Tema 13: Polinomios. Operaciones. Fórmula de Newton. PDF

# Tema 13: Polinomios. Operaciones. Fórmula de Newton. Divisibilidad de polinomios. Fracciones racionales ## 13.1. El anillo de los polinomios ### 13.1.1. Polinomios sobre un cuerpo conmutativo. Definiciones - Un polinomio P sobre un cuerpo conmutativo K es cualquier sucesión (a) de elementos de...

# Tema 13: Polinomios. Operaciones. Fórmula de Newton. Divisibilidad de polinomios. Fracciones racionales ## 13.1. El anillo de los polinomios ### 13.1.1. Polinomios sobre un cuerpo conmutativo. Definiciones - Un polinomio P sobre un cuerpo conmutativo K es cualquier sucesión (a) de elementos de K que tiene nulos todos sus términos salvo un número finito de ellos. - Si an es el último término no nulo, el polinomio será de la forma P = (a₀, a₁, ..., a_n, 0, 0, ...) y se dirá que tiene grado n, escrito gr(P) = n. - Los escalares a₀, a₁, a₂, ... son los coeficientes del polinomio P y, si son todos nulos, se obtiene el polinomio nulo P = 0, al que no se le asigna grado. - A los polinomios (a) de grado 0, es decir, a aquellos en los que a₀ ≠ 0 y a = 0 para i = 1, 2, 3, ... se les llama polinomios constantes y se identifican con su único coeficiente no nulo: P = a. - Si P = (a) es un polinomio de grado n, entonces a ≠ 0 y se dice que a_n es el coeficiente dominante de P. Si además a_n = 1, se dice que P es mónico. ### 13.1.2. Igualdad de polinomios - Dos polinomios P = (a) y Q = (b) sobre un mismo cuerpo conmutativo K se dicen iguales si tienen iguales sus respectivos coeficientes, es decir, P = Q si, y sólo si, a = b, para i = 0, 1, 2, ... ### 13.1.3. El anillo K[x] de los polinomios - El conjunto de todos los polinomios sobre un cuerpo conmutativo K, con las operaciones siguientes de suma y producto es un dominio de integridad (anillo conmutativo y unitario sin divisores de cero). - (a) + (b) = (a + b) - (a)(b) = Σ_(k=0)^n a_k b_(n-k) ## 13.2. Divisibilidad de polinomios. Máximo común divisor - Dividir un polinomio P por otro Q ≠ 0 es hallar dos polinomios C y R, llamados cociente y resto, tales que P = QC + R, donde gr(R) < gr(Q) o R = 0. El teorema de la división establece que tal cosa siempre es posible y conduce a unos únicos C y R y prueba que K[x], además de un dominio de integridad, es un dominio euclídeo. ### 13.2.1. Teorema de la división - Si P y Q son dos polinomios sobre un cuerpo conmutativo K, con Q ≠ 0, entonces existen dos únicos polinomios C y R sobre K tales que P = QC + R, siendo gr(R) < gr(Q) o R = 0. ### 13.2.2. Observaciones - Cuando es P = 0 o gr(P) < gr(Q), el cociente de dividir P por Q es el polinomio nulo C = 0 y el resto es R = P. - Cuando es gr(P) ≥ gr(Q), se recurre al conocido algoritmo de la división, que no detallaremos aquí, para determinar C y R. - En el caso particular de que el divisor es un polinomio de primer grado, Q(x) = x - a, la división se efectúa fácilmente recurriendo a la regla de Ruffini. ### 13.2.3. Definición: Relación de divisibilidad en K[x] - Sean P y Q dos polinomios sobre un cuerpo conmutativo K, con Q ≠ 0. - Si el resto de la división de P por Q es nulo, la división se llama exacta y se dice que Q es divisor de (o que divide a) P, escrito Q|P. ### 13.2.4. Definición: Máximo común divisor - Dados dos polinomios no nulos P y Q sobre un mismo cuerpo conmutativo K, se llama máximo común divisor de P y Q, escrito mcd(P,Q), al único polinomio mónico de grado máximo entre los que dividen a P y Q. ### 13.2.5. Algoritmo de Euclides - Sean P, Q ∈ K[x] no nulos y tales que gr(P) ≥ gr(Q) (intercambiense los papeles de P y Q en caso contrario). - Si, para simplificar la notación, llamamos R₁ = P y R₂ = Q, al dividir sucesivamente se obtienen: - R_(i-1) = R_i C_(i+1) + R_(i+1), para i = 0, 1, 2, ... - los grados de R₁ = P, R₂ = Q, R₁, R₂, van disminuyendo, al menos de uno en uno, así es que forzosamente llega un momento en el que la división (de R_(i-1) entre R_) es exacta, es decir, R_(n+1) = 0. - Entonces, según el párrafo que precede a este epígrafe, - mcd(P,Q) = mcd(Q,R₁) = mcd(R₁,R₂) = ... = mcd(R_(n-1),R_n) = mcd(R_n,0) = R_n - pues obsérvese que, como a 0 le dividen todos los polinomios, los divisores comunes de R_n y 0 son exactamente los divisores de R_n. - Si en la penúltima ecuación del algoritmo, R_n = R_(n-2) - C_n R_(n-1), sustituimos R_(n-1) por su valor en la anterior, queda R_n = R_(n-2) - (R_(n-3) - R_(n-2) C_(n-1) ) C_n = (-C_n) R_(n-3) + (1 + C_(n-1) C_n) R_(n-2). - Se expresa así R_n en función de R_(n-3) y R_(n-2) como R_n = U_(n-2) R_(n-3) + V_(n-2) R_(n-2), para ciertos U_(n-2), V_(n-2) ∈ K[x]. - Continuando hacia atrás se eliminan sucesivamente R_(n-1), R_(n-2), R_(n-3)… R₁, y se llega a escribir R₁ = mcd(P,Q) como R₁ = U R₁ + V Q, para ciertos U, V ∈ K[x]. - Queda así probada la ... ### 13.2.6. Igualdad de Bezout - Si P y Q son dos polinomios no nulos de K[x], entonces existen ciertos polinomios U y V sobre K tales que mcd(P,Q) = UP + VQ. ### 13.2.7. Consecuencia: Lema de Euclides - Sean P, Q y S tres polinomios sobre un cuerpo conmutativo K. - Si P|QS y mcd(P,Q) = 1, necesariamente P|S. ## 13.3. Factorización y raíces de polinomios ### 13.3.1. Polinomios irreducibles - Un polinomio P sobre un cuerpo conmutativo K que puede factorizarse como P = QC, siendo Q y C polinomios sobre K de grado positivo, se llama reducible sobre K. - Un polinomio de grado positivo que no puede ser factorizado de esta forma se llama irreducible sobre K. ### 13.3.2. Observaciones - Es evidente que cualquier polinomio de grado 1 es irreducible y que si P es un polinomio irreducible, λP es irreducible para todo λ ∈ K*. - En el anillo C[x] de los polinomios complejos, los únicos polinomios irreducibles son los de grado 1, mientras que en el de los polinomios reales R[x] no hay más polinomios irreducibles que los de 1º grado y aquellos de 2º grado ax² + bx + c tales que b² - 4ac < 0. ### 13.3.3. Teorema - Sea P un polinomio irreducible sobre un cuerpo conmutativo K. - Si P|QS, entonces P|Q o P|S. - Si PQ₁Q₂...Q_k, entonces P|Q_i para algún i = 1,..., k. - Si PQ₁Q₂...Q_k y todos los Q_i son irreducibles, entonces P = λQ_i para algún λ∈ K y algún j = 1,...,k. ### 13.3.4. Teorema de factorización única para polinomios - Todo polinomio de grado positivo sobre un cuerpo conmutativo K puede factorizarse de forma unívoca como un producto de polinomios irreducibles sobre K, excepto en lo referente al orden y a la multiplicación de los factores por constantes no nulas. ### 13.3.5. Corolario: Factorización canónica - Cualquier polinomio P de grado n > 0 sobre un cuerpo conmutativo puede escribirse de modo único, salvo el orden de los factores, en su "forma canónica" P = a_n P₁^α₁ P₂^α₂ ... P_k^α_k - donde a_n es el coeficiente dominante de P, cada P_i es un polinomio mónico irreducible, con P_i ≠ P_j si i ≠ j, y cada α_i es natural. ### 13.3.6. Valor numérico. Raíz de un polinomio - Sea P(x) = a₀ + a₁x +...+a_n x^n un polinomio sobre un cuerpo conmutativo K y sea r ∈ K. - Se llama valor de P en r al escalar P(r) = a₀ + a₁r +...+a_n r^n, que es el resto de la división de P(x) por x - r. - Se dice que r es raíz de P si P(r) = 0, es decir, si P(x) es divisible por x - r o, lo que es igual, si P(x) = (x - r)Q(x) para algún polinomio Q. - Se dice que r es raíz múltiple de orden α ∈ ℕ si P(x) es divisible por (x - r)α pero no lo es por (x - r)^(α+1), es decir, si existe un polinomio Q con P(x) = (x - r)^α Q(x) y Q(r) ≠ 0. ### 13.3.7. Teorema - Sea P un polinomio sobre un cuerpo conmutativo K. - Si r₁, r₂, ..., r_k son raíces distintas de P con multiplicidades respectivas α₁, α₂, ..., α_k, existe Q ∈ K[x] tal que P(x) = (x - r₁)^α¹ (x - r₂)^α² ... (x - r_k)^α_k Q(x), con Q(r_i) ≠ 0, para cada i = 1,...,k. ### 13.3.8. Teorema fundamental del álgebra - Cualquier polinomio de grado positivo sobre el cuerpo C de los números complejos tiene alguna raíz en C. ### 13.3.9. Corolario: Factorización canónica en C[x] - Cualquier polinomio complejo de grado positivo n tiene n raíces en C, si se cuenta cada una de ellas tantas veces como indica su orden de multiplicidad. - Si todas las raíces de P(x) = a + a₁x + ... + a_n x^n son z₁, ..., z_k ∈ C con órdenes de multiplicidad respectivos α₁, ..., α_k (α₁ + ... + α_k = n), la descomposición canónica de P en C[x] es: P(x) = a_n (x - z₁)^α₁ (x - z₂)^α₂ ... (x - z_k)^α_k ## 13.4. El cuerpo de las fracciones racionales ### 13.4.1. El cuerpo K(x) de las fracciones racionales - Si K es un cuerpo conmutativo y K[x] es el anillo de los polinomios con coeficientes en K, se define sobre el producto cartesiano K[x] × (K[x] - {0}) la siguiente relación: (P,Q) ~ (R,S) si PS = QR. - Esta relación es de equivalencia y a la clase del par (P,Q) se le llama fracción racional y se le representa por P/Q. - El conjunto de todas las fracciones racionales sobre el cuerpo K se representa por K(x) y sobre él se definen la suma y el producto mediante: - P/Q + R/S = (PS + QR) / QS - (P/Q)(R/S) = PR/QS - Estas operaciones están bien definidas y hacen de K(x) un cuerpo conmutativo. - Las fracciones racionales cuyo denominador es Q = 1, es decir, del tipo P/1, forman un anillo isomorfo a K[x], que permite identificar la fracción racional con el polinomio P. ### 13.4.2. Reducir una fracción racional - Cualquier fracción racional P/Q no nula puede expresarse en "forma reducida", esto es, como una fracción en la que P y Q son primos entre sí. - En efecto, si D = mcd(P,Q), entonces serán P = DP_0 y Q = DQ_0, para ciertos polinomios no nulos P_0, Q_0 ∈ K[x], de manera que P/Q = DP_0/DQ_0 = P_0/Q_0. - Además, mcd(P_0,Q_0) = 1, pues si S es divisor común de P_0 y Q_0, entonces DS es divisor común de P y Q, así es que gr(DS) ≤ gr(D) y por tanto, gr(S) = 0. ### 13.4.3. Definición: Una fracción simple - Es cualquier fracción racional no nula, en la que Q es un polinomio mónico e irreducible, gr(P) < gr(Q) y α ∈ ℕ. ### 13.4.4. Teorema: Descomposición en fracciones simples - Sea K un cuerpo conmutativo y P/Q ∈ K(x) una fracción racional tal que mcd(P,Q) = 1. - Si Q = Q₁^α₁...Q_k^α_k es la descomposición canónica de Q en K[x], entonces P/Q puede expresarse de forma única (salvo el orden de los sumandos) como suma de fracciones simples del modo siguiente, en el que C ∈ K[x] es el cociente de dividir P por Q: P/Q = C + R₁/Q₁ + R₁/Q₁² + ... + R₁/Q₁^α₁ + ... + R_k/Q_k + R_k/Q_k² + ... + R_k/Q_k^α_k ### 13.4.5. Descomposición en fracciones simples (caso complejo) - Sea P/Q ∈ C(x) no nula y tal que mcd(P,Q) = 1. - Si las raíces de Q son z₁, ..., z_k con órdenes de multiplicidad respectivos α₁, ..., α_k ∈ ℕ, entonces se puede descomponer de la siguiente forma, en la que C es el cociente de dividir P por Q y A, B,..., N ∈ C: P/Q = C + A/(x - z₁) + B/(x - z₁)² + ... + N/(x - z₁)^α₁ + ... + A₂/(x - z₂)² + ... + N₂/(x - z₂)^α₂ + ... + A_k/(x - z_k)² + ... + N_k/(x - z_k)^α_k ### 13.4.6. Descomposición en fracciones simples (caso real) - Sea P/Q ∈ R(x) no nula y tal que mcd(P,Q) = 1. - Si las raíces de Q son, por un lado, r₁, ..., r_k ∈ R con órdenes de multiplicidad respectivos α₁, ..., α_k, y, por otro, u₁ ± iv₁, ..., u_n ± iv_n (complejas no reales) con multiplicidades β₁, ..., β_n, entonces se puede descomponer de la siguiente forma, en la que C es el cociente de dividir P por Q y A,..., B, C, D,..., E, F ∈ R: P/Q = C + A/(x - r₁) + ... + A_k/(x - r_k)^α_k + (Cx + D)/[(x - u₁)² + v₁²] + ... + (C_n x + D_n)/[(x - u_n)² + v_n²]^β_n