ser polinomios constantes.
  • Deben tener el mismo grado.
  • Deben tener igual número de términos nulos.

    • Al dividir un polinomio P por otro Q ≠ 0, ¿cuál es la condición que debe cumplirse para el resto R?

  • Su grado debe ser mayor que el de Q.
  • No debe ser un polinomio nulo.
  • Su grado debe ser menor que el de Q o igual a 0. (correct)
  • Debe ser igual al cociente C.

    • ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta sobre los polinomios irreducibles?

  • Siempre tienen al menos una raíz en el cuerpo K.
  • Son polinomios con grado igual a 1 únicamente.
  • Son polinomios que se pueden factorizar en productos de polinomios de grado menor.
  • No se pueden expresar como el producto de dos polinomios no constantes. (correct)

    • ¿Cuál es la afirmación correcta acerca de la fórmula de Bézout en el contexto de polinomios?

    <p>Establece que los polinomios C y D son únicos para la división de P entre Q.</p> Signup and view all the answers

    ¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre los polinomios irreducibles es correcta?

    <p>Un polinomio de grado 1 es irreducible.</p> Signup and view all the answers

    En el teorema de factorización única, ¿qué se puede afirmar de un polinomio en K[x]?

    <p>Toda factorización puede ser simplificada en un único producto de factores irreducibles.</p> Signup and view all the answers

    Si un polinomio P tiene una raíz en A, ¿qué se puede inferir sobre su divisibilidad?

    <p>P es divisible por el polinomio (x - A).</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué se entiende por raíz de un polinomio?

    <p>Es un valor donde el polinomio se anula.</p> Signup and view all the answers

    De acuerdo con el teorema de factorización única, ¿cómo se puede expresar un polinomio de grado positivo P?

    <p>P = a_n P_1^α_1 P_2^α_2 ... P_k^α_k</p> Signup and view all the answers

    El grado de un polinomio nulo se define como:

    <p>No se le asigna un grado.</p> Signup and view all the answers

    ¿Cuál es la naturaleza del conjunto de los polinomios sobre un cuerpo conmutativo K?

    <p>Es un dominio de integridad.</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué significa que un polinomio tenga una raíz múltiple de orden α?

    <p>El polinomio es divisible por (x - r)α.</p> Signup and view all the answers

    En el contexto de la división de polinomios, ¿qué significa que P|QS?

    <p>P es un divisor común de Q y S.</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué propiedades tienen los polinomios irreducibles sobre el cuerpo de los números complejos C?

    <p>Son solo los polinomios de grado 1.</p> Signup and view all the answers

    Si un polinomio P de grado n tiene raíces r₁, r₂, ..., r_k, ¿qué señala la multiplicidad de una raíz?

    <p>Es el exponente del término correspondiente en la factoración de P.</p> Signup and view all the answers

    ¿Cuál es la característica común entre los polinomios irreducibles en el anillo de los polinomios reales R[x]?

    <p>Son aquellos de grado 1 y 2 con un discriminante negativo.</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué se necesita para que un polinomio Q sea divisor de otro polinomio P?

    <p>Que el resto de la división de P por Q sea nulo.</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué representa el máximo común divisor (mcd) de dos polinomios P y Q?

    <p>El polinomio mónico de grado máximo que divide a ambos.</p> Signup and view all the answers

    Según el algoritmo de Euclides, ¿qué ocurre con los grados de los polinomios durante la división?

    <p>Al menos uno de los grados debe disminuir en cada división.</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué establece la igualdad de Bézout para dos polinomios no nulos P y Q?

    <p>Que mcd(P,Q) se puede expresar como una combinación lineal de P y Q.</p> Signup and view all the answers

    Si P|QS y el mcd(P,Q) = 1, ¿qué se puede concluir?

    <p>P divide a S.</p> Signup and view all the answers

    En la factorización y raíces de polinomios, ¿qué implica que un polinomio sea irreducible?

    <p>Que no puede ser factorado en polinomios de grado menor en K[x].</p> Signup and view all the answers

    ¿Cuál es la consecuencia del teorema de factorización única en relación a los polinomios irreducibles?

    <p>Los polinomios irreducibles no pueden ser factorizados en más de un modo.</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué relación hay entre los divisores de un polinomio y las raíces del mismo?

    <p>Las raíces son los puntos donde el polinomio se anula, lo que indica divisores lineales.</p> Signup and view all the answers

    Study Notes

    Polinomios Irreducibles

    • Un polinomio se considera reducible si se puede factorizar en dos polinomios de grado positivo sobre un cuerpo conmutativo K.
    • Un polinomio es irreducible si no se puede factorizar en dos polinomios de grado positivo sobre K.
    • Cualquier polinomio de grado 1 es irreducible.
    • Si P es irreducible, entonces λP es irreducible para cualquier λ perteneciente a K*.
    • En el anillo de polinomios complejos C[x], los únicos polinomios irreducibles son los de grado 1.
    • En el anillo de polinomios reales R[x], los únicos polinomios irreducibles son los de grado 1 y de grado 2 de la forma ax² + bx + c con b² - 4ac < 0.

    Teorema de Divisibilidad

    • Si P es un polinomio irreducible sobre K y P divide al producto QS, entonces P divide a Q o P divide a S.
    • Si P divide al producto Q₁Q₂...Q_k, entonces P divide a Q_i para algún i.
    • Si P divide al producto Q₁Q₂...Q_k y todos los Q_i son irreducibles, entonces P es igual a λQ_i para algún λ ∈ K y algún i.

    Factorización Única

    • Todo polinomio de grado positivo sobre un cuerpo conmutativo K puede factorizarse de forma única como un producto de polinomios irreducibles sobre K, excepto en lo referente al orden y a la multiplicación de los factores por constantes no nulas.

    Corolario: Factorización Canónica

    • Todo polinomio P de grado n > 0 sobre K se puede escribir de forma única como P = a_n P₁^α₁ P₂^α₂ ...P_k^α_k, donde a_n es el coeficiente dominante, cada P_i es un polinomio mónico irreducible con P_i ≠ P_j si i ≠ j, y cada α_i es un número natural.

    Valor Numérico y Raíz de un Polinomio

    • El valor de un polinomio P(x) en r ∈ K es P(r) = a₀ + a₁r +...+a_n r^n.
    • El valor P(r) es el resto de la división de P(x) por x - r.
    • r es una raíz de P si P(r) = 0, es decir, si P(x) es divisible por x - r.
    • r es una raíz múltiple de orden α ∈ ℕ si P(x) es divisible por (x - r)α pero no por (x - r)^(α+1).

    Teorema de Raíces y Factorización

    • Si r₁, r₂, ..., r_k son raíces distintas de P con multiplicidades respectivas α₁, α₂, ..., α_k, existe Q ∈ K[x] tal que P(x) = (x - r₁)^α¹ (x - r₂)^α² ...(x - r_k)^α_k Q(x).

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