Outils mathématiques 2 Chapitre 3

Qu'est-ce qu'un maximum d'une fonction f sur un intervalle I?

Qu'est-ce qu'un minimum d'une fonction f sur un intervalle I?

Qu'est-ce qu'un extremum d'une fonction f?

La dérivée d'une fonction atteind un maximum local n'est jamais nulle.

Que signifie que a soit un maximum local de f?

Quel est le théorème de Rolle?

Quel est le contenu de l'égalité des accroissements finis?

Que se passe-t-il lorsque g(a) = g(b)?

Maximum, Minimum, Extremum

Intervalle I de R et fonction f : I → R.
a ∈ I est un maximum de f si ∀x ∈ I, f(x) ≤ f(a).
a ∈ I est un minimum de f si ∀x ∈ I, f(x) ≥ f(a).
a est un extremum local s'il existe un intervalle J ⊆ I autour de a où a est un maximum ou un minimum.

Théorème de Rolle

Si a est un extremum local et f dérivable en a, alors f'(a) = 0.
Pour un maximum local, f(a + h) < f(a) pour h > 0 et f(a + h) > f(a) pour h < 0.
Cela implique que la dérivée à droite est négative et la dérivée à gauche est positive.
Réciproque fausse : f(x) = x³ en 0.

Corollaire du Théorème de Rolle

Si f est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[ avec f(a) = f(b), alors il existe c ∈ ]a, b[ tel que f'(c) = 0.
Le théorème fondamental : toute fonction continue sur un intervalle fermé admet un maximum et un minimum.

Égalité des Accroissements Finis

Soit f : [a, b] → R continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[.
Il existe c ∈ ]a, b[ tel que f(b) - f(a) = f'(c)(b - a).
La fonction g est définie par g(x) = [f(b) - f(a)] / (b - a) pour permettre l'application du théorème de Rolle à g.

Application

À g(a), g(b) = f(a) et g(b) = f(b) - f(a)/(b - a).
Si g(a) = g(b), on conclut que g'(c) = 0, d'où f(b) - f(a) = f'(c)(b - a).

Ce quiz porte sur le chapitre 3 du cours d'outils mathématiques 2, qui couvre le théorème des accroissements finis. Les étudiants de Licence 1 en Physique-Chimie et Sciences pour l'ingénieur pourront tester leurs connaissances sur les concepts de maximum, minimum et extrême. Préparez-vous à approfondir votre compréhension mathématique.