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Questions and Answers
Qu'est-ce qu'un maximum d'une fonction f sur un intervalle I?
Qu'est-ce qu'un maximum d'une fonction f sur un intervalle I?
a est un maximum de f sur I si, pour tout x dans I, f(x) ≤ f(a)
Qu'est-ce qu'un minimum d'une fonction f sur un intervalle I?
Qu'est-ce qu'un minimum d'une fonction f sur un intervalle I?
a est un minimum de f sur I si, pour tout x dans I, f(x) ≥ f(a)
Qu'est-ce qu'un extremum d'une fonction f?
Qu'est-ce qu'un extremum d'une fonction f?
C'est un maximum ou un minimum de f
La dérivée d'une fonction atteind un maximum local n'est jamais nulle.
La dérivée d'une fonction atteind un maximum local n'est jamais nulle.
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Que signifie que a soit un maximum local de f?
Que signifie que a soit un maximum local de f?
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Quel est le théorème de Rolle?
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Quel est le contenu de l'égalité des accroissements finis?
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Que se passe-t-il lorsque g(a) = g(b)?
Que se passe-t-il lorsque g(a) = g(b)?
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Study Notes
Maximum, Minimum, Extremum
- Intervalle I de R et fonction f : I → R.
- a ∈ I est un maximum de f si ∀x ∈ I, f(x) ≤ f(a).
- a ∈ I est un minimum de f si ∀x ∈ I, f(x) ≥ f(a).
- a est un extremum local s'il existe un intervalle J ⊆ I autour de a où a est un maximum ou un minimum.
Théorème de Rolle
- Si a est un extremum local et f dérivable en a, alors f'(a) = 0.
- Pour un maximum local, f(a + h) < f(a) pour h > 0 et f(a + h) > f(a) pour h < 0.
- Cela implique que la dérivée à droite est négative et la dérivée à gauche est positive.
- Réciproque fausse : f(x) = x³ en 0.
Corollaire du Théorème de Rolle
- Si f est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[ avec f(a) = f(b), alors il existe c ∈ ]a, b[ tel que f'(c) = 0.
- Le théorème fondamental : toute fonction continue sur un intervalle fermé admet un maximum et un minimum.
Égalité des Accroissements Finis
- Soit f : [a, b] → R continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[.
- Il existe c ∈ ]a, b[ tel que f(b) - f(a) = f'(c)(b - a).
- La fonction g est définie par g(x) = [f(b) - f(a)] / (b - a) pour permettre l'application du théorème de Rolle à g.
Application
- À g(a), g(b) = f(a) et g(b) = f(b) - f(a)/(b - a).
- Si g(a) = g(b), on conclut que g'(c) = 0, d'où f(b) - f(a) = f'(c)(b - a).
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Description
Ce quiz porte sur le chapitre 3 du cours d'outils mathématiques 2, qui couvre le théorème des accroissements finis. Les étudiants de Licence 1 en Physique-Chimie et Sciences pour l'ingénieur pourront tester leurs connaissances sur les concepts de maximum, minimum et extrême. Préparez-vous à approfondir votre compréhension mathématique.
