مجموعات الأعداد والقيمة المطلقة

بالتأكيد هذه ملاحظات دراسية مفصلة حول النص الذي قدمته:

مجموعات الأعداد

• مجموعة أعداد العد (ع): تشتمل على الأعداد الصحيحة الموجبة التي تبدأ من 1 وتستمر إلى ما لا نهاية.
• مجموعة الأعداد الطبيعية (ط): تشمل الأعداد الصحيحة غير السالبة (بما في ذلك الصفر) وتستمر بلا حدود.
• مجموعة الأعداد الصحيحة (ص): تتضمن الأعداد الموجبة والسالبة والصفر. يمكن التعبير عنها باتحاد ثلاث مجموعات فرعية (ص+=الأعداد الصحیحة الموجبة، {0}، ص-=الأعداد الصحيحة السالبة).
• مجموعة الأعداد النسبية (ن): يمكن التعبير عنها في صورة كسر عشري أو كسر اعتيادي a/b حيث a و b عددان صحيحان و b ≠ 0.

القيمة المطلقة للعدد النسبي

• القيمة المطلقة للعدد x ويرمز لها بالرمز (|x|) هي قيمته غير السالبة، أي تجعله موجبًا أو صفرًا.
• مثال: |3| = 3، |-5| = 5، |0| = 0.
• إذا كانت |a| = 4، فإن a يمكن أن تكون إما 4 أو -4.

حل المعادلات

• لإيجاد مجموعة حل المعادلة في مجموعة الأعداد النسبية (ن)، يتم تنفيذ العمليات المناسبة لعزل المتغير.
• مثال: 2س + 1 = 7، تؤدي العمليات إلى س = 3، ومجموعة الحل هي {3}.
• كما تم شرحه بالأمثلة في المستند

الأسس

• تعريف: ا^م = ا × ا × ... × ا (م مرة)، حيث ا قيمة مكررة كعامل م من المرات.
• خاصية القسمة: (ا ^ م) / (ا ^ ن) = ا ^ (م - ن)، عند قسمة الأسس المتشابهة، تطرح الأسس.
• صفر لأي قيمة: أ^0 = 1، وأي قيمة (غير صفرية) مرفوعة للقوة صفر تساوي واحدًا.
• ضرب الاسس: ا^م × ا^ن = ا^(م + ن)، عند ضرب الاسس المتشابهة، تجمع الأسس.
• (ا^م)^ن = ا^(م × ن)، عند رفع قوة لقوة، تضرب الأسس.

الجذر التربيعي

• للعدد النسبي: الجذر التربيعي للعدد ا هو العدد الذي مربعه يساوي ا.
• العدد 16 له جزران تربيعيان: 4 و -4 (لأن 4^2 = 16 و (-4)^2 = 16).
• العدد 9 له جزران تربيعيان: 3 و -3.
• ملاحظة: العدد النسبي المربع له جزران تربيعيان، أحدهما موجب والآخر سالب.
• الجذران التربيعيان لأي عدد نسبي مربع يكونان معكوسين جمعيين لبعضهما البعض ومجموعهما صفر.
• رمز الجذر التربيعي الموجب هو √. مثال: √25 = 5.
• رمز الجذر التربيعي السالب هو -√. مثال: -√36 = -6.
• رمز الجذرين التربيعين معا ±√. مثال: ±√9 = ±3.
• إذا كان س^2 = ا، فإن س = ±√ا. على سبيل المثال، إذا كان س^2 = 25، فإن س = ±5 = ±√25.

المعادلات التربيعية

• إذا كان |س| = ا فإن س = ±ا. على سبيل المثال |س| = 5 تعني أن س يمكن أن تكون 5 أو -5.
• الجذر التربيعي لعدد سالب غير متوفر.
• ملحوظة: العدد (1-) مرفوعًا لقوة زوجية (م) يساوي 1، بينما (1-) مرفوعًا لقوة فردية (م) يساوي -1.
• مجموعة حل المعادلة س^2 - 1 = 0 في ن هي {1 ، -1}.
• مجموعة حل المعادلة س^2 + 9 = 0 في ن هي مجموعة خالية (لا يوجد حل).
• لحل معادلة تربيعية مثل س^2 - 4 = 5، يتم أخذ الجذر التربيعي للطرفين: س = ±3.

الجذر التكعيبي

• للعدد: بما أن 3 × 3 × 3 = 27 إذن الجذر التكعيبي للعدد 27 هو 3
• الجذر التكعيبي للعدد ا هو العدد الذي مكعبه يساوي ا.
• ويرمز له بالرمز ³√.
• الجذر التكعيبي للعدد الموجب يكون موجبًا وللعدد السالب يكون سالب.
• ³√8 = 2، ³√-125 = -5.
• أي أن الجذر التكعيبي لأي عدد له نفس إشارة العدد.
• لا يمكن إيجاد الجذر التكعيبي لعدد نسبي مكعب كامل عن طريق التحليل أو الآلة الحاسبة.

آمل أن تساعد هذه الملاحظات الدراسية التفصيلية. إذا كنت بحاجة إلى مزيد من التوضيح أو لديك أسئلة أخرى، فلا تتردد في طرحها.