Mathematik: Einführung in Matrizen

Matrizen

• Eine Matrix ist ein Zahlenarray.
• Die Zahlen in einer Matrix werden Elemente genannt.
• Matrizen werden normalerweise mit Großbuchstaben bezeichnet.
• Einzelne Elemente werden mit dem entsprechenden Kleinbuchstaben und zwei Indizes bezeichnet, wobei der erste Index die Zeile und der zweite die Spalte angibt (z. B. a₂₃).
• Die Dimension einer Matrix wird durch die Anzahl der Zeilen und Spalten bestimmt (m × n).

Operationen

• Die Addition ist nur für Matrizen mit identischen Dimensionen möglich.
• Die Matrizenaddition erfolgt elementweise.
• Die Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar erfolgt elementweise.
• Die Multiplikation zweier Matrizen ist nur möglich, wenn die Anzahl der Spalten der ersten Matrix gleich der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix ist.
• Das Element cᵢⱼ des Produkts zweier Matrizen A (m × n) und B (n × p) wird berechnet durch: cᵢⱼ = Σₖ<binary data, 1 bytes><binary data, 1 bytes><binary data, 1 bytes>₁ⁿ aᵢₖbₖⱼ.

Eigenschaften

• Assoziativität: (AB)C = A(BC)
• Distributivität bezüglich der Addition: A(B + C) = AB + AC und (A + B)C = AC + BC
• Nichtkommutativität: Im Allgemeinen gilt AB ≠ BA.

Transponierung

• Die Transponierte einer Matrix A (Aᵀ) wird durch Vertauschen von Zeilen und Spalten erzeugt.
• Die Transponierung einer m×n Matrix A ergibt eine n×m Matrix Aᵀ, wobei (Aᵀ)ᵢⱼ = Aⱼᵢ.
• (A + B)ᵀ = Aᵀ + Bᵀ
• (kA)ᵀ = kAᵀ
• (AB)ᵀ = BᵀAᵀ
• (Aᵀ)ᵀ = A

Identitätsmatrix

• Die Identitätsmatrix (I) ist eine quadratische Matrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen an anderer Stelle.
• Für jede Matrix A gilt AI = IA = A.

Inverse

• Die Inverse einer Matrix A (A⁻¹) erfüllt die Bedingung AA⁻¹ = A⁻¹A = I.
• Nur quadratische Matrizen können eine Inverse haben.
• Matrizen mit einer Inversen werden als invertierbar oder regulär bezeichnet, während Matrizen ohne Inverse als singulär bezeichnet werden.

Determinante

• Die Determinante einer Matrix ist eine Zahl, die aus ihren Elementen berechnet wird.
• Die Determinante wird als det(A) oder |A| notiert.
• det(Aᵀ) = det(A)
• det(AB) = det(A)det(B)
• det(A⁻¹) = 1 / det(A)

Berechnung der Determinante

• Für eine 2x2 Matrix A = [a b; c d] ist det(A) = ad - bc.
• Für eine 3x3 Matrix A = [a b c; d e f; g h i] ist det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh.

Kofaktorenmatrix

• Die Kofaktorenmatrix Com(A) enthält die Kofaktoren der Matrix A.
• Der Kofaktor cᵢⱼ wird berechnet als cᵢⱼ = (-1)ⁱ⁺ʲMᵢⱼ, wobei Mᵢⱼ die Determinante der Matrix ist, die durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte von A entsteht.

Eigenschaft

• A⁻¹ = (1 / det(A)) * Com(A)ᵀ

Lösung linearer Gleichungssysteme

• Lineare Gleichungssysteme können in der Matrixform Ax = b dargestellt werden.
• Wenn A invertierbar ist, ist die Lösung des Systems x = A⁻¹b.

Channel Capacity

• Ein Kommunikationssystem besteht aus Informationsquelle, Sender, Kanal, Empfänger und Ziel.
• Die Kanalkapazität (C) ist die maximale Rate, mit der Informationen zuverlässig über einen Kanal übertragen werden können, gemessen in Bits pro Kanalnutzung.
• Ein gedächtnisloser diskreter Kanal (DMC) wird durch Übergangswahrscheinlichkeiten P(y|x) definiert.
• Die Kanalkapazität eines DMC ist definiert als C = maxₚ₍ₓ₎ I(X;Y).
  • I(X;Y) ist die gegenseitige Information zwischen Eingang und Ausgang.
  • p(x) ist die Eingangswahrscheinlichkeitsverteilung.
• Die Kanalkapazität ist immer nicht negativ (C ≥ 0).
• Die Kanalkapazität wird durch die Größe des Eingangs- und Ausgangsalphabets begrenzt: C ≤ min(log |X|, log |Y|).

Berechnungsbeispiele

• Rauschfreier binärer Kanal: C = 1 Bit pro Kanalnutzung.
• Verrauschter Kanal mit nicht überlappenden Ausgängen: C = 1 Bit pro Kanalnutzung.
• Rauschschreibmaschine mit Alphabetgröße a: C = log a - 1.
• Binärer symmetrischer Kanal (BSC) mit Kreuzungswahrscheinlichkeit p: C = 1 - H(p), wobei H(p) die binäre Entropiefunktion ist.
• Binärer Löschkanal (BEC) mit Löschwahrscheinlichkeit α: C = 1 - α.

Das Bernoulli-Prinzip

• Das Bernoulli-Prinzip besagt, dass bei einer reibungsfreien Strömung eine Erhöhung der Strömungsgeschwindigkeit gleichzeitig mit einer Abnahme des Drucks oder der potenziellen Energie des Fluids einhergeht.

Wie Flügel Auftrieb erzeugen

• Luft strömt schneller über die Flügeloberfläche als darunter.
• Die höhere Geschwindigkeit erzeugt einen niedrigeren Druck darüber.
• Der Auftrieb entsteht durch den Druckunterschied.

Tragflügeldesigne

• Spezialisierte Form zur Maximierung des Auftriebs.
• Abgerundete Vorderkante, scharfe Hinterkante.

Druckverteilung

• Niedrigerer Druck oben.
• Höherer Druck unten.

Bernoullis Gleichung

• V²/2 + gz + p/ρ = konstant
  • V ist die Strömungsgeschwindigkeit des Fluids, g ist die Erdbeschleunigung, z ist die Höhe, p ist der Druck und ρ ist die Dichte.

Zusammenfassung der PSRA-Risikobewertung

• Enthält wichtige Ergebnisse der PSRA-Risikobewertung (Preliminary System Risk Assessment).

Wichtige Ergebnisse

• Identifizierte Bedrohungen umfassen:
  • Phishing: Social Engineering zur Erlangung von Anmeldeinformationen.
  • Malware: Schadsoftware, die die Systemintegrität gefährdet
  • DDoS-Angriffe: Unterbrechung des Dienstes durch Ressourcenüberlastung.
• Entdeckte Schwachstellen umfassen:
  • Veraltete Software: Fehlende Sicherheitsupdates.
  • Schwache Konfigurationen: Standardpasswörter und lockere Zugriffsrichtlinien.
  • Fehlende Netzwerksegmentierung: Erleichterte laterale Bewegung im Falle eines Eindringens.
• Mögliche Auswirkungen umfassen:
  • Datenverlust: Exfiltration oder Verschlüsselung sensibler Informationen.
  • Dienstunterbrechung: Systemausfall, der den Betrieb beeinträchtigt.
  • Reputationsschaden: Vertrauensverlust von Nutzern und Kunden.

Empfehlungen

• Bedrohungsmitigation
  • Implementierung von Multi-Faktor-Authentifizierung (MFA).
  • Verwendung von Anti-Malware-Lösungen und Firewalls.
  • Überwachung und Filterung des Netzwerkverkehrs zur Erkennung von Anomalien.
• Schwachstellen schließen
  • Regelmäßige Aktualisierung der Software und Anwendung von Sicherheitspatches.
  • Stärkung der Passwortrichtlinien und Zugangskontrolle.
  • Segmentierung des Netzwerks, um laterale Bewegungen zu begrenzen.

Nächste Schritte

• Durchführung von Penetrationstests zur Validierung der Wirksamkeit der Sicherheitsmaßnahmen.
• Entwicklung eines Reaktionplans für Vorfälle zur Milderung potenzieller Angriffe.
• Schulung des Personals in IT-Sicherheit und Sensibilisierung für Bedrohungen.

Schlussfolgerung

• Die PSRA-Bewertung hat signifikante Risiken identifiziert, die die Systemsicherheit beeinträchtigen könnten.

Reguläre Ausdrücke

• Ein regulärer Ausdruck (Regex) ist eine Zeichenkette, die ein Suchmuster definiert.
• Sie werden verwendet, um Zeichenketten zu durchsuchen, zu bearbeiten oder zu manipulieren.
• Ein Regex besteht aus literalen Zeichen (z.B. 'a', 'b', '1') und Metazeichen (z.B. '.', '*', '+', '?').

Wichtige Metazeichen

• .: Passt auf jedes einzelne Zeichen außer einem Zeilenumbruch.
• *: Passt auf das vorhergehende Zeichen 0 oder mehrere Male.
• +: Passt auf das vorhergehende Zeichen 1 oder mehrere Male.
• ?: Passt auf das vorhergehende Zeichen 0 oder 1 Mal.
• [ ]: Definiert eine Zeichenklasse.
• ( ): Gruppiert Ausdrücke.
• |: Oder-Verknüpfung.
• ^: Passt auf den Anfang einer Zeichenkette.
• $: Passt auf das Ende einer Zeichenkette.

Einige Zeichenklassen umfassen

• \d: Passt auf eine Ziffer.
• \D: Passt auf ein Zeichen, das keine Ziffer ist.
• \w: Passt auf ein "Wortzeichen" (Buchstaben, Ziffern und Unterstrich).
• \W: Passt auf ein Zeichen, das kein "Wortzeichen" ist.
• \s: Passt auf ein Whitespace-Zeichen.
• \S: Passt auf ein Zeichen, das kein Whitespace-Zeichen ist.

Quantoren

• {n}: Passt auf das vorhergehende Zeichen genau n Mal.
• {n,}: Passt auf das vorhergehende Zeichen n oder mehrere Male.
• {n,m}: Passt auf das vorhergehende Zeichen mindestens n und höchstens m Mal.

Verwendungszwecke

• Regex werden in vielen Programmiersprachen und Texteditoren unterstützt und zum Suchen, Ersetzen, Extrahieren und Validieren von Text verwendet.

Zusätzliche Informationen

• Regex können komplex sein.
• Regex müssen sorgfältig getestet werden.
• Es gibt verschiedene Dialekte von Regex.

Trigonometrische Funktionen

• Trigonometrische Verhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken definieren Sinus (sin), Kosinus (cos) und Tangens (tan).
  • sin θ = Gegenkathete / Hypotenuse
  • cos θ = Ankathete / Hypotenuse
  • tan θ = Gegenkathete / Ankathete
• Reziproke Verhältnisse sind Kosekans (csc), Sekans (sec) und Kotangens (cot).

Einheitskreis

• Der Einheitskreis (Radius = 1) wird verwendet, um trigonometrische Funktionen zu definieren.
• Ein Winkel θ wird gegen den Uhrzeigersinn von der positiven x-Achse aus gemessen.
• Die Koordinaten des Schnittpunkts des Schenkels von θ mit dem Einheitskreis sind (cos θ, sin θ).
• tan θ = sin θ / cos θ.

Schlüsselwerte

• Sinus, Kosinus und Tangens haben bestimmte Werte für bestimmte Winkel (0°, 30°, 45°, 60°, 90°).

Graphen

• Sinusfunktion: Periode 2π, Amplitude 1.
• Kosinusfunktion: Periode 2π, Amplitude 1.
• Tangensfunktion: Periode π, vertikale Asymptoten bei x = π/2 + nπ.

Trigonometrische Identitäten

• Pythagoreische Identitäten:
  • sin² θ + cos² θ = 1
  • 1 + tan² θ = sec² θ
  • 1 + cot² θ = csc² θ
• Winkeladdition und -subtraktion:
  • sin(A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B
  • cos(A ± B) = cos A cos B ∓ sin A sin B
  • tan(A ± B) = (tan A ± tan B) / (1 ∓ tan A tan B)
• Doppelwinkelidentitäten:
  • sin(2θ) = 2 sin θ cos θ
  • cos(2θ) = cos² θ - sin² θ
  • tan(2θ) = (2 tan θ) / (1 - tan² θ)
• Halbwinkelidentitäten
  • sin(θ/2) = ± √((1 - cos θ) / 2)
  • cos(θ/2) = ± √((1 + cos θ) / 2)
  • tan(θ/2) = (1 - cos θ) / sin θ

Inverse trigonometrische Funktionen

• Umkehrfunktionen: Arcussinus (arcsin), Arcuscosinus (arccos), Arcustangens (arctan).

Gesetze

• Sinussatz: a / sin A = b / sin B = c / sin C
• Kosinussatz: c² = a² + b² - 2ab cos C