Phương trình bậc hai và cách giải

Study Notes

Phương trình bậc hai

Phương trình bậc hai có dạng ax² + bx + c = 0, trong đó a, b, c là các số thực và a ≠ 0.
Một phương trình bậc hai có hai nghiệm thực.
Các nghiệm của phương trình bậc hai có thể tìm được bằng cách sử dụng công thức nghiệm:
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

Phương trình bậc hai có dạng tích

Phương trình có dạng (ax + b)(cx + d) = 0.
Để giải phương trình, ta đặt mỗi thừa số bằng 0 và giải phương trình bậc nhất thu được:
ax+ b = 0 => x = -b/a
cx + d = 0 => x = -d/c

Ví dụ giải phương trình bậc hai

5(x − 10)(x + 20) = 0:
Đặt mỗi thừa số bằng 0:
x - 10 = 0 => x = 10
x + 20 = 0 => x = -20
Vậy nghiệm của phương trình là x = 10 hoặc x = -20.
6(3x + 4)(x − 4) = 0:
Đặt mỗi thừa số bằng 0:
3x + 4 = 0 => x = -4/3
x - 4 = 0 => x = 4
Vậy nghiệm của phương trình là x = -4/3 hoặc x = 4.
7.x² + 18x + 32 = 0:
Sử dụng công thức nghiệm: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)
Thay a = 7, b = 18, c = 32 vào công thức: x = (- 18 ± √(18² - 4 * 7 * 32)) / (2 * 7) x = (-18 ± √(-576)) / 14 x = (-18 ± 24i) / 14
Vậy nghiệm của phương trình là x = (-9 ± 12i) / 7
8.x² − 4x − 21 = 0:
Sử dụng công thức nghiệm: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)
Thay a = 1, b = -4, c = -21 vào công thức: x = (4 ± √((-4)² - 4 * 1 * -21)) / (2 * 1) x = (4 ± √100) / 2 x = (4 ± 10) / 2
Vậy nghiệm của phương trình là x = 7 hoặc x = -3.
9.x² + 2x = −1:
Chuyển vế:
x² + 2x + 1 = 0
Sử dụng công thức nghiệm: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)
Thay a = 1, b = 2, c = 1 vào công thức: x = (-2 ± √(2² - 4 * 1 * 1)) / (2 * 1) x = (-2 ± √0) / 2 x = -1
Vậy nghiệm của phương trình là x = -1.
10.x² − 8x = 9:
Chuyển vế:
x² - 8x - 9 = 0
Sử dụng công thức nghiệm: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)
Thay a = 1, b = -8, c = -9 vào công thức: x = (8 ± √((-8)² - 4 * 1 * -9)) / (2 * 1) x = (8 ± √100) / 2 x = (8 ± 10) / 2
Vậy nghiệm của phương trình là x = 9 hoặc x = -1.
11.2 x² + x = 15:
Chuyển vế:
2x² + x - 15 = 0
Sử dụng công thức nghiệm: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)
Thay a = 2, b = 1, c = -15 vào công thức: x = (-1 ± √(1² - 4 * 2 * -15)) / (2 * 2) x = (-1 ± √121) / 4 x = (-1 ± 11) / 4
Vậy nghiệm của phương trình là x = 5/2 hoặc x = -3.
1. 5x² − 19x = −18:
Chuyển vế:
5x² - 19x + 18 = 0
Sử dụng công thức nghiệm: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)
Thay a = 5, b = -19, c = 18 vào công thức: x = (19 ± √((-19)² - 4 * 5 * 18)) / (2 * 5) x = (19 ± √1) / 10 x = (19 ± 1) / 10
Vậy nghiệm của phương trình là x = 2 hoặc x = 9/5.

Đồ thị hàm số bậc hai

Đồ thị của hàm số bậc hai f(x) = ax² + bx + c là một parabol.
Đỉnh của parabol nằm ở tọa độ x = -b / (2a).
Parabol mở lên trên nếu a > 0 và mở xuống dưới nếu a < 0.
Các nghiệm của phương trình bậc hai tương ứng với các điểm mà parabol cắt trục hoành (y = 0).

Ví dụ về đồ thị hàm số bậc hai

f(x) = x² + 2x – 8:
- Đỉnh parabol nằm ở x = -2 / (2*1) = -1.
- Thay x = -1 vào hàm số: f(-1) = (-1)² + 2*(-1) - 8 = -9.
- Vậy đỉnh parabol nằm ở điểm (-1, -9).
- Parabol mở lên trên vì a = 1 > 0.
- Các nghiệm của phương trình bậc hai tương ứng với các điểm mà parabol cắt trục hoành (y =0):
- (x + 4) (x − 2) = 0
- (x − 2) = 0 => x = 2
- (x + 4) = 0 => x = −4.
- Vậy đồ thị hàm số bậc hai cắt trục hoành tại các điểm (2, 0) và (-4, 0).