مقدمة إلى Matplotlib

Matplotlib: مقدمة

• Matplotlib هي مكتبة شاملة لإنشاء تصورات ثابتة ومتحركة وتفاعلية في Python.
• تسهل Matplotlib الأمور السهلة وتجعل الأمور الصعبة ممكنة.
• تسمح بإنشاء مخططات بجودة النشر.
• تتيح إنشاء أشكال تفاعلية يمكن تكبيرها وتحريكها وتحديثها.
• توفر تخصيص النمط والتخطيط المرئي.
• تدعم التصدير إلى العديد من تنسيقات الملفات.
• يمكن تضمينها في JupyterLab وواجهات المستخدم الرسومية.
• تستخدم مجموعة كبيرة من حزم الطرف الثالث المبنية على Matplotlib.

التثبيت

• لتثبيت Matplotlib، استخدم الأمر:

  pip install matplotlib
  

• لاستيراد Matplotlib، استخدم:

  import matplotlib
  import matplotlib.pyplot as plt
  

أمثلة على Matplotlib

رسم خط بياني

• نموذج لكيفية رسم خط بياني باستخدام Matplotlib:

  import matplotlib.pyplot as plt
  import numpy as np
  
  x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
  y = np.array([2, 4, 6, 8, 10])
  
  plt.plot(x, y)
  plt.xlabel('X-axis')
  plt.ylabel('Y-axis')
  plt.title('Simple Line Graph')
  plt.show()
  

رسم مخطط التشتت

• نموذج لكيفية رسم مخطط التشتت باستخدام Matplotlib:

  import matplotlib.pyplot as plt
  import numpy as np
  
  x = np.array([5,7,8,7,2,17,2,9,4,11,12,9,6])
  y = np.array([99,86,87,88,111,86,103,87,94,78,77,85,86])
  
  plt.scatter(x, y)
  plt.xlabel('X-axis')
  plt.ylabel('Y-axis')
  plt.title('Simple Scatter Plot')
  plt.show()
  

رسم مخطط شريطي

• نموذج لكيفية رسم مخطط شريطي باستخدام Matplotlib:

  import matplotlib.pyplot as plt
  import numpy as np
  
  x = np.array(["A", "B", "C", "D"])
  y = np.array([3, 8, 1, 10])
  
  plt.bar(x, y)
  plt.xlabel("X-axis")
  plt.ylabel("Y-axis")
  plt.title("Simple Bar Chart")
  plt.show()
  

رسم مخطط دائري

• نموذج لكيفية رسم مخطط دائري باستخدام Matplotlib:

  import matplotlib.pyplot as plt
  import numpy as np
  
  y = np.array([35, 25, 25, 15])
  labels = ["Apples", "Bananas", "Cherries", "Dates"]
  
  plt.pie(y, labels = labels)
  plt.title("Simple Pie Chart")
  plt.show()
  

معلومات إضافية

• للمزيد من المعلومات والاستخدامات المتقدمة، يمكن الرجوع إلى الوثائق الرسمية لـ Matplotlib. Matplotlib Documentation

الخوارزمية 1: قطع عشوائي

• الإدخال: رسم بياني G = (V, E)
• الإخراج: قطع C
• الخطوات:
• بينما $|V| > 2$ نفذ
• اختر حافة عشوائية $e \in E$
• $G \leftarrow$ CONTRACT$(G, e)$
• أرجع C، حيث C تقسم العقد المتبقية

الخوارزمية 2: CONTRACT $(G, e = {u, v})$

• الخطوات:
• لكل حافة ${u, w} \in E$ نفذ
• أضف حافة ${v, w}$
• لكل حافة ${w, v} \in E$ نفذ
• أضف حافة ${w, u}$
• أزل كل الحواف بين $u$ و $v$
• ادمج $u$ و $v$ في عقدة واحدة

نظرية

• الخوارزمية 1 تعطي قطعًا أدنى باحتمالية $\Omega(\frac{1}{n^2})$.

إثبات

• افترض أن C = (S, T) هي قطع أدنى في G، وليكن F مجموعة الحواف التي تفصل S و T، و k = |F| هي حجم القطع الأدنى.
• احتمالية اختيار حافة من F في الانكماش الأول هي $\frac{k}{|E|}$. منذ أن كانت الدرجة الدنيا في G على الأقل k، يجب أن يكون $|E| \geq \frac{kn}{2}$. $\Rightarrow$ احتمالية انكماش حافة من F هي على الأكثر $\frac{k}{\frac{kn}{2}} = \frac{2}{n}$.
• ليكن $\varepsilon_i$ هو الحدث الذي لا تنكمش فيه أي حافة من F في التكرار الـ i. إذن: $P(\varepsilon_1) \geq 1 - \frac{2}{n} = \frac{n-2}{n}$
• بعد الانكماش الأول ينتج رسم بياني بـ n-1 عقدة. حجم القطع الأدنى يظل k، لأننا لم ننكمش أي حافة من F. بالتالي فإن احتمالية عدم انكماش أي حافة من F في التكرار الثاني تعطى بـ: $P(\varepsilon_2 | \varepsilon_1) \geq 1 - \frac{2}{n-1} = \frac{n-3}{n-1}$
• بشكل عام: $P(\varepsilon_i | \bigcap_{j=1}^{i-1} \varepsilon_j) \geq 1 - \frac{2}{n-i+1} = \frac{n-i-1}{n-i+1}$
• احتمالية عدم انكماش أي حافة من F طوال الخوارزمية تعطى بـ: $P(\bigcap_{i=1}^{n-2} \varepsilon_i) = \prod_{i=1}^{n-2} P(\varepsilon_i | \bigcap_{j=1}^{i-1} \varepsilon_j) \geq \prod_{i=1}^{n-2} (1 - \frac{2}{n-i+1})$ $= \prod_{i=1}^{n-2} (\frac{n-i-1}{n-i+1}) = (\frac{n-2}{n}) \cdot (\frac{n-3}{n-1}) \cdot (\frac{n-4}{n-2}) \cdots (\frac{3}{5}) \cdot (\frac{2}{4}) \cdot (\frac{1}{3})$ $= \frac{2}{n(n-1)} = \Omega(\frac{1}{n^2})$
• بالتالي فإن الخوارزمية 1 تعطي قطعًا أدنى باحتمالية $\Omega(\frac{1}{n^2})$.

الفصل الثامن: اختبار الفرضيات

8.1 أساسيات اختبار الفرضيات

• 8.1.1 الفرضيات الصفرية والبديلة
• الفرضية الصفرية ($H_0$): عبارة حول معلمة المجتمع نفترض أنها صحيحة.
• الفرضية البديلة ($H_1$): عبارة تتعارض مع الفرضية الصفرية، وتمثل ما نريد إيجاد دليل عليه.
• 8.1.2 أنواع الأخطاء
• الخطأ من النوع الأول (إيجابي كاذب): رفض الفرضية الصفرية عندما تكون صحيحة بالفعل.
• احتمالية الخطأ من النوع الأول: $\alpha$ (مستوى الأهمية).
• الخطأ من النوع الثاني (سلبي كاذب): الفشل في رفض الفرضية الصفرية عندما تكون خاطئة بالفعل.
• احتمالية الخطأ من النوع الثاني: $\beta$.
• قوة الاختبار: احتمالية رفض الفرضية الصفرية بشكل صحيح عندما تكون خاطئة.
• القوة = $1 - \beta$.
• 8.1.3 إحصائية الاختبار
• قيمة محسوبة من بيانات العينة تستخدم لتحديد ما إذا كان سيتم رفض الفرضية الصفرية.
• أمثلة: اختبار z، اختبار t، اختبار مربع كاي.
• 8.1.4 قيمة P
• احتمالية ملاحظة إحصائية اختبار متطرفة مثل، أو أكثر تطرفًا من، تلك المحسوبة من العينة، على افتراض أن الفرضية الصفرية صحيحة.
• قاعدة القرار:
• إذا كانت قيمة p ≤ $\alpha$، ارفض $H_0$.
• إذا كانت قيمة p > $\alpha$، افشل في رفض $H_0$.

8.2 اختبارات الفرضيات الشائعة

• 8.2.1 اختبار Z
• يستخدم عندما يكون الانحراف المعياري للمجتمع معروفًا أو عندما يكون حجم العينة كبيرًا ($n \ge 30$).
• إحصائية الاختبار: $Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$
• حيث:
• $\bar{x}$ = متوسط العينة.
• $\mu_0$ = متوسط المجتمع المفترض.
• $\sigma$ = الانحراف المعياري للمجتمع.
• $n$ = حجم العينة.
• 8.2.2 اختبار T
• يستخدم عندما يكون الانحراف المعياري للمجتمع غير معروف وحجم العينة صغيرًا ($n < 30$).
• إحصائية الاختبار: $t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}$
• حيث:
• $\bar{x}$ = متوسط العينة.
• $\mu_0$ = متوسط المجتمع المفترض.
• $s$ = الانحراف المعياري للعينة.
• $n$ = حجم العينة.
• درجات الحرية: $df = n - 1$.
• 8.2.3 اختبار مربع كاي
• يستخدم للبيانات الفئوية.
• اختبار حسن المطابقة: يختبر ما إذا كان التوزيع الملاحظ لمتغير فئوي يختلف عن التوزيع المفترض.
• إحصائية الاختبار: $\chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$
• حيث:
• $O_i$ = التردد الملاحظ.
• $E_i$ = التردد المتوقع.
• درجات الحرية: $df = k - 1$ (حيث k هو عدد الفئات).
• اختبار الاستقلالية: يختبر ما إذا كان متغيران فئويان مستقلين.
• إحصائية الاختبار: $\chi^2 = \sum \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}$
• حيث:
• $O_{ij}$ = التردد الملاحظ في الخلية (i, j).
• $E_{ij}$ = التردد المتوقع في الخلية (i, j).
• درجات الحرية: $df = (r - 1)(c - 1)$ (حيث r هو عدد الصفوف و c هو عدد الأعمدة).

8.3 خطوات اختبار الفرضيات

1. اذكر الفرضيات الصفرية والبديلة.
2. اختر مستوى الأهمية ($\alpha$).
3. حدد إحصائية الاختبار المناسبة.
4. احسب إحصائية الاختبار.
5. حدد قيمة p.
6. اتخذ قرارًا بناءً على قيمة p ومستوى الأهمية.

8.4 مثال

• سيناريو: يريد باحث اختبار ما إذا كان متوسط طول الذكور البالغين في مدينة ما هو 175 سم. تم أخذ عينة مكونة من 50 ذكرًا بالغًا، ووجد أن متوسط طول العينة هو 177 سم بانحراف معياري للعينة قدره 8 سم. اختبر عند مستوى أهمية 0.05.
• الحل:
  1. الفرضيات:
• $H_0: \mu = 175$ سم.
• $H_1: \mu \neq 175$ سم. 2. مستوى الأهمية: $\alpha = 0.05$. 3. إحصائية الاختبار: اختبار t (نظرًا لأن الانحراف المعياري للمجتمع غير معروف). 4. حساب إحصائية الاختبار: $t = \frac{177 - 175}{8 / \sqrt{50}} \approx 1.768$ 5. تحديد قيمة p:
• درجات الحرية: $df = 50 - 1 = 49$.
• باستخدام جدول t أو آلة حاسبة، فإن قيمة p ذات الذيلين لـ $t \approx 1.768$ و $df = 49$ هي 0.083 تقريبًا. 6. القرار:
• نظرًا لأن قيمة p (0.083) > $\alpha$ (0.05)، فإننا نفشل في رفض الفرضية الصفرية. 7. الاستنتاج:
• لا يوجد دليل كاف للاستنتاج بأن متوسط طول الذكور البالغين في المدينة يختلف عن 175 سم.