Matrix Definitionen und Operationen

Matrizen

• Eine Matrix ist ein Zahlenarray.
• Die Zahlen in der Matrix werden als Elemente bezeichnet.

Beispiel

$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} $$

Notation

• Matrizen werden typischerweise durch einen Großbuchstaben bezeichnet.
• Die Elemente werden klein geschrieben mit zwei Indizes für Zeile und Spalte, z.B. $a_{23}$.

Dimension

• Die Dimension einer Matrix ist die Anzahl von Zeilen und Spalten.
• Eine (m \times n) Matrix hat (m) Zeilen und (n) Spalten.

Operationen

Addition

• Nur Matrizen gleicher Dimension können addiert werden.
• Die Addition erfolgt elementweise.
• Für (m \times n) Matrizen (A) und (B) ergibt (C = A + B) ein (m \times n) Matrix, wobei (c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}) gilt.

Multiplikation mit einem Skalar

• Eine Matrix kann mit einer Zahl (Skalar) multipliziert werden.
• Die Multiplikation erfolgt elementweise.
• Für eine (m \times n) Matrix (A) und einen Skalar (k) ist (B = kA) eine (m \times n) Matrix, wobei (b_{ij} = ka_{ij}) gilt.

Matrizenmultiplikation

• Zwei Matrizen können multipliziert werden, wenn die Spaltenanzahl der ersten gleich der Zeilenanzahl der zweiten ist.
• Für eine (m \times n) Matrix (A) und eine (n \times p) Matrix (B) ist (C = AB) eine (m \times p) Matrix, wobei (c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}) gilt.

Eigenschaften

Assoziativität

$$(AB)C = A(BC)$$

Distributivität bezüglich Addition

$$A(B + C) = AB + AC$$ $$(A + B)C = AC + BC$$

Nichtkommutativität

• Im Allgemeinen ist (AB \neq BA).

Transponierung

• Die Transponierte einer Matrix (A), geschrieben (A^T), entsteht durch Vertauschen von Zeilen und Spalten.
• Wenn (A) eine (m \times n) Matrix ist, dann ist (A^T) eine (n \times m) Matrix mit ((a^T){ij} = a{ji}).

Eigenschaften der Transponierten

• ((A + B)^T = A^T + B^T)
• ((kA)^T = kA^T)
• ((AB)^T = B^T A^T)
• ((A^T)^T = A)

Einheitsmatrix

• Die Einheitsmatrix (I) ist eine quadratische Matrix mit Einsen auf der Diagonalen und Nullen sonst. $$ I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$
• Für jede Matrix (A) gilt (AI = IA = A).

Inverse Matrix

• Die Inverse einer Matrix (A), geschrieben (A^{-1}), erfüllt (AA^{-1} = A^{-1}A = I).
• Nur quadratische Matrizen können eine Inverse haben.
• Eine Matrix mit einer Inversen ist invertierbar oder regulär, andernfalls singulär.

Determinante

• Die Determinante einer Matrix ist eine Zahl, die aus den Elementen der Matrix berechnet wird.
• Die Determinante von (A) wird als det((A)) oder (|A|) notiert.

Eigenschaften der Determinante

• det((A^T)) = det((A))
• det((AB)) = det((A))det((B))
• det((A^{-1})) = 1/det((A))

Berechnung der Determinante

2x2 Matrix

$$ A = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix} $$ det((A) = ad - bc)

3x3 Matrix

$$ A = \begin{bmatrix} a & b & c \ d & e & f \ g & h & i \end{bmatrix} $$ det((A) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh)

Kofaktormatrix

• Die Kofaktormatrix Com((A)) enthält die Kofaktoren der Matrix (A).
• Der Kofaktor (c_{ij}) von (a_{ij}) ist (c_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}), wobei (M_{ij}) die Determinante der Matrix ohne Zeile (i) und Spalte (j) ist.

Eigenschaft von Kofaktormatrizen

$$A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \text{Com}(A)^T$$

Lösung linearer Gleichungssysteme

• Matrizen können zur Lösung linearer Gleichungssysteme verwendet werden.
• Ein lineares Gleichungssystem kann in Matrixform geschrieben werden: (Ax = b), wobei (A) die Koeffizientenmatrix, (x) der Vektor der Variablen und (b) der Ergebnisvektor ist.
• Wenn (A) invertierbar ist, ist die Lösung (x = A^{-1}b).

Kanal Kapazität

Kommunikationssystem

• Umfasst Informationsquelle, Sender, Kanal, Empfänger und Ziel.
• Der Sender wandelt die Nachricht in ein geeignetes Format für den Kanal um.
• Der Empfänger rekonstruiert die Nachricht aus dem empfangenen Signal.

Kanal Kapazität (C)

• Maximale Rate zuverlässiger Informationsübertragung über einen Kanal, gemessen in Bits pro Kanalnutzung.

Diskreter Gedächtnisloser Kanal (DMC)

• Definiert durch Übergangswahrscheinlichkeiten (P(y|x)) mit Eingangssymbol (x) und Ausgangssymbol (y).
• Gedächtnislos bedeutet, dass der aktuelle Ausgang nur vom aktuellen Eingang abhängt.

Berechnung der Kanal Kapazität (C) eines DMC

$C = \max_{p(x)} I(X; Y)$

• (I(X; Y)) ist die Transinformation zwischen Eingang (X) und Ausgang (Y).
• (p(x)) ist die Eingangsverteilung.

Eigenschaften der Kanal Kapazität

• (C \geq 0): Nicht negativ.
• (C \leq \min(\log |X|, \log |Y|)): Begrenzt durch die Größe der Eingangs- und Ausgangsalphabete.

Beispiele

Rauschloser Binärer Kanal

• Kanalmatrix: (p(y|x) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix})
• Kanal Kapazität: (C = 1) Bit pro Kanalnutzung.

Verrauschter Kanal mit Nicht-Überlappenden Ausgängen

• Kanalmatrix: (p(y|x) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix})
• Kanal Kapazität: (C = 1) Bit pro Kanalnutzung.

Verrauschte Schreibmaschine

• Alphabetgröße (|X| = a), jedes Zeichen wird mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf sich selbst und den nächsten Buchstaben abgebildet.
• Kanal Kapazität: (C = \log a - 1)

Binär Symmetrischer Kanal (BSC)

• Binärer Kanal mit Crossover-Wahrscheinlichkeit (p).
• Kanal Kapazität: (C = 1 - H(p)), wobei (H(p)) die binäre Entropiefunktion ist.

Binärer Löschkanal (BEC)

• Binärer Kanal, bei dem ein Bit mit Wahrscheinlichkeit (1 - \alpha) korrekt übertragen oder mit Wahrscheinlichkeit (\alpha) gelöscht wird.
• Kanal Kapazität: (C = 1 - \alpha)

Bernoulli-Prinzip

• Entdeckt von Daniel Bernoulli im 18. Jahrhundert.
• Für eine reibungslose Strömung nimmt mit steigender Geschwindigkeit der Druck bzw. die potentielle Energie ab.

Wie Flügel Auftrieb Erzeugen

• Luft strömt schneller über die Flügeloberfläche als darunter.
• Die höhere Geschwindigkeit erzeugt einen geringeren Druck.
• Auftrieb entsteht durch den Druckunterschied.

Tragflächenprofil Design

• Optimierte Form zur Maximierung des Auftriebs.
• Abgerundete Vorderkante, scharfe Hinterkante.

Druckverteilung

• Geringerer Druck oben.
• Höherer Druck unten.

Gleichung

$\frac{V^2}{2} + gz + \frac{p}{\rho} = \text{constant}$

• (V) ist die Strömungsgeschwindigkeit
• (g) ist die Erdbeschleunigung
• (z) ist die Höhe
• (p) ist der Druck
• (\rho) ist die Dichte

Zusammenfassung der Systemrisikobewertung (PSRA)

Einführung

• Das vorliegende Dokument fasst die wichtigsten Ergebnisse der vorläufigen Systemrisikobewertung (PSRA) zusammen.

Wesentliche Ergebnisse

• Identifizierte Bedrohungen:
• Phishing: Social-Engineering-Angriffe zur Erlangung von Anmeldedaten.
• Malware: Schadsoftware, die die Systemintegrität gefährdet.
• DDoS-Angriffe: Dienstunterbrechung durch Ressourcenüberlastung.
• Entdeckte Schwachstellen:
• Veraltete Software: Fehlende Sicherheitsupdates.
• Schwache Konfigurationen: Standardpasswörter und lasche Zugriffsrichtlinien.
• Fehlende Netzwerksegmentierung: Erleichterte laterale Bewegung im Falle eines Eindringens.
• Potentielle Auswirkungen:
• Datenverlust: Exfiltration oder Verschlüsselung sensitiver Daten.
• Dienstunterbrechung: Systemausfall, der den Betrieb beeinträchtigt.
• Reputationsschaden: Vertrauensverlust von Benutzern und Kunden.

Empfehlungen

• Bedrohungsminderung:
• Implementierung von Multi-Faktor-Authentifizierung (MFA).
• Einsatz von Anti-Malware-Lösungen und Firewalls.
• Überwachung und Filterung des Netzwerkverkehrs zur Erkennung von Anomalien.
• Behebung von Schwachstellen:
• Regelmäßige Software-Updates und Installation von Sicherheits-Patches.
• Stärkere Passwortrichtlinien und Zugriffskontrollen.
• Netzwerksegmentierung zur Begrenzung lateraler Bewegungen.

Nächste Schritte

• Durchführung von Penetrationstests zur Validierung der Wirksamkeit der Sicherheitsmaßnahmen.
• Entwicklung eines Incident-Response-Plans zur Minderung der Auswirkungen möglicher Angriffe.
• Schulung der Mitarbeiter in IT-Sicherheit und Sensibilisierung für Bedrohungen.

Schlussfolgerung

• Die PSRA hat signifikante Risiken identifiziert, die die Systemsicherheit gefährden können.
• Die Umsetzung der vorgeschlagenen Empfehlungen ist entscheidend, um die Sicherheitsposition zu stärken und die Vermögenswerte der Organisation zu schützen.

Reguläre Ausdrücke

• Definition: Eine Zeichenkette, die ein Suchmuster definiert.
• Verwendung: Zeichenketten suchen, bearbeiten oder manipulieren.

Syntax

• Literale Zeichen: z.B. a, b, c, 1, 2, 3
• Metazeichen: spezielle Zeichen mit besonderer Bedeutung, z.B. ., *, +, ?, [], (), |, ^, $

Metazeichen Tabelle

Zeichenklassen Tabelle

Quantoren Tabelle

Beispiele für Reguläre Ausdrücke

• a.c: Passt auf "abc", "adc", "aec", usw.
• a*: Passt auf "", "a", "aa", "aaa", usw.
• a+: Passt auf "a", "aa", "aaa", usw. (aber nicht auf "")
• a?: Passt auf "" oder "a"
• [abc]: Passt auf "a", "b" oder "c"
• [a-z]: Passt auf jeden Kleinbuchstaben
• [0-9]: Passt auf jede Ziffer
• ^abc$: Passt nur auf die Zeichenkette "abc"
• \d{3}-\d{2}-\d{4}: Passt auf ein Datum im Format "XXX-XX-XXXX"

Verwendung Regulärer Ausdrücke

• Text suchen und ersetzen
• Daten validieren
• Text extrahieren
• Text parsen
• Unterstützt in vielen Programmiersprachen und Texteditoren.

Werkzeuge für Reguläre Ausdrücke

• Regex101
• RegExr
• Online-Tools zum Testen und Debuggen.

Hinweise zu Reguläre Ausdrücke

• Complex
• Sorgfältig testen
• Verschiedene Dialekte; Syntax kann variieren

Trigonometrische Funktionen

Trigonometrische Verhältnisse

Rechtwinklige Dreiecke

• Für einen spitzen Winkel (\theta) in einem rechtwinkligen Dreieck:
• Sinus (sin): $\sin \theta = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
• Kosinus (cos): $\cos \theta = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
• Tangens (tan): $\tan \theta = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

Reziproke Verhältnisse

• Kosekans (csc): $\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Gegenkathete}}$
• Sekans (sec): $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Ankathete}}$
• Kotangens (cot): $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Gegenkathete}}$

Der Einheitskreis

• Ein Einheitskreis hat Radius 1 und ist am Ursprung zentriert.
• Ein Winkel (\theta) wird gegen den Uhrzeigersinn von der positiven x-Achse aus gemessen.
• Der Schnittpunkt zwischen dem Endpunkt von (\theta) und dem Einheitskreis hat die Koordinaten ((\cos \theta, \sin \theta)).
• (\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta})

Wichtige Werte

Graphen der trigonometrischen Funktionen

Sinusfunktion: (y = \sin x)

• Periode: (2\pi)
• Amplitude: 1
• Definitionsbereich (Domain): ((-\infty, \infty))
• Wertebereich (Range): ([-1, 1])

Kosinusfunktion: (y = \cos x)

• Periode: (2\pi)
• Amplitude: 1
• Definitionsbereich (Domain): ((-\infty, \infty))
• Wertebereich (Range): ([-1, 1])

Tangensfunktion: (y = \tan x)

• Periode: (\pi)
• Definitionsbereich (Domain): (x\neq \frac{\pi}{2} + n\pi), wobei n eine ganze Zahl ist.
• Wertebereich (Range): ((-\infty, \infty))
• Senkrechte Asymptoten: (x = \frac{\pi}{2} + n\pi)

Trigonometrische Identitäten

Satz des Pythagoras Identitäten

• (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1)
• (1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta)
• (1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta)

Additionstheoreme

• (\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B)
• (\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B)
• (\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B})

Doppelte Winkel Identitäten

• (\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta)
• (\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta)
• (\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta})

Halbwinkelformeln

• (\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}})
• (\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}})
• (\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta})

Inverse trigonometrische Funktionen

Arkussinus (arcsin oder (\sin^{-1})):

• (y = \sin^{-1} x) genau dann, wenn (\sin y = x), wobei (-1 \leq x \leq 1) und (-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}).

Arkuskosinus (arccos oder (\cos^{-1})):

• (y = \cos^{-1} x) genau dann, wenn (\cos y = x), wobei (-1 \leq x \leq 1) und (0 \leq y \leq \pi).

Arkustangens (arctan oder (\tan^{-1})):

• (y = \tan^{-1} x) genau dann, wenn (\tan y = x), wobei (-\infty < x < \infty) und (-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}).

Gesetze

Sinussatz

• In jedem Dreieck mit den Seiten (a), (b), (c) und den gegenüberliegenden Winkeln (A), (B), (C): (\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C})

Kosinussatz

• In jedem Dreieck mit den Seiten (a), (b), (c) und gegenüberliegenden Winkel (C):
• (c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C)