نهايات ودوال مثلثية - الصف 10

نهايات الدوال المثلثية

• العلاقة الأساسية: sin²x + cos²x = 1
• تعريفات الدوال:
  • tan x = sin x / cos x
  • cot x = 1 / tan x = cos x / sin x
  • csc x = 1 / sin x
  • sec x = 1 / cos x
• نهايات بعض الدوال عند اقتراب x من 0:
  • lim sin x = 0
  • lim cos x = 1
  • lim tan x = 0
• نهايات أخرى:
  • lim sin x = 1
  • lim sin ax = a/b
  • lim tan x = 1
  • lim tan ax = a/b

قواعد الاتصال

• تعريف الاتصال عند نقطة:
  • الدالة f متصلة عند x = c إذا كانت lim f(x) = f(c) كـ x يقترب من c.

خواص الدوال المتصلة

• إذا كانت f, g متصلتين عند x = c، فإن الدوال التالية متصلة أيضاً عند x = c:
  • مضاعف ثابت للدالة k.f حيث k ∈ ℝ
  • حاصل ضرب الدالتين f.g
  • حاصل قسمة الدالتين f/g حيث g(c) ≠ 0

دوال متصلة عند الأعداد الحقيقية

• تتصل الدوال التالية عند كل عدد حقيقي c ∈ ℝ:
  • الدوال الثابتة
  • الدوال كثيرات الحدود
  • الدوال الحدودية النسبية (شرط أن يكون المقام لا يساوي صفر)
  • دالة القيمة المطلقة || = f(x)
  • الدوال المثلثية الأساسية

اتصال الدوال الجذرية عند نقطة

• نظرية (15):
  • الدالة √nx = y متصلة عند كل n x = c ∈ ℝ عدد صحيح زوجي موجب
  • الدالة √nx = y متصلة عند كل n x = c ∈ ℝ عدد صحيح فردي أكبر من 1
  • إذا كانت الدالة متصلة عند x = c وكان 0 < c، فإن الدالة f(x) = √(x) متصلة عند x = c.

الدالة المركبة

• تعريف الدالة المركبة: إذا كانت f, g دالتين حقيقيتين، فالتركيب g ∘ f يُعرف كالتالي:
  • (g ∘ f)(x) = g(f(x))

اتصال الدوال المركبة

• نظرية (16):
  • إذا كانت f متصلة عند c و g متصلة عند f(c)، فإن الدالة المركبة g ∘ f متصلة عند c.