Nombres Entiers Relatifs en Mathématiques

Study Notes

Définitions

Nombres entiers relatifs : Ce sont des nombres qui incluent les entiers positifs, les entiers négatifs et zéro.
- Exemples : -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.
Notation : Les entiers relatifs sont souvent notés comme ℤ, représentant l'ensemble des nombres entiers.

Propriétés Des Entiers Relatifs

Ordre :
- Les entiers relatifs peuvent être ordonnés : pour tout a, b ∈ ℤ, soit a < b, a = b ou a > b.
- Zéro est considéré comme le point d'origine, avec les nombres négatifs à gauche et les nombres positifs à droite.
Addition :
- L’addition de deux entiers relatifs est associative et commutative.
- Pour tout a, b ∈ ℤ, a + b ∈ ℤ.
- L'élément neutre est 0 : a + 0 = a.
- L'opposé d'un entier a est -a, et a + (-a) = 0.
Multiplication :
- La multiplication de deux entiers relatifs est associative et commutative.
- Pour tout a, b ∈ ℤ, a × b ∈ ℤ.
- L'élément neutre est 1 : a × 1 = a.
- a × 0 = 0 pour tout a ∈ ℤ.
- Le produit de deux entiers de même signe est positif, tandis que le produit de deux entiers de signes opposés est négatif.
Distributivité :
- La multiplication est distributive par rapport à l'addition : a × (b + c) = a × b + a × c.
Inverses :
- Chaque entier relatif a un inverse additif (son opposé).
- Les entiers relatifs n’ont pas d’inverse multiplicatif sauf pour ±1.
Propriétés de l'ordre :
- Si a < b, alors a + c < b + c pour tout c ∈ ℤ.
- Si a < b et c > 0, alors a × c < b × c.
- Si a < b et c < 0, alors a × c > b × c.
Divisibilité :
- Un entier a est dit divisible par un entier b (b ≠ 0) si a = k × b pour un certain k ∈ ℤ.

Ces propriétés et définitions forment la base des nombres entiers relatifs et leur manipulation dans les mathématiques.

Définitions

Nombres entiers relatifs : Incluent les entiers positifs, négatifs, et zéro, notés ℤ.
Exemples : -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

Propriétés des entiers relatifs

Ordre :
- Les entiers relatifs peuvent être ordonnés : a < b, a = b, ou a > b.
- Zéro est l'origine ; les nombres négatifs sont à gauche, les positifs à droite.
Addition :
- Associativité et commutativité de l'addition : a + b = b + a.
- Résultat de l'addition d'entiers relatifs est un entier relatif : a + b ∈ ℤ.
- Éléments neutres : 0 comme neutre additionnel : a + 0 = a.
- L’opposé d’un entier a est -a, avec la relation a + (-a) = 0.
Multiplication :
- Multiplication associative et commutative : a × b = b × a.
- Résultat de la multiplication d'entiers relatifs est un entier relatif : a × b ∈ ℤ.
- Éléments neutres : 1 comme neutre multiplicatif : a × 1 = a.
- Propriété : a × 0 = 0 pour tout a ∈ ℤ.
- Règle sur le signe : produit de deux entiers de même signe est positif ; opposés est négatif.
Distributivité :
- La multiplication est distributive par rapport à l'addition : a × (b + c) = a × b + a × c.
Inverses :
- Chaque entier a un inverse additif : son opposé.
- Absence d’inverse multiplicatif sauf pour ±1.
Propriétés de l'ordre :
- Si a < b, alors a + c < b + c pour tout c ∈ ℤ.
- Si a < b et c > 0, alors a × c < b × c.
- Si a < b et c < 0, alors a × c > b × c.
Divisibilité :
- Un entier a est divisible par b (b ≠ 0) si a = k × b pour un certain k ∈ ℤ.

Conclusion

Les propriétés et définitions des nombres entiers relatifs sont essentielles pour leur manipulation dans les mathématiques.

Description

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