Barrières cutanéo-muqueuses

Nombres Complexes : Définition

• Un nombre complexe se définit par la forme $a + bi$, où a et b sont des nombres réels, et $i$ est l'unité imaginaire($i = \sqrt{-1}$).
• La partie réelle est représentée par $a$, ou $Re(z)$.
• La partie imaginaire est représentée par $b$, ou $Im(z)$.
• L'ensemble de tous les nombres complexes est noté $\mathbb{C}$.

Opérations arithmétiques

• Addition : Pour $z_1 = a + bi$ et $z_2 = c + di$, $z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i$.
• Soustraction : $z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)i$.
• Multiplication : $z_1 \cdot z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$.
• Division : $\frac{z_1}{z_2} = \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}$.

Conjugué complexe

• Le conjugué complexe de $z = a + bi$ est $\bar{z} = a - bi$.
• Propriétés des conjugués :
• $\overline{z_1 + z_2} = \bar{z_1} + \bar{z_2}$.
• $\overline{z_1 - z_2} = \bar{z_1} - \bar{z_2}$.
• $\overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z_1} \cdot \bar{z_2}$.
• $\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\bar{z_1}}{\bar{z_2}}$.
• $\overline{\bar{z}} = z$.
• $z + \bar{z} = 2Re(z) = 2a$.
• $z - \bar{z} = 2iIm(z) = 2bi$.
• $z \cdot \bar{z} = a^2 + b^2 = |z|^2$.

Module (Valeur absolue)

• Le module d'un nombre complexe $z = a + bi$ est $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.
• Propriétés du module :
• $|z| \geq 0$.
• $|z| = |\bar{z}|$.
• $|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$.
• $\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$.
• $|Re(z)| \leq |z|$.
• $|Im(z)| \leq |z|$.
• $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$ (Inégalité triangulaire).
• $|z_1 - z_2| \geq ||z_1| - |z_2||$.

Argument

• L'argument d'un nombre complexe $z = a + bi$ est l'angle $\theta$ tel que $a = |z| \cos(\theta)$ et $b = |z| \sin(\theta)$.
• $\theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)$.
• L'argument principal est l'unique argument $\theta$ tel que $-\pi < \theta \leq \pi$, noté $Arg(z)$.

Forme polaire

• Un nombre complexe $z = a + bi$ peut être représenté sous forme polaire comme $z = r(\cos(\theta) + i\sin(\theta))$.
• Ici $r = |z|$ est le module de $z$ et $\theta$ est l'argument de $z$.

Formule d'Euler

• $e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)$.
• En utilisant la formule d'Euler, la forme polaire peut être écrite comme : $z = re^{i\theta}$.

Théorème de De Moivre

• Pour tout nombre complexe $z = r(\cos(\theta) + i\sin(\theta))$ et tout entier $n$, $z^n = r^n(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta))$.
• À l'aide de la formule d'Euler, $(re^{i\theta})^n = r^n e^{in\theta}$.

Racines de nombres complexes

• Pour trouver les racines $n$-ièmes d'un nombre complexe $z = re^{i\theta}$, on utilise la formule $w_k = \sqrt[n]{r} e^{i\left(\frac{\theta + 2\pi k}{n}\right)}$.
• Où $k = 0, 1, 2,..., n-1$, ce qui donne $n$ racines distinctes.

Vecteurs

Somme de vecteurs 

• Méthode graphique : Les vecteurs sont placés séquentiellement en conservant leur module, leur direction et leur sens. Le vecteur résultant relie le point de départ du premier vecteur au point final du dernier vecteur.
• Méthode analytique : Un vecteur $\overrightarrow{a}$ est exprimé comme la somme de deux vecteurs perpendiculaires, ses composantes selon les axes x et y : $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{a_x} + \overrightarrow{a_y}$.
• Composantes d’un vecteur :
• $a_x = a \cdot \cos(\alpha)$.
• $a_y = a \cdot \sin(\alpha)$.
• $\alpha$ est l’angle formé par le vecteur $\overrightarrow{a}$ avec l’axe x.
• Somme de vecteurs par la méthode analytique : Sommation des composantes dans chaque direction :
• $R_x = a_x + b_x + c_x + \dots$.
• $R_y = a_y + b_y + c_y + \dots$.
• Le module du vecteur résultant se calcule comme : $R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}$.
• L’angle du vecteur résultant avec l’axe x se calcule comme : $\alpha = \arctan\left(\frac{R_y}{R_x}\right)$.
• Exemple : Pour $\overrightarrow{a} = (3, 2)$ et $\overrightarrow{b} = (1, -2)$, le vecteur résultant est trouvé par :
• $R_x = 3 + 1 = 4$.
• $R_y = 2 - 2 = 0$.
• $R = \sqrt{4^2 + 0^2} = 4$.
• $\alpha = \arctan\left(\frac{0}{4}\right) = 0^\circ$.

Produit de vecteurs

• Produit scalaire : Le produit scalaire de deux vecteurs est un scalaire donné par $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a \cdot b \cdot \cos(\alpha)$.
• $\alpha$ est l'angle entre les vecteurs.
• Produit vectoriel : Le produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteur perpendiculaire aux deux, dont le module est $|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$.
• La direction est déterminée par la règle de la main droite.

Trading algorithmique

• Le trading algorithmique utilise des programmes informatiques pour exécuter des transactions sur la base d'instructions prédéterminées.

Types de trading algorithmique

• Suivi de tendance : Identifier et capitaliser sur les tendances du marché en utilisant des moyennes mobiles et d'autres indicateurs techniques.
• Retour à la moyenne : Identifier les écarts par rapport au prix moyen et profiter du retour du prix à la moyenne.
• Arbitrage : Exploiter les différences de prix sur différents marchés en achetant et en vendant simultanément des actifs.
• Teneur de marché : Fournir des liquidités en plaçant des ordres d'achat et de vente pour capturer l'écart entre les prix d'offre et de demande.

Avantages

• Vitesse et efficacité accrue.
• Réduction des biais émotionnels.
• Capacités de backtesting.
• Diversification.
• Réduction des coûts de transaction.

Inconvénients 

• Expertise technique requise.
• Surveillance et maintenance constante.
• Risque de défaillance du système.
• Sur-optimisation des stratégies.
• Complexité du marché.

Backtesting

• Le backtesting consiste à tester une stratégie de trading sur des données historiques pour déterminer sa viabilité.
• C'est la première étape dans la mise en œuvre d'une stratégie de trading algorithmique.
• Le backtesting permet d'affiner les modèles et d'évaluer les risques associés à la stratégie.
• Étapes pour effectuer un backtest :
• Rassembler des données historiques.
• Définir la stratégie de trading.
• Simuler les transactions sur la base de la stratégie.
• Calculer les indicateurs de performance.
• Optimiser la stratégie en fonction des résultats.
• Métriques clés pour l'évaluation :
• Facteur de profit : Ratio du profit brut à la perte brute, calculé par :$\text{Facteur de profit} = \frac{\text{Profit brut}}{\text{Perte brute}}$.
• Drawdown maximal : La plus grande baisse entre un pic et un creux pendant une période spécifique, calculé par :$\text{Drawdown maximal} = \max(\text{Valeur maximale} - \text{Valeur minimale})$.
• Ratio de Sharpe : Rendement ajusté au risque, calculé par :$\text{Ratio de Sharpe} = \frac{R_p - R_f}{\sigma_p}$, où $R_p$ est le rendement du portefeuille, $R_f$ est le taux sans risque, et $\sigma_p$ est l'écart-type du rendement du portefeuille.

Considérations

• Surajustement : Se produit lorsqu'un modèle est excessivement complexe, capturant le bruit plutôt que le motif sous-jacent.
• Biais d'espionnage des données : Utilisation de données pour prendre des décisions qui ont influencé le développement du modèle, conduisant à des résultats de backtesting trop optimistes.

Statique

Scalaires et vecteurs

• Un scalaire est une grandeur physique positive ou négative complètement définie par son amplitude.
• Exemples : longueur, aire, volume, temps, masse, densité, température, vitesse, énergie.
• Un vecteur est une grandeur physique définie par une amplitude et une direction.
• Exemples : position, déplacement, vitesse, accélération, force, moment.
• Les vecteurs sont graphiquement représentés par des flèches, dont la longueur est proportionnelle à l’amplitude et l'angle par rapport à un axe fixe définit la direction.
• Un vecteur est symboliquement représenté par une lettre avec une flèche : $\vec{A}$. L’amplitude est représentée par la lettre sans flèche : A ou $|\vec{A}|$.

Algèbre vectorielle

• Multiplication et division d’un vecteur par un scalaire : la magnitude du vecteur est augmentée si multiplié par un scalaire positif, et le vecteur change de direction si multiplié par un scalaire négatif.

Addition vectorielle

• L'addition vectorielle obéit à la loi du parallélogramme.
• Pour additionner $\vec{A}$ et $\vec{B}$, ils sont dessinés à partir du même point O.
• La diagonale du parallélogramme forme le vecteur résultant $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$.
• Règle du triangle : l'addition vectorielle est aussi faite par la règle du triangle : $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$, où $\vec{R}$ s'étend de la queue de $\vec{A}$ à la tête de $\vec{B}$.
• Loi commutative : Le vecteur résultant est le même, quel que soit l’ordre dans lequel les vecteurs sont additionnés : $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} = \vec{B} + \vec{A}$.
• Loi associative : Pour l’addition de plus de deux vecteurs : $\vec{A} + (\vec{B} + \vec{C}) = (\vec{A} + \vec{B}) + \vec{C}$.

Approche bayésienne de l'estimation des paramètres

• Le problème : Estimer les valeurs plausibles des paramètres $\theta$ étant donné les données $D$ et un modèle $M$.
• Approche : Traiter $\theta$ comme une variable aléatoire et calculer $p(\theta | D, M)$.
• Théorème de Bayes : $p(\theta | D, M) = \frac{p(D | \theta, M) p(\theta | M)}{p(D | M)}$, où :
• $p(\theta | D, M)$ est la probabilité a posteriori.
• $p(D | \theta, M)$ est la vraisemblance.
• $p(\theta | M)$ est la probabilité a priori.
• $p(D | M)$ est la preuve.
• Choix d'une loi a priori :
• Lois a priori non informatives : Représentent l’ignorance sur $\theta$ (ex : loi a priori uniforme, loi de Jeffreys).
• Lois a priori informatives : Intègrent les connaissances antérieures sur $\theta$ (basées sur des expériences antérieures, un avis d'expert, etc.).
• Lois a priori conjuguées : La loi a posteriori est dans la même famille que la loi a priori (ex : loi Beta pour la vraisemblance de Bernoulli, loi gaussienne pour la vraisemblance gaussienne).
• Évaluation de la loi a posteriori :
• Analytique : si la distribution a priori et la vraisemblance sont suffisamment simples.
• Numérique : en utilisant des méthodes de calcul telles que la chaîne de Markov Monte Carlo (MCMC) ou l'inférence variationnelle.
• Estimations ponctuelles :
• Estimation du maximum a posteriori (MAP) : $\theta_{MAP} = \text{argmax}_{\theta} p(\theta | D, M)$.
• Estimation de la moyenne a posteriori : $\theta_{mean} = \int \theta p(\theta | D, M) d\theta$.
• Exemple : Estimation du biais d'une pièce de monnaie.
• Vraisemblance : $p(D | \theta, M) = \theta^{N_H} (1 - \theta)^{N_T}$, où $N_H$ est le nombre de faces et $N_T$ le nombre de piles.
• Loi a priori : Loi Beta : $p(\theta | M) = \frac{\theta^{\alpha - 1} (1 - \theta)^{\beta - 1}}{B(\alpha, \beta)}$, où $B(\alpha, \beta)$ est la fonction Beta.
• Loi a posteriori : Également une loi Beta : $p(\theta | D, M) = \text{Beta}(\theta | N_H + \alpha, N_T + \beta)$.
• Estimation MAP : $\theta_{MAP} = \frac{N_H + \alpha - 1}{N_H + N_T + \alpha + \beta - 2}$.
• Avantages de l'approche bayésienne : Fournit une distribution de probabilité complète sur $\theta$, peut intégrer les connaissances antérieures et quantifie l'incertitude.
• Inconvénients : Peut être coûteux en calcul et nécessite le choix subjectif d’une loi a priori.