Matrizes: Adição, Subtração e Multiplicação

Matrizes

• Uma matriz é uma tabela de números utilizada em matemática, física, ciência da computação e engenharia.
• Uma matriz $m \times n$ tem $m$ linhas e $n$ colunas.
• Os elementos de uma matriz são chamados de entradas e são denotados por $a_{ij}$, onde $i$ é a linha e $j$ a coluna.

Operações com Matrizes

• Adição: $A + B$ é a soma de duas matrizes $m \times n$, com $(A + B){ij} = a{ij} + b_{ij}$.
• Subtração: $A - B$ é a diferença de duas matrizes $m \times n$, com $(A - B){ij} = a{ij} - b_{ij}$.
• Multiplicação por escalar: $cA$ é o produto de uma matriz $A$ por um escalar $c$, onde $(cA){ij} = ca{ij}$.
• Multiplicação de matrizes: $AB$ é o produto de uma matriz $A_{m \times n}$ e uma matriz $B_{n \times p}$, resultando em uma matriz $m \times p$, com $(AB){ij} = \sum{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}$.

Matriz Transposta

• A transposta de uma matriz $A$, denotada por $A^T$, é obtida trocando as linhas pelas colunas de $A$.

Matriz Inversa

• A inversa de uma matriz quadrada $A$, denotada por $A^{-1}$, é tal que $AA^{-1} = A^{-1}A = I$, onde $I$ é a matriz identidade.
• Uma matriz que possui inversa é dita invertível ou não singular.

Determinante

• O determinante é uma função que associa um número real a uma matriz quadrada, denotado por $det(A)$ ou $|A|$.
• Para uma matriz $2 \times 2$: $det \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix} = ad - bc$.
• Para uma matriz $3 \times 3$: $det \begin{bmatrix} a & b & c \ d & e & f \ g & h & i \end{bmatrix} = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)$.
• Uma matriz é invertível se e somente se seu determinante é diferente de zero.

Potencial Químico

Definição de Potencial Químico

• Para um sistema monofásico com múltiplos componentes, a energia livre de Gibbs $G$ é dada por $G = G(T, P, n_1, n_2,..., n_k)$.
• O diferencial total de $G$ é $dG = (\frac{\partial G}{\partial T}){P, n_i}dT + (\frac{\partial G}{\partial P}){T, n_i}dP + \sum_{i=1}^{k}(\frac{\partial G}{\partial n_i}){T, P, n{j\neq i}}dn_i$.
• Levando em consideração que $(\frac{\partial G}{\partial T}){P, n_i} = -S$ e $(\frac{\partial G}{\partial P}){T, n_i} = V$, tem-se $dG = -SdT + VdP + \sum_{i=1}^{k}(\frac{\partial G}{\partial n_i}){T, P, n{j\neq i}}dn_i$.
• O potencial químico $\mu_i$ é definido como $\mu_i = (\frac{\partial G}{\partial n_i}){T, P, n{j\neq i}}$.
• Portanto, $dG = -SdT + VdP + \sum_{i=1}^{k}\mu_idn_i$.
• Para um sistema com uma única substância, o potencial químico $\mu$ representa a energia livre de Gibbs molar $G_m$, ou seja, $\mu = G_m$.
• O potencial químico representa a variação na energia de Gibbs causada pela variação na quantidade de substância sob temperatura e pressão constantes.

Significado Físico do Potencial Químico

• O potencial químico representa a capacidade de uma substância de promover uma reação química e o quão espontânea ela é.
• Quanto maior o potencial químico dos reagentes, maior a força motriz para a reação prosseguir na direção direta.
• Em um sistema fechado contendo múltiplas fases, o potencial químico representa a capacidade de uma substância de promover a transferência de massa.
• No equilíbrio, o potencial químico de cada substância em cada fase é igual.

Estratégias Práticas de Negociação Quantitativa

• Livro de Dr. Ernest P. Chan, com copyright registrado em 2009.
• Editado por John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, New Jersey.
• O livro aborda modelos matemáticos para investimentos no mercado de ações e especulação.

Introdução à Física I - Tarefa 3

• Tarefa de casa para a disciplina de Introdução à Física I, a ser entregue até sexta-feira, 18 de setembro de 2015, às 16h no Loomis 229.
• A lista de exercícios envolve estimar como a densidade do ar varia com a altura acima da superfície da Terra.

Campo Vetorial

• Um campo vetorial associa um vetor a cada ponto no espaço.
• Exemplos incluem campo gravitacional, campo de velocidade de um fluido rotativo e campo elétrico.

Integral de Linha

• A integral de linha é a integral de uma função ao longo de uma curva.
• Para uma função escalar, $\int_C f(x,y,z) ds = \int_a^b f(x(t),y(t),z(t)) |\overrightarrow{r}'(t)| dt$, onde $ds = |\overrightarrow{r}'(t)| dt$.
• Para um campo vetorial, $\int_C \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{r} = \int_a^b \overrightarrow{F}(\overrightarrow{r}(t)) \cdot \overrightarrow{r}'(t) dt$.

Cinética Química

Velocidade de Reação

• A velocidade de reação é a variação na concentração de um reagente ou produto em relação ao tempo.
• A lei de velocidade relaciona a velocidade de uma reação às concentrações dos reagentes.
• Para uma reação geral $aA + bB \longrightarrow cC + dD$, a lei de velocidade é $rate = k[A]^m[B]^n$.
• $k$ é a constante de velocidade, $m$ e $n$ são as ordens das reações com relação a A e B, respectivamente.
• A ordem geral da reação é $m + n$.
• A lei de velocidade deve ser determinada experimentalmente, usando o método das velocidades iniciais.

Dependência da Temperatura nas Constantes de Velocidade

• A constante de velocidade ($k$) depende da temperatura de acordo com a equação de Arrhenius: $k = Ae^{-\frac{E_a}{RT}}$.
• $A$ é o fator de frequência, $E_a$ é a energia de ativação, $R$ é a constante dos gases (8.314 J/mol·K) e $T$ é a temperatura em Kelvin.

Catálise

• O catalisador aumenta a velocidade de uma reação sem ser consumido no processo.
• Catalisadores oferecem caminhos de reação alternativos com menor energia de ativação.
• Catálise homogênea: catalisador na mesma fase dos reagentes.
• Catálise heterogênea: catalisador em uma fase diferente dos reagentes.

Mecanismos de Reação

• Um mecanismo de reação é uma série de etapas elementares que descrevem a reação geral.
• As etapas elementares podem ser unimoleculares ou bimoleculares.
• A etapa determinante da velocidade é a mais lenta no mecanismo de reação e determina a lei de velocidade da reação geral.

Etapas e Equações

• Um intermediário é uma espécie produzida em uma etapa elementar e consumida em uma etapa subsequente, portanto não aparece na equação final.
• Para reações de primeira ordem: taxa = k[A]; ln[A]t - ln[A]0 = -kt; t1/2 = 0,693/k.
• Para reações de segunda ordem: taxa = k[A]^2 ou taxa = k[A][B]; 1/[A]t - 1/[A]0 = kt; t1/2 = 1/ k[A]0.
• Para reações de ordem zero: taxa = k; [A]t - [A]0 = -kt; t1/2 = [A]0/2k.

Química Geral

Tabela Periódica dos Elementos

• Uma tabela periódica fornece informações como número atômico, símbolo, nome e peso atômico de cada elemento.
• Organizada em períodos (linhas) e grupos (colunas), com grupos numerados de 1 a 18.
• Inclui informações sobre os elementos dos períodos 1 a 7, lantanídios e actinídios.
• Pesos atômicos mostrados são valores padrão da IUPAC.

Revisão de Engenharia Química Matemática

Algebra

• Operações básicas incluem adição, subtração, multiplicação e divisão.
• Exponentes e logaritmos são importantes, com diversas propriedades.
• Fatorial de um número: n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1.
• Permutações (ordem importa) e combinações (ordem não importa).
• Teorema binomial expande (a + b) ^ n = Σ nCk a ^ (n-k) b ^ k.

Trigonometria

• Funções trigonométricas básicas: seno, cosseno, tangente, cossecante, secante e cotangente.
• Identidades pitagóricas como sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1.
• Fórmulas de soma e diferença, ângulos duplos e ângulos metade.
• Lei dos senos e lei dos cossenos para relações em triângulos.

Cálculo

• Derivadas: regra da potência, regra da constante, regra do múltiplo constante.
• Integrais: regra da potência, regra da constante.
• Integração por partes e substituição.
• Equações diferenciais: primeiro-ordem linear (dy/dx + P(x)y = Q(x)) onde IF = e integral(P(x) dx).
• Transformada de Laplace: transforma f(t) em F(s).
• Coeficientes de Fourier: uma função como uma soma de ondas senoidais.

Estatísticas

• Estatísticas descritivas: média, mediana, moda, variância e desvio padrão.
• Probabilidade: P(E) = número de resultados favoráveis/resultados possíveis.
• Regressão linear: encontrar a linha de melhor ajuste (y = mx + b).

Análise de Fourier

• Uma ferramenta matemática para decompor uma função em funções sinusoidais mais simples.

Série de Fourier

• Representação de uma função periódica como uma soma de senos e cossenos.
• A série de Fourier de uma função $f(t)$ com período $T$ é definida como: $f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} [a_n \cos(n\omega t) + b_n \sin(n\omega t)]$.
• $\omega = \frac{2\pi}{T}$ é a frequência angular.

Transformada de Fourier

• A transformada de Fourier é uma generalização da série de Fourier que se aplica a funções não periódicas.
• A transformada de Fourier de uma função $f(t)$ se define como: $F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt$.
• A transformada inversa de Fourier se define como: $f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{j\omega t} d\omega$.

Propiedades da Transformada de Fourier

• Linealidade, escalamiento, desplazamiento en el tiempo, desplazamiento en frecuencia, convolución, derivación y integración en el tiempo.

Aplicações

• Análise de sinais, processamento de imagens, resolução de equações diferenciais, design de filtros, compressão de dados.