Nombres Complexes: Chapitre 1

Chapitre 1 : Les nombres complexes

• Dans $\mathbb{R}$, des équations comme $x^2 + 1 = 0$ n'ont pas de solution.
• Un ensemble de nombres, noté $\mathbb{C}$, est créé pour donner des solutions à ces équations.

Définition

• Un nombre complexe $z$ est de la forme $z = a + ib$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels et $i$ est un nombre imaginaire tel que $i^2 = -1$.
  • $a$ est la partie réelle de $z$, notée $Re(z) = a$.
  • $b$ est la partie imaginaire de $z$, notée $Im(z) = b$.
• Exemple: $z = 3 + 2i$ a $Re(z) = 3$ et $Im(z) = 2$.
• Si $b = 0$, alors $z$ est un nombre réel et $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$.
• Si $a = 0$, alors $z = ib$ est un imaginaire pur.

Égalité

• Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et imaginaires sont égales.
• $z = a + ib$ et $z' = a' + ib'$ sont égaux si et seulement si $a = a'$ et $b = b'$.

II. Opérations sur les nombres complexes

Addition et Soustraction

• $z = a + ib$ et $z' = a' + ib'$.
• $z + z' = (a + a') + i(b + b')$.
• $z - z' = (a - a') + i(b - b')$.
• Exemple: Si $z = 3 - 5i$ et $z' = -7 + 2i$, alors $z + z' = -4 - 3i$ et $z - z' = 10 - 7i$.

Multiplication

• $z \cdot z' = (a + ib)(a' + ib') = (aa' - bb') + i(ab' + ba')$.
• Exemple : $z = 2 - 3i$ et $z' = 5 + i$ donne $z \cdot z' = 13 - 13i$.

Conjugué

• Le conjugué d'un nombre complexe $z = a + ib$ est $\overline{z} = a - ib$.
• Exemple: Si $z = 3 + 5i$, alors $\overline{z} = 3 - 5i$.
• Propriétés:
  • $\overline{z + z'} = \overline{z} + \overline{z'}$.
  • $\overline{z \cdot z'} = \overline{z} \cdot \overline{z'}$.
  • $\overline{\overline{z}} = z$.
  • $z + \overline{z} = 2Re(z)$.
  • $z - \overline{z} = 2iIm(z)$.
  • $z \cdot \overline{z} = a^2 + b^2$.

Division

• Pour diviser des nombres complexes, on utilise le conjugué.
• $\frac{z}{z'} = \frac{a + ib}{a' + ib'} = \frac{(a + ib)(a' - ib')}{a'^2 + b'^2}$.
• Exemple: Si $z = 1 + i$ et $z' = 2 - 3i$, alors $\frac{z}{z'} = -\frac{1}{13} + \frac{5}{13}i$.

Algèbre linéaire

1. Vecteurs

• Scalaire : Nombre réel ($\mathbb{R}$) ou complexe ($\mathbb{C}$).

• Vecteur : Objet caractérisé par une norme (longueur) et une direction.

  • Vecteur de $\mathbb{R}^n$ : Liste ordonnée de $n$ nombres réels.
  • Notation: $\overrightarrow{AB}$ ou $\vec{v}$ ou $\mathbf{v}$.

• Base canonique de $\mathbb{R}^n$:

  $\vec{e_1} = \begin{bmatrix} 1 \ 0 \ \vdots \ 0 \end{bmatrix}$, $\vec{e_2} = \begin{bmatrix} 0 \ 1 \ \vdots \ 0 \end{bmatrix}$,..., $\vec{e_n} = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \ \vdots \ 1 \end{bmatrix}$

• Combinaison linéaire: $\vec{v} = \alpha_1 \vec{v_1} +... + \alpha_n \vec{v_n}$, où $\alpha_i$ sont des scalaires.

1.2 Opérations

• Addition: $\vec{u} + \vec{v} = \begin{bmatrix} u_1 + v_1 \ \vdots \ u_n + v_n \end{bmatrix}$

• Multiplication par un scalaire: $\alpha \vec{v} = \begin{bmatrix} \alpha v_1 \ \vdots \ \alpha v_n \end{bmatrix}$

• Produit scalaire: $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 +... + u_n v_n = \sum_{i=1}^n u_i v_i = ||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}|| \cdot cos(\theta)$

• Norme (longueur): $||\vec{v}|| = \sqrt{\vec{v} \cdot \vec{v}} = \sqrt{v_1^2 +... + v_n^2}$

• Distance: $d(\vec{u}, \vec{v}) = ||\vec{u} - \vec{v}||$

• Angle (entre deux vecteurs): $cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}||}$

• Vecteurs orthogonaux: $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$

• Vecteurs colinéaires: $\vec{u} = \alpha \vec{v}$

• Produit vectoriel (dans $\mathbb{R}^3$):

  $\vec{u} \times \vec{v} = \begin{bmatrix} u_2 v_3 - u_3 v_2 \ u_3 v_1 - u_1 v_3 \ u_1 v_2 - u_2 v_1 \end{bmatrix}$

2. Matrices

• Matrice: Tableau de nombres (scalaires).
  • $m$ lignes, $n$ colonnes $\rightarrow$ matrice $m \times n$.
  • Notation: $A = [a_{ij}]$, où $a_{ij}$ est l'élément à la ligne $i$ et colonne $j$.
• Matrice identité: $I_n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \ 0 & 1 & \cdots & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}$

2.2 Opérations

• Addition: $A + B = [a_{ij} + b_{ij}]$ (matrices de même taille).
• Multiplication par un scalaire: $\alpha A = [\alpha a_{ij}]$.
• Multiplication de matrices: $(AB){ij} = \sum{k=1}^n a_{ik} b_{kj}$ (nombre de colonnes de A = nombre de lignes de B).

3. Applications linéaires

• Application linéaire: Fonction $f: E \rightarrow F$ (où $E$ et $F$ sont des espaces vectoriels) telle que:
• $f(\vec{u} + \vec{v}) = f(\vec{u}) + f(\vec{v})$
• $f(\alpha \vec{v}) = \alpha f(\vec{v})$
• Noyau (kernel): $Ker(f) = {\vec{v} \in E \ | \ f(\vec{v}) = \vec{0} }$

4. Déterminants

• Déterminant: Fonction qui associe un scalaire à une matrice carrée.
• Notation: $det(A)$ ou $|A|$.
• Calcul:
• Matrice $2 \times 2$: $det(\begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix}) = ad - bc$
• $A$ est inversible $\Leftrightarrow$ $det(A) \neq 0$.

5. Systèmes d'équations linéaires

• Système d'équations linéaires: Ensemble d'équations linéaires.
• Forme matricielle: $Ax = b$, où $A$ est la matrice des coefficients, $x$ le vecteur des inconnues, et $b$ le vecteur des constantes.

5.2 Méthodes de résolution

• Élimination de Gauss: Transformation du système en un système équivalent échelonné (triangulaire supérieur).

6. Valeurs propres et vecteurs propres

• Valeur propre: Scalaire $\lambda$ tel que $A\vec{v} = \lambda \vec{v}$ pour un vecteur non nul $\vec{v}$.
• Vecteur propre: Vecteur non nul $\vec{v}$ tel que $A\vec{v} = \lambda \vec{v}$ pour une valeur propre $\lambda$.
• Équation caractéristique: $det(A - \lambda I) = 0$. Les racines de cette équation sont les valeurs propres.
• Une matrice $n \times n$ a au plus $n$ valeurs propres distinctes.

6.3 Diagonalisation

• Matrice diagonalisable: Une matrice $A$ est diagonalisable s'il existe une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $A = PDP^{-1}$.

Chapitre 10 : Photosynthèse

10.1 Photosynthèse : La Base de la Vie

• Les autotrophes créent leur propre nourriture
  • Les photoautotrophes utilisent la lumière
  • Les chemoautotrophes utilisent des produits chimiques
• Les hétérotrophes consomment des autotrophes ou d'autres hétérotrophes
• La photosynthèse convertit l'énergie lumineuse en énergie chimique
  • $6CO_2 + 6H_2O \rightarrow C_6H_{12}O_6 + 6O_2$
  • L'eau est divisée, pas le dioxyde de carbone
  • La photosynthèse est une réaction redox
    • $CO_2$ est réduit
    • $H_2O$ est oxydé
  • La photosynthèse est endergonique
    • Requiert de l'énergie

10.2 Le Chloroplaste : Lieu de la Photosynthèse

• Structure du chloroplaste
  • Thylakoïdes : membranes aplaties en forme de sacs
  • Grana : Pile de thylakoïdes
  • Stroma : Espace rempli de fluide
• Pigments photosynthétiques
  • Les pigments absorbent différentes longueurs d'onde de la lumière
  • Chlorophylle a
    • Absorbe la lumière bleue-violette et rouge
    • Participe directement aux réactions lumineuses
  • Chlorophylle b
    • Absorbe la lumière bleue et orange
  • Caroténoïdes
    • Absorbent la lumière violette et bleu-vert
    • Photoprotection

Afficher un aperçu de la photosynthèse

10.3 Les Réactions Lumineuses : Conversion de l'Énergie Solaire en Énergie Chimique

• Capture de l'énergie lumineuse
  • Photosystème : Complexe protéique avec chlorophylle
  • Complexe du centre de réaction : Molécules de chlorophylle a qui déclenchent les réactions lumineuses
  • Complexe de collecte de la lumière : Molécules de pigment liées aux protéines, transfert d'énergie au centre de réaction
• Flux d'électrons linéaire
  • La lumière frappe le photosystème II
  • L'eau est divisée, les électrons sont transférés à P680
  • L'électron excité est transmis à la phéophytine
  • L'électron est transmis à la plastoquinone (Pq)
  • L'électron est transmis au complexe cytochrome
    • Les protons sont pompés dans l'espace thylakoïde
  • L'électron est transmis à la plastocyanine (Pc)
  • La lumière frappe le photosystème I
  • L'électron est transmis à P700
  • L'électron excité est transmis à la ferredoxine (Fd)
  • L'électron est transmis à NADP+ réductase
  • $NADP^+$ est réduit en NADPH
• Chémiosmose
  • Un gradient de protons est généré à travers la membrane thylakoïde
  • L'ATP synthase utilise le gradient de protons pour générer de l'ATP
  • L'ATP et le NADPH sont libérés dans le stroma

10.4 Le Cycle de Calvin : Fabrication de Sucre à partir du Dioxyde de Carbone

• Se produit dans le stroma
• Le carbone entre sous forme de $CO_2$ et sort sous forme de sucre
• L'ATP est la source d'énergie, le NADPH est le pouvoir réducteur
• 3 phases
  • Fixation du carbone : $CO_2$ est attaché au RuBP par rubisco
  • Réduction : $CO_2$ est réduit en G3P
  • Régénération : Le RuBP est régénéré à partir de G3P
• Globalement: 3 $CO_2$ + 9 ATP + 6 NADPH $\rightarrow$ 1 G3P
  • Le G3P peut être utilisé pour fabriquer du glucose et d'autres molécules organiques

10.5 Mécanismes Alternatifs : Adaptations aux Conditions Environnementales

• La déshydratation est un problème pour les plantes
  • Les plantes ferment les stomates pour conserver l'eau
    • Réduit l'accès au $CO_2$
    • Provoque l'accumulation d'$O_2$
• La photorespiration
  • Le rubisco se lie à l'$O_2$ au lieu du $CO_2$
  • Consomme de l'ATP et libère du $CO_2$
  • Se produit lorsque les niveaux d'$O_2$ sont élevés et les niveaux de $CO_2$ sont bas
• Plantes $C_4$
  • Le $CO_2$ est d'abord fixé en un composé à 4 carbones
  • Se produit dans les cellules du mésophylle
  • Le composé à 4 carbones est exporté vers les cellules de la gaine vasculaire
  • Le $CO_2$ est libéré et entre dans le cycle de Calvin
  • Minimise la photorespiration
• Plantes CAM
  • Ouvrent les stomates la nuit et les ferment pendant la journée
  • Le $CO_2$ est fixé en acides organiques la nuit
  • Pendant la journée, le $CO_2$ est libéré des acides organiques et entre dans le cycle de Calvin
  • Permet aux plantes de survivre dans des conditions très sèches
• La photosynthèse est importante pour la vie sur Tere
  • Source de toute la nourriture sur Terre
  • Produit de l'$O_2$
  • Supprime le $CO_2$ de l'atmosphère
  • Modère le changement climatique

Cinétique chimique

• La cinétique chimique, également connue sous le nom de cinétique des réactions, est l'étude des vitesses de réaction.

Vitesse de réaction

• La vitesse de réaction est la vitesse à laquelle les réactifs sont convertis en produits dans une réaction chimique.
• Elle peut être exprimée comme le changement de concentration d'un réactif ou d'un produit par unité de temps.

$Rate = -\frac{\Delta[Reactant]}{\Delta t} = \frac{\Delta[Product]}{\Delta t}$

Facteurs affectant la vitesse de réaction

• Concentration des réactifs : L'augmentation de la concentration des réactifs augmente généralement la vitesse de réaction.
• Température : Des températures plus élevées augmentent généralement la vitesse de réaction.
• Surface : Pour les réactions impliquant des solides, l'augmentation de la surface du réactif solide augmente la vitesse de réaction.
• Catalyseurs : Les catalyseurs sont des substances qui augmentent la vitesse de réaction sans être consommées dans la réaction.
• Pression : Pour les réactions impliquant des gaz, l'augmentation de la pression augmente généralement la vitesse de réaction car elle augmente la concentration des réactifs gazeux.
• Lumière : certaines réactions sont initiées ou accélérées par la lumière (réactions photochimiques).

Lois de vitesse

• Une loi de vitesse est une équation qui exprime la vitesse d'une réaction chimique en termes de concentrations des réactifs.

$Rate = k[A]^m[B]^n$

• $k$ : constante de vitesse
• $[A]$ et $[B]$ : concentrations des réactifs A et B
• $m$ et $n$ : ordres de réaction par rapport aux réactifs A et B. L'ordre global de la réaction est $m + n$

Détermination des ordres de réaction

Les ordres de réaction ($m$ et $n$) doivent être déterminés expérimentalement :

1. Méthode des vitesses initiales
2. Lois de vitesse intégrées

Énergie d'activation

• L'énergie d'activation ($E_a$) est l'énergie minimale requise pour qu'une réaction chimique se produise.

Équation d'Arrhenius

• L'équation d'Arrhenius relie la constante de vitesse ($k$) d'une réaction à l'énergie d'activation ($E_a$) et à la température ($T$) :

$k = Ae^{-\frac{E_a}{RT}}$

Et

$ln(k) = ln(A) - \frac{E_a}{RT}$

• $A$ : facteur pré-exponentiel
• $R$ : constante des gaz ($8.314 J/(mol \cdot K)$)
• $T$ : température absolue (en Kelvin)

Mécanismes de réaction

• Un mécanisme de réaction est une séquence étape par étape de réactions élémentaires par laquelle une réaction chimique se produit.
• Exemple de mécanisme:*

$2NO(g) + O_2(g) \rightarrow 2NO_2(g)$

• $NO(g) + NO(g) \rightleftharpoons N_2O_2(g)$
• $N_2O_2(g) + O_2(g) \rightarrow 2NO_2(g)$

Dans ce mécanisme, $N_2O_2(g)$ est un intermédiaire. La loi de vitesse de la réaction globale est déterminée par l'étape déterminant la vitesse :

$Rate = k'[NO]^2[O_2]$

Catalyse

La catalyse est le processus d'augmentation de la vitesse d'une réaction en ajoutant une substance connue sous le nom de catalyseur, qui n'est pas consommée dans la réaction.

Types de catalyse

1. Catalyse homogène
2. Catalyse hétérogène
3. Catalyse enzymatique

Comment fonctionnent les catalyseurs

Les catalyseurs fournissent une voie de réaction alternative avec une énergie d'activation plus faible, augmentant ainsi la vitesse de réaction.

Exemples de catalyse

• Catalyse homogène : Estérification catalysée par un acide
• Catalyse hétérogène : Hydrogénation des alcènes à l'aide d'un catalyseur métallique (par exemple, Pt, Pd, Ni)
• Catalyse enzymatique : Hydrolyse de l'amidon par l'amylase

Conclusion

La cinétique chimique est l'étude des vitesses de réaction et les facteurs qui les affectent.

Propriétés de la transformée de Fourier

• La transformée de Fourier est un outil mathématique utilisé pour analyser les signaux et les fonctions.
• Elle décompose une fonction en ses fréquences constituantes.

Linéarité

• La transformée de Fourier d'une combinaison linéaire de fonctions est égale à la combinaison linéaire des transformées de Fourier individuelles. $F[af(t) + bg(t)] = aF(f(t)) + bF(g(t)) = aF(\omega) + bG(\omega)$

Mise à l'échelle temporelle

• La mise à l'échelle du temps d'une fonction par un facteur a entraîne une mise à l'échelle inverse de sa transformée de Fourier par un facteur de 1/|a|. $F[f(at)] = \frac{1}{|a|}F(\frac{\omega}{a})$

Décalage temporel

• Un décalage temporel de $t_0$ dans une fonction entraîne un déphasage de $-\omega t_0$ dans sa transformée de Fourier. $F[f(t - t_0)] = e^{-j\omega t_0}F(\omega)$

Décalage de fréquence

La multiplication d'une fonction par $e^{j\omega_0t}$ dans le domaine temporel entraîne un décalage de sa transformée de Fourier de $\omega_0$ dans le domaine fréquentiel.

$F[e^{j\omega_0t}f(t)] = F(\omega - \omega_0)$

• La transformée de Fourier d'une convolution de deux fonctions dans le domaine temporel est égale au produit de leurs transformées de Fourier. $F[f(t) * g(t)] = F(\omega)G(\omega)$
• Multiplication: $F[f(t)g(t)] = \frac{1}{2\pi}[F(\omega) * G(\omega)]$

Différenciation dans le temps

$F[\frac{df(t)}{dt}] = j\omega F(\omega)$

• Nème dérivation $F[\frac{d^n f(t)}{dt^n}] = (j\omega)^n F(\omega)$

Intégration dans le temps

$F[\int_{-\infty}^{t} f(\tau) d\tau] = \frac{1}{j\omega}F(\omega) + \pi F(0)\delta(\omega)$

Multiplication par le temps

$F[tf(t)] = j\frac{dF(\omega)}{d\omega}$

• Multipliez par N $F[t^n f(t)] = j^n \frac{d^n F(\omega)}{d\omega^n}$

Dualité

$F(t) \leftrightarrow 2\pi f(-\omega)$

• Si $f(t) \leftrightarrow F(\omega)$

Théorème de Parseval

$\int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|^2 dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} |F(\omega)|^2 d\omega$

Constante de planck

• Symbole : $h$
• Nommé d'après : Max Planck
• Nature : Une constante fondamentale en mécanique quantique.
• Rôle : relie l'énergie d'un photon à sa fréquence.
• Signification : Quantifie l'énergie, le moment cinétique et d'autres quantités physiques

Définition

$E = h \nu$

Où :

• $E$ est l'énergie du photon.
• $\nu$ est la fréquence du photon.
• $h$ est la constante de Planck

Valeur

• 6,62607015 x 10-34 J⋅s $h =$
• $h = 4.135667696 \times 10^{-15} eV \cdot s$

En contexte :

• Mécanique quantique
• Physique atomique et des particules
• Physique du solide

Applications

• Calcul de l'énergie des photons.
• Détermination des longueurs d'onde des particules.
• Compréhension du comportement des systèmes quantiques.

Impact

• A révolutionné notre compréhension du monde microscopique.
• A conduit au développement de nouvelles technologies, telles que les lasers et les transistors.
• Continue d'être une pierre angulaire de la physique moderne.