Nombres Complexes: Introduction et Opérations

Nombres Complexes : L'Idée

• L'équation $x^2 + 1 = 0$ n'a pas de solution dans $\mathbb{R}$.
• Un nombre complexe est une expression ayant la forme $a + bi$, où $a, b \in \mathbb{R}$.

Définitions importantes

• La partie réelle de $a + bi$ est notée $a = Re(a + bi)$.
• La partie imaginaire de $a + bi$ est notée $b = Im(a + bi)$.
• Deux nombres complexes, $a + bi$ et $c + di$, sont égaux si $a = c$ et $b = d$, où $a, b, c, d \in \mathbb{R}$.

Opérations sur les Nombres Complexes

• Addition : $(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$.
• Multiplication : $(a + bi) \cdot (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$.
• L'addition et la multiplication sont commutatives :
  • $(a + bi) + (c + di) = (c + di) + (a + bi)$
  • $(a + bi) \cdot (c + di) = (c + di) \cdot (a + bi)$
• Propriétés satisfaites par l'addition et la multiplication de nombres complexes :
  • Associativité :
    • $((a + bi) + (c + di)) + (e + fi) = (a + bi) + ((c + di) + (e + fi))$.
    • $((a + bi) \cdot (c + di)) \cdot (e + fi) = (a + bi) \cdot ((c + di) \cdot (e + fi))$.
  • Distributivité : $(a + bi) \cdot ((c + di) + (e + fi)) = (a + bi) \cdot (c + di) + (a + bi) \cdot (e + fi)$.

Conjugué d'un Nombre Complexe

• Le conjugué de $z = a + bi$ est $\overline{z} = a - bi$.
• Propriétés des conjugués :
  • $\overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w}$
  • $\overline{z \cdot w} = \overline{z} \cdot \overline{w}$
  • $z \cdot \overline{z} = (Re(z))^2 + (Im(z))^2$

Module d'un Nombre Complexe

• Le module de $z = a + bi$ est $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Explorez le concept des nombres complexes, incluant les définitions de partie réelle et imaginaire. Apprenez les opérations d'addition et de multiplication avec des exemples clairs. Découvrez les propriétés commutatives et associatives.