Математика: Рівняння та їх типи

Equations

• Definition: An equation is a statement that says two expressions are equal.
• Types of Equations:
  • Linear Equations: ax + by = c, where a, b, and c are constants.
  • Quadratic Equations: ax^2 + bx + c = 0, where a, b, and c are constants.
  • Exponential Equations: a^x = b, where a and b are constants.
• Equation Operations:
  • Addition/Subtraction: Add or subtract the same value to both sides of the equation.
  • Multiplication/Division: Multiply or divide both sides of the equation by the same non-zero value.
• Solving Equations:
  • Isolate the variable by performing inverse operations.
  • Check solutions by plugging them back into the original equation.

Graphing

• Coordinate Plane: A two-dimensional plane with x and y axes.
• Graphing Linear Equations:
  • Slope-Intercept Form: y = mx + b, where m is the slope and b is the y-intercept.
  • Standard Form: Ax + By = C, where A, B, and C are constants.
• Graphing Quadratic Equations:
  • Vertex Form: y = a(x - h)^2 + k, where a is the coefficient, h is the x-coordinate of the vertex, and k is the y-coordinate of the vertex.
  • Axis of Symmetry: x = -b / 2a.
• Graphing Functions:
  • Domain: The set of input values for which the function is defined.
  • Range: The set of output values of the function.

Systems of Equations

• Definition: A set of two or more equations with two or more variables.
• Types of Systems:
  • Independent Systems: Each equation has a unique solution.
  • Dependent Systems: Both equations have the same solution.
  • Inconsistent Systems: No solution exists.
• Methods for Solving Systems:
  • Substitution Method: Substitute one equation into the other.
  • Elimination Method: Add or subtract equations to eliminate one variable.
  • Graphing Method: Graph both equations and find the point of intersection.

Рівняння

• Означення: Рівняння - це твердження, що стверджує, що два вирази дорівнюють.
• Типи рівнянь:
  • Лінійні рівняння: ax + by = c, де a, b, і c - константи.
  • Квадратичні рівняння: ax^2 + bx + c = 0, де a, b, і c - константи.
  • Експоненційні рівняння: a^x = b, де a і b - константи.
• Операції над рівняннями:
  • Додавання/Віднімання: Додавати або відніматити те саме значення до обох сторін рівняння.
  • Множення/Ділення: Множити або розділити обидві сторони рівняння на те саме ненульове значення.

Розв'язок Рівнянь

• Методи розв'язку:
  • Ізолювати змінну шляхом_execution обратних операцій.
  • Перевірити розв'язки шляхом підстановки їх назад у початкове рівняння.

Графіки

• Координатна плоскість: Двовимірна плоскість з осями x і y.
• Графіки Лінійних Рівнянь:
  • Форма коефіцієнта нахилу: y = mx + b, де m - коефіцієнт нахилу, а b - інтерCEPT осі y.
  • Стандартна форма: Ax + By = C, де A, B, і C - константи.
• Графіки Квадратичних Рівнянь:
  • Форма вершини: y = a(x - h)^2 + k, де a - коефіцієнт, h - координата x вершини, а k - координата y вершини.
  • Ось симетрії: x = -b / 2a.
• Графіки Функцій:
  • Область визначення: Множина вхідних значень, для яких функція визначена.
  • Область значень: Множина вихідних значень функції.

Системи Рівнянь

• Означення: Множина двох або більше рівнянь з двома або більше змінними.
• Типи Систем:
  • Незалежні системи: Кожне рівняння має унікальний розв'язок.
  • Залежні системи: Обидва рівняння мають той самий розв'язок.
  • Несумісні системи: Ні розв'язку не існує.
• Методи розв'язку Систем:
  • Метод заміщення: Замінити одне рівняння іншим.
  • Метод видалення: Додати або відніматити рівняння, щоб видалити одну змінну.
  • Метод графіку: Намалювати обидва рівняння і знайти точку перетину.

Рівняння

• Рівняння - це твердження, яке стверджує, що два вирази рівні
• Рівняння класифікуються на:
  • Прості рівняння: наприклад, 2x = 5
  • Квадратичні рівняння: наприклад, x^2 + 4x + 4 = 0
  • Лінійні рівняння: наприклад, 2x + 3 = 7
• Властивості рівності:
  • Властивість додавання: якщо a = b, то a + c = b + c
  • Властивість віднімання: якщо a = b, то a - c = b - c
  • Властивість множення: якщо a = b, то a × c = b × c
  • Властивість ділення: якщо a = b, то a ÷ c = b ÷ c
• Методи розв'язку рівнянь:
  • Метод додавання/віднімання
  • Метод множення/ділення
  • Метод заміни
  • Метод видалення

Графіки

• Графіки - це способ візуалізації рівнянь на координатній площині
• Типи графіків:
  • Лінійні графіки: прямі лінії
  • Квадратичні графіки: параболи
  • Експоненціальні графіки: криві, які відкриваються вгору або вниз
• Методи графіки:
  • Метод таблиці значень: створення таблиці значень для нанесення на координатну площину
  • Метод пошуку точки перетину осі X: знаходить точку перетину осі X, встановлюючи y = 0
  • Метод пошуку точки перетину осі Y: знаходить точку перетину осі Y, встановлюючи x = 0
• Правила графіки:
  • Вертикальна лінія тесту: графік репрезентує функцію, якщо вертикальна лінія перетинає графік не більше одного разу
  • Горизонтальна лінія тесту: графік репрезентує функцію один-к-один, якщо горизонтальна лінія перетинає графік не більше одного разу

Системи Рівнянь

• Система рівнянь - це набірสอง або більше рівнянь з спільними змінними
• Методи розв'язку систем рівнянь:
  • Метод заміни: розв'язок одного рівняння відносно змінної та заміна його в інше рівняння
  • Метод видалення: додавання або віднімання рівнянь для видалення jedné змінної
  • Метод графіки: графік рівнянь на однієї координатній площині та пошуку точки перетину
• Типи систем:
  • Незалежні системи: мають єдине розв'язок
  • Залежні системи: мають нескінченно багато розв'язків
  • Несумісні системи: не мають розв'язку
• Застосування систем рівнянь:
  • Розв'язок задач, які涉овують кілька змінних
  • Моделювання реальних ситуацій, таких як перетин кривих попиту та пропозиції